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  Bragg Reflexion |
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angenaehtePommes
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 |  Themenstart: 2004-11-21
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Hi Leute!
Hab zwei Fragen zur Bragg Reflexion.
1.) (siehe Bild) Nach welchen mathematischen Gesetzen gilt \phi_1 = \phi_2?
2.) Im Buch folgert man aus: sin\phi=(n*\lambda)/(2*d_ijk)
=> sin\phi=sqrt((ni)^2+(nj)^2+(nk)^2)*\lambda/(2d)
Da nach analytisch geometrischen Überlegungen gilt: d_ijk=d/sqrt(i^2+j^2+k^2)
Ich verstehe nur nicht wie man dadrauf kommt. Hab versucht mir das aufzuzeichnen, aber komm nicht auf auf d_ijk.
Könnt ihr mir helfen?
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angenaehtePommes
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|  Beitrag No.1, vom Themenstarter, eingetragen 2004-11-21
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Mit \phi_1 meinte ich den Einfallswinkel und mit \phi_2 den Winkel \phi zwischen den Ebenen.
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angenaehtePommes
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|  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2004-11-21
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a) ist klar - dange an "-KCN-"
Aber b) ist noch unklar.
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cow_gone_mad
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 | Beitrag No.3, eingetragen 2004-11-21
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Du hast es dann doch eh dastehen, nur noch nicht umgeformt für b.
\
sin\phi=(n*\lambda)/(2*d_ijk)
mit d_ijk=d/sqrt(i^2+j^2+k^2)
sin\phi=(n*\lambda)/(2*d/sqrt(i^2+j^2+k^2)) =
= (n*\lambda sqrt(i^2+j^2+k^2))/(2*d) =
= (\lambda sqrt(n^2 (i^2+j^2+k^2)))/(2*d) =
=sqrt((ni)^2+(nj)^2+(nk)^2)*\lambda/(2d)
Ich hoffe das war, was du wolltest.
Liebe Grüsse,
cow_
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angenaehtePommes
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| Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2004-11-21
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Danke, aber die Herleitung für d_ijk ist das was ich misse. Einsetzen kann ich wohl noch :)
Das ganze soll einen Kristall (NaCl) darstellen. Nun kann ich den Kristall ja auch drehen und somit gibt es unendlich viele Ebenen.
Ein Beispiel aus dem Buch:
(Kristall von oben gesehen) Nun nehm ich mir einen beliebiges Atom, gehe davon 1 nach unten und 2 nach rechts. Diese 2 Atome verbinden.
Es folgt eine Ebene. Nun ist d_ijk der Abstand zwischen den 2 Ebenen. (wobei d der Abstand von 2 Atomen im Gitters ist)
Bei unserem Beispiel: i=1 j=2 k=0
[ Nachricht wurde editiert von angenaehtePommes am 21.11.2004 15:28:34 ]
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cow_gone_mad
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| Beitrag No.5, eingetragen 2004-11-21
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Ich hoffe ich denke jetzt an das Richtige. (Da kann man sich bei mir NIE sicher sein).
Handelt es sich dann um eine Anwendung des Satzes des Pythagoras. Allerdings müsste dann ein Produkt und kein Quotient da stehen.
Aber ich kenne mich mit Kristallen nicht wirklich aus. Sorry für oben. Ich war wie immer oberschlau.
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angenaehtePommes
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| Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2004-11-21
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Wobei d immer der Abstand zwei benachbarter Atome ist. Man hätte es vielleicht besser anders nennen sollen. d ist Abstand zwischen 2 Atomen und d_ijk Abstand der Ebene.
[ Nachricht wurde editiert von angenaehtePommes am 21.11.2004 16:19:40 ]
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cow_gone_mad
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| Beitrag No.7, eingetragen 2004-11-21
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\
Das wird jetzt blöd zu erklären ...
Ich mache es deswegen nur für 2 Dimensionen. Das ganze läuft im Wesentlichen auf das betrachten ähnlicher Dreiecke hinaus. Weil man durch geometrische Überlegungen drauf kommt, dass des Dreiecks mit den Gittebewegungen ähnlich zu einem anderen ist, und man dann eben das Verhältnis mit der Hypothenuse erhält.
Das da oben ist jetzt hochgradig verwirrend. Ich weiss nur nicht wie man es erklären soll.
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cow_gone_mad
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| Beitrag No.8, eingetragen 2004-11-21
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ich meine oben das Lila und Grüne Dreieck.
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Eckard
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 | Beitrag No.9, eingetragen 2004-11-21
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Hallo allerseits,
es gibt mindestens zwei Möglichkeiten, sich den Netzebenenabstand herzuleiten. Die erste geht über den allgemeinen reziproken Gittervektor:
R^>_hkl=h|b^>_1+k+k|b^>_2+l|b^>_3|,
wobei (hkl) die Millerschen Indizes und b^>_1, b^>_2, b^>_3 die reziproken Gittervektoren sind.
