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 Vektorräume von Polynomen, Dualräume |
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HiSm00m
Junior 
Dabei seit: 10.01.2002
Mitteilungen: 5
Wohnort: Tübingen
 |  Themenstart: 2002-01-10
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Hallo zusammen!
Ich stehe bei folgenden zwei aufeinander aufbauenden Aufgaben gerade total aufm Schlauch.
Hat jemand ne Idee, wie das zu beweisen ist?
{Aufgabe 1}
Es sei V = R[x] der reelle Vektorraum aller Polynome in x (die Elemente von V mögen auch als Funktionen R --> R aufgefasst werden). fn [<--index n] Î V sei induktiv definiert durch f0 (x) = 1 und f n+1(x) = (x - n) * fn(x) für alle n Î N. Man zeige:
1. Die Familie (fn)n Î N ist linear unabhängig in V.
2. Die Familie (fn)n Î N ist ein Erzeugendensystem von V. [Hinweis: Induktion nach dem Grad des als Linearkombination darzustellenden Polynoms]
{Aufgabe 2}
Es sei V = R[x] wie oben. Man zeige:
1. Für jedes a Î R definieren
[ a ist wieder index -->] ea(f) := f(a), da(f) := f´(a) (Ableitung von f in a)
Linearformen ea, da Î V*.
2. Die (überabzählbare) Familie (ea)a Î R ist linear unabhängig in V*. [Hinweis: Wende Linearkombinationen der ea an auf Polynome der Form f(x) = (x - a1)*(x - a2) * ... * (x - ar).]
Das Thema Dualräume wurde auch noch aus zeittechnischen Gründen einfach mal nur so am Rande erwähnt. Trotzdem diese Aufgaben.
Finde irgendwie keinen Ansatz.
Würde mich über ein paar Tips freuen.
Vielen Dank!
Gruss
Jürgen
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matroid
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 | Beitrag No.1, eingetragen 2002-01-10
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Hallo Jürgen,
bei der 1. soll die lineare Unabhängigkeit gezeigt werden.
Was soll linear unabh. sein? Die Polynome fn. Die sind induktiv - man
könnte auch sagen rekursiv - definiert. Es gibt davon unendlich viele.
Wie ist lineare Unabhängigkeit definiert? Irgendwelche Elemente eines Vektorraums sind l.u., wenn durch Linearkombination dieser Elemente das Nullelement des Vektorraums nur dargestellt werden kann, wenn alle Koeffizienten null sind.
Hier ist also zu zeigen:
Für alle n: a0*f0 + a1*f1 + ... + an*fn = 0 => a0=a1=a2=...=an
Der Beweis erfolgt mit vollständiger Induktion über n.
Versuch's mal.
Wenn die fn ein Ereugendensystem von R[x] bilden, dann kann man jedes pÎR[x] als Linearkombination der fn darstellen.
Induktion nach dem Grad von p.
Wie würdest Du anfangen?
Gruß
Matroid
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matroid
Senior 
Dabei seit: 12.03.2001
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|  Beitrag No.2, eingetragen 2002-01-10
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PS: schreib doch mal was Du studierst und wo. Bist Du HiSm00m?
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HiSm00m
Junior 
Dabei seit: 10.01.2002
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| Beitrag No.3, vom Themenstarter, eingetragen 2002-01-12
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Hallo Matroid!
Vielen Dank für den Tip.
Peinlicherweise komm ich in diesem Fall in Sachen vollst. Induktion immer noch auf keinen grünen Zweig. :-(
Aber ich brüte jetzt noch eine Weile darüber - wird auch hoffentlich bald mal die zündende Idee kommen. *hoff*
Bei Aufg. 2 ist glaube ich zu zeigen, dass es sich um Homomorphismen handelt (?)
Ok, ist wohl besser, ich wälze nochmal Literatur. :-)
Gruss
Jürgen
PS: Ich studiere Informatik in Tübingen und hoffe in Sachen Lin. Alg. und Analysis noch auf ein Wunder. *g* Mein Nickname ist HiSm00m, ja.
