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Mathematik » Logik, Mengen & Beweistechnik » Mächtigkeit von |B|^A durch Induktion...
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Universität/Hochschule J Mächtigkeit von |B|^A durch Induktion...
Ehemaliges_Mitglied
  Themenstart: 2002-11-18

Kann mir jmd sagen ob dieser Beweis gilt ? Wenn es Schwachstellen gibt, bin ich sehr dankbar sie mir so schnell wie möglich zu posten... Zu zeigen ist: |BA| = |B||A| Beweis durch Induktion nach n = |A|. Induktionsanfang: Für n=1 gibt es genau |B| versch. Abb. f: A-->B, da dem einzigen Element von A in jeder Funktion ein anderes b Î B zugeordnet wird, d.h. |BA| = |B| und |B||A| = |B|1 = |B| Es gilt also |BA| = |B||A|. Induktionsvoraussetzung: Für n gilt |BA| = |B||A| Induktionsbehauptung: Zu zeigen die Induktionsvoraussetzung für n+1 Induktionsschluss: Sei x ein beliebiges Element mit x Î A, so gilt |A È {x}| = n+1 Zu {x} gibt es |B| Abbildungen f: {x} --> B, da dem einzigen Element von {x} in jeder Funktion ein anderes b Î B zugeordnet wird, d.h. |B{x}| = |B|. Also gilt für |BA È {x}| = |BA| * |B{x}| = |B||A| * |B{x}| = |B||A| * |B| = |B||A|È{x} = |B|n+1 Hoffe es stimmt alles... Ciao Sonic

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matroid
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 12.03.2001
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Wohnort: Solingen
  Beitrag No.1, eingetragen 2002-11-18

Hi Sonic, nahezu richtig. Beim Induktionsschluß muß aber nicht gezeigt werden, was herauskommt, wenn man zu A mit |A| = n ein Element hinzutut, sondern es muß gezeigt werden, wieviele Abbildungen es für |A|=n+1 gibt. Dann kann man allerdings sagen: Da n+1 > 0, existiert in A ein Element, sagen wird x dazu, und es ist A-{x} eine n-elementige Menge, für die die Induktionsvoraussetzung gilt. Die Abbildungen von A nach B kann man nun disjunkt aufteilen, nämlich nach dem Bild von x. x wird ja auf ein b ais B abgebildet. Man findet also alle Abbildungen von A nach B, wenn man alle Abbildungen von A-{x}->B bildet und diese Abbildungen jeweils um x und eines der möglichen |B| Bilder ergänzt. Die Anzahl der Abbildungen von A-{x} ist nach Induktionsvoraussetzung gleich |B||A-{x}| = |B||A|-1. Man kann das Bild von x auf |B| Weisen festlegen. Insgesamt also |B||A|-1*|B| = |B||A| Abbildungen. Gruß Matroid

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Ehemaliges_Mitglied
  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2002-11-18

Danke dir für das Korrigieren ! Gruß Sonic

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