Der Abstand zweier benachbarter Netzebenen ist dann immer
d_hkl=(2|\pi)/abs(R^>_hkl)|, wenn die reziproken Gittervektoren ebenfalls mit dem Faktor 2|\pi definiert wurden:
b^>_i=(2|\pi)/V|a^>_j|x|a^>_k mit V=a^>_i*(a^>_j|x|a^>_k) (Spatvolumen)
Wir sind im kubischen Gitter, also ist
a^>_1=a|e^>_x|, a^>_2=a|e^>_y|, a^>_3=a|e^>_z
und somit
b^>_1=(2|\pi)/a|e^>_x, b^>_2=(2|\pi)/a|e^>_y, b^>_3=(2|\pi)/a|e^>_z
=>R^>_hkl=(2|\pi)/a|(h|e^>_x+k|e^>_y+l|e^>_z)
=>abs(R^>_hkl)=(2|\pi)/a|sqrt(h^2+k^2+l^2)
=>d_hkl=a/sqrt(h^2+k^2+l^2)
Die zweite Möglichkeit geht so: Stell dir vor, die eine Netzebene schneidet von den Achsen die Abschnitte a/h, a/k und a/l ab. Die benachbarte Netzebene möge genau durch den Koordinatenursprung gehen. Dann ist der Netzebenenabstand gerade die Höhe des Tetraeders, der von den drei Abschnitten aufgespannt wird (wir sind im kubischen System!). Über das Volumen des Tetraeders, nämlich
V=a^3/(6|h|k|l)|,
kannst du jetzt die Höhe ausrechnen, indem du das Volumen als 1/3*Grundfläche*Höhe schreibst und als Grundfläche die abgeschnittene Fläche nimmst. Letztere kannst du mit der Heronschen Flächeninhaltsformel berechnen.
Gruß Eckard
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angenaehtePommes
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|  Beitrag No.10, vom Themenstarter, eingetragen 2004-11-21
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Oh Eckard, ich bin doch nur ein armer Abiturient!
Ich werds nun erst einmal so hinnehmen, und mich nach den Abi-Vorklausuren nochmal damit beschäftigen.
Danke schonmal. Aber das Thema ist noch nicht durch! *grins*
Die Pommes
[ Nachricht wurde editiert von angenaehtePommes am 21.11.2004 19:23:36 ]
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Eckard
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| Beitrag No.11, eingetragen 2004-11-21
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Ach aP, ich vergaß diesen Umstand, entschuldige. Du hast recht, das reziproke Gitter ist nicht gerade leichte Kost.
Aber ich habe dir noch ein schönes Bild gemacht (Eckard überreicht Patrick das Bild). Es ist meine Lieblingsherleitung der Braggschen Gleichung: Trara!
Strahl 1 trifft in C und A auf zwei benachbarte Netzebenen, die reflektierten Strahlen seien 1' und 2'. Diese verstärken sich maximal und führen zu Braggschen Reflexen, wenn ihr Gangunterschied n*\l beträgt.
Wie groß ist nun der Gangunterschied von 1' und 2'? Betrachte das grau unterlegte Dreieck. Gemeinsamer Ausgangspunkt ist Punkt C, ab Punkt F bzw. A laufen die Strahlen 1' bzw. 2' wieder phasengleich, also beträgt der Gangunterschied \Delta|s=abs(CA)-abs(CF)|.
Das Dreieck ist rechtwinklig bei F und hat die Hypotenusenlänge d/sin(\theta) wobei d der Netzebenenabstand ist. Einfache Trigonometrie ergibt:
s=abs(CF)=d/sin(\theta)|cos(2|\theta)=d/sin(\theta)|(cos^2|\theta-sin^2|\theta)=d/sin(\theta)|(1-2|sin^2|\theta)
=d/sin(\theta)-2|d|sin(\theta)
=>\Delta|s=d/sin(\theta)-s=2|d|sin(\theta)|.
Das ergibt die Braggsche Gleichung 2|d|sin(\theta)=n*\l|.
Gruß Eckard
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angenaehtePommes
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| Beitrag No.12, vom Themenstarter, eingetragen 2004-11-22
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Hey Eckard!
Das ist nett, dass du mir diesen schönen Beweis lieferst. Dies zeigt mir, das ich das Grundprinzip der Bragg-Reflexion nicht verstanden habe, und das ist doch schonmal was! *g*
Der erste Satz verwirrt mich schon: "Strahl 1 trifft in C und A auf..."
Wir haben heute in der Schule folgendes gelernt:
Strahl 1 trifft auf die erste Netzebene. Dieser landet zufällig auf dem Atom und wird reflektiert.
Strahl 2 trifft ebenfalls auf die Netzebene, jedoch auf den Bereich zwischen 2 Atomen, huscht dort durch und wird an Ebene 2 an einem Atom reflektiert.
Wenn dann die Bragg-Bedingung erfüllt ist, kommt es zu konstruktiven Interferenz, denn beide Strahlen laufen fast aufeinander, nur minimal voneinander entfernt.