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matroid
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| Beitrag No.4, eingetragen 2002-01-12
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Ich will mal sehen, wo es hakt.
Beh. ao*fo(x) + ... + an*fn(x) = 0 => ai = 0
Vorüberlegung: fi(x) ist ein Polynom vom Grad i.
Induktion: fo(x) hat den Grad 0, ok.
fn+1(x) = (x-n)*fn
fn ist nach Ind.voraussetzung ein Polynom vom Grad n.
Folglich ist fn+1(x) eines vom Grad n+1.
Induktionsanfang:
n=0: ao*fo(x) = ao*1 = 0 => a0 = 0, stimmt.
n=1: ao*fo(x) + a1*f1(x) = ao*1 + a1*(x-0) = ao + a1*x = 0
=> a0 = a1 = 0, stimmt auch.
Das Argument dabei ist, daß ein Polynom genau dann gleich 0 (dem Nullpolynom) ist,
wenn alle Koeffizienten der verschiedenen Potenzen von x gleich 0 sind.
Induktionsschluß:
Sei die Beh. richtig für n. Zeige sie für n+1.
ao*fo(x) + ... + an*fn(x) + an+1*fn+1(x) = 0
<=> (Rekursion einsetzen)
ao*fo(x) + ... + an*fn(x) + an+1*(x-n)fn(x) = 0
<=> (Ausmultiplizieren und umordnen)
ao*fo(x) + ... + (an-an+1*n)*fn(x) + an+1*x*fn(x) = 0
Der letzte Summand ist ein Polynom vom Grad n+1. Alle anderen Potenzen sind kleiner gleich n.
Folglich ist an+1=0, und aus der Induktionsvoraussetzung folgt sofort, daß alle ai=0 sind.
Ja, bei 2 muß Du die Eigenschaften der linearen Abbildung nachweisen.
Aber dazu brauchst Du keine Literatur.
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HiSm00m
Junior
Dabei seit: 10.01.2002
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Wohnort: Tübingen
| Beitrag No.5, vom Themenstarter, eingetragen 2002-01-13
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aaaah, ok. :-)
ich habe wohl, wie üblich, viel zu kompliziert gedacht. ist ja doch recht einfach.
Wo ich nun noch hänge, ist die Aufgabe 2 (Thema Linearformen, Dualraum).
Könntest Du mir da evtl. nochmal helfen?
{Aufgabe 2}
Es sei V = R[x] wie bei {Aufg. 1}. Man zeige:
1. Für jedes a Î R definieren
ea(f) := f(a), da(f) := f´(a) (Ableitung von f in a)
Linearformen ea, da Î V*.
2. Die (überabzählbare) Familie (ea)a Î R ist linear unabhängig in V*. [Hinweis: Wende Linearkombinationen der ea an auf Polynome der Form f(x) = (x - a1)*(x - a2) * ... * (x - ar).]
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Anonymous
Unregistrierter Benutzer
|  Beitrag No.6, eingetragen 2002-01-14
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Zeigen mußt Du, daß
ea(f+g) = ea(f) + ea(g)
und
ea(lf) = lea(f)
Analog für d.
Du mußt hier weniger an die Bedeutung dieser e und d denken, sondern einfach nur einsetzen und rechnen.
Das geht dann so:
ea(f+g) = (f+g)(a)
f und g sind Polynome, also ist f+g auch eines.
f(x) = åi=0..m ci*xi
g(x) = åi=0..n di*xi
Dann ist (f+g)(x) auch ein Polynom, nämlich
(f+g)(x) = åi=0..max(m,n) (ci+di)*xi
[mit ci bzw. di für i >n oder i >m)]
Also, das ist nun offensichtlich: (f+g)(x) = f(x)+g(x) und insbesondere ist dann (f+g)(a) = f(a)+g(a)
Für die Ableitung d würde ich an die bekannte Summenregel für Ableitungen denken.
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