Daraufhin fragte ich, ob der Zwischenraum zwischen 2 Atomen nich dann auch ein Spalt wäre. Ich bekam als Antwort ein einfaches "Nein" ohne Begründung. Es käme nur an Atomen zur Reflektion.
In dem Beweis (s.o.) versteh ich nicht, wie gleichzeitig reflektiert werden kann (C) und die gleiche Welle WIEDER reflektiert wird an A.
Wer hilft?
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Eckard
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| Beitrag No.13, eingetragen 2004-11-22
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Hi,
du hast recht, wenn du hinterfragst, warum denn eigentlich Netzebenen reflektieren, wenn doch dazwischen gar nichts ist. Das mit den Netzebenen ist eben auch nur eine gedankliche Hilfe, die die Sache verständlicher und vor allem anschaulicher macht, die aber noch begründet werden muss.
Etwas mehr dazu steht z.B. im Gerthsen, 22. Auflage, Abschnitt 15.2.2 Röntgenbeugung; ich zitiere mal:
"... Wenn paralleles Röntgenlicht auf eine Netzebene fällt, wirkt jedes daraufliegende Teilchen als Streuzentrum und emittiert eine Sekundärwelle. Alle diese Sekundärwellen setzen sich nach Huygens zu einer regulär reflektierten Welle zusammen (Abb. 15.8b). Dasselbe geschieht an den dazu parallelen Netzebenen, denn auf dem Abstand d wird die Röntgenwelle nur sehr wenig absorbiert. Alle diese reflektierten Wellen interferieren. Ist die Verstärkungsbedingung "Gangunterschied = ganzes Vielfaches der Wellenlänge" nicht exakt erfüllt, so interferiert sich die reflektierte Welle völlig weg. ..."
Es wird also mit dem Huygensschen Prinzip begründet. Um es im Detail zu verstehen, müsste man wohl doch eine kompliziertere Rechnung machen.
Gruß Eckard
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angenaehtePommes
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| Beitrag No.14, vom Themenstarter, eingetragen 2004-11-22
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"Wenn paralleles Röntgenlicht auf eine Netzebene fällt, wirkt jedes daraufliegende Teilchen als Streuzentrum und emittiert eine Sekundärwelle"
Welche daraufliegende Teilchen sind gemeint?
Und hat es ne besondere Bedeutung das die Elementarwellen Sekundärwellen genannt werden?
Diese Erklärung find ich schon sehr viel schöner :) Ich nehm Modelle ja gerne hin, aber nur wenn sich das ganze nich widerspricht. Und das tat unser Lehrer heute.
Danke Eckard :D
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Eckard
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| Beitrag No.15, eingetragen 2004-11-23
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Hallo Patrick,
na, als Teilchen sind natürlich die Atome des Kristallgitters gemeint. Sekundärwellen sagt man nur zur Unterscheidung von der einfallenden Primärwelle (Huygenssches Prinzip).
Gruß Eckard
PS: Vergiss bitte nicht, das Thema abzuhaken, wenn es ok ist.
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angenaehtePommes
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| Beitrag No.16, vom Themenstarter, eingetragen 2004-11-23
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Alles klar! Nu hab ichs! 
Danke!
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| Folgende Antworten hat der Fragensteller vermutlich noch nicht gesehen. |
blub
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 | Beitrag No.17, eingetragen 2004-11-23
|
aP,
und auch der Gerthsen modelliert, wenn man es genau nimmt.
Ein Festkörper ist eben nicht ein ort mit ein paar Atömchen drin
und dann gähnender Leere, so dass für die findigen
Röntgenstrahlen sich immer noch ein Durchschlupf findet...
Röntgenstrahlen sind - wie anderes Licht auch - elektromagnetische
Wellen, d.h. schwingende und sich ausbreitende elektrische
(und magnetische) Felder. Treffen sie auf die Materie,
dann merken die was voneinander, weil geladene Teilchen
(Elektronen) auf elektrische Felder reagieren. So wie die
Atome regelmäßig bzw. periodisch in einem Kristallgitter
angeordnet sind, so ist auch die Elektronendichte eine
periodisch modulierte Funktion des Ortes im Kristall.
Jetzt rüttelt das Licht an den Elektronen. Das sind dann
beschleunigte Ladungsträger. Beschleunigte Ladungsträger
senden em-Wellen aus. Wenn man alles formuliert und ausrechnet,
dann hat man eine Weile zu tun...
Die einfachen Regeln wie die Bragg-Reflexion etc. sind
Konstruktionen, z.B. der Maxima der Beugungsintensität,
die hilfreich sind, weil sie einen schnell ans Ziel
führen. Aber sie beschreiben nicht den physikalischen
Prozess. Und es ist besser, man versucht das auch gar
nicht erst auf diese Art und Weise. Wenn dann jemand wie
Du nach dem genaueren wie und warum fragt, ist man mit
diesen "Modellen" ganz schnell am Ende....
(hoffe, Du kannst es Deinem Lehrer nachsehen...)
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