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Universität/Hochschule J Komplexe Zahlen
buenapersona
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  Themenstart: 2002-11-20

Hallo! Kann jemand mir bei den folgenden Aufgaben helfen? 1. Man zeige, dass drei verschiedene Punkte z1, z2, z3 Î C genau dann auf einer Gerade liegen, wenn (z3 - z1)/(z2 - z1) reell ist. 2. Man zeige: Die Menge {z Î C: |(z-1)/(z+1)| = 2} bildet einen Kreis in der komplexen Ebene. Man bestimmte Mittelpunkt und Radius dieses Kreises. Also, zu 1: Soll ich zeigen, dass Im von (z3 - z1)/(z2 - z1) gleich 0? Ich habe das gerechnet und bekomme Re + Im = Re + i(x1(y2 - y3) + x2(y3 - y1) + x3(y1 - y2))/(x2 - x1)2 + (y2 - y1)2), wo z1= x1 + iy1, z2= ..., z3= ... Und ich komme nicht weiter . zu 2: Aus diesem Beitrag |(z-1)/(z+1)| = 2 bekomme ich z1 = -1/3, z2= -3. Und auch komme nicht wieter . Re von Mittelpunkt muss -5/3 sein, oder? Danke im Voraus! MfG buena persona


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FriedrichLaher
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  Beitrag No.1, eingetragen 2002-11-20

1) das läßt sich auch (z1-z3)/(z1-z2) schreiben. Rell ist es nur wenn Zähler und Nenner gleichen Winkel Haben. Das ist, wegen z1 von dem in Zähler und Nenner subtrahiert wird nur möglich, wenn auch z3 und z2 gleiche Richtung wie z1 haben ( Skizze!!! ) somit müssen alle 3 auf einer Geraden liegen. 2) Betrag eines Quotienten ist Quotient der Beträge | z - 1 | / | z + 1 | = 2 | z - 1 | / | z - (-1) | = 2 der Quotient Abstand(z,1) / Abstand(z,-1) ist Konstant: Ort aller Punkte, für die der Qotient des Abstandes von 2 Punkten konstant ist ist ein Kreis ( Appolonius wird diese Entdeckung zugeschrieben ) . Die 2 Punkte sind 1 + i*0, -1 + i*0 .


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buenapersona
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  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2002-11-20

Vielen Dank! Ich versuche gerade Mittelpunkt und Radius zu finden: |(z-1)/(z+1)| = 2 (x-1)2 + y2 = 4(x+1)2 + 4y2 x2 - 2x + 1 + y2 = 4x2 + 8x + 4 + 4y2 3x2 + 10x + 3 + 3y2 = 0 x2 + (10/3)x + 1 + y2 = 0 x2 + 2(5/3)x + 25/9 - 16/9 + y2 = 0 (x + 5/3)2 + y2 = 16/9 Also, Mittelpunkt M = 5/3 + i0, Radius r = 4/3 Richtig? Was mir nicht gefällt, dass M = 5/3 + i0 ist. Es muss eigentlich (-5/3) + i0 sein. Vielleicht ist es so, weil  |(z-1)/(z+1)| ist gleich 2? In der Regel muss es so sein: Bild oder? MfG buena persona


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FriedrichLaher
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  Beitrag No.3, eingetragen 2002-11-21

So einfach ist die Rechnung, wenn man weis daß es ein Kreis ist: |z - 1| : |z - (-1)| = 2 : 1 der "rechte", auf der Re Achse liegende Punkt des Kreises, hat von 1+i0 den Abstand 2*(2/3) = 4/3, liegt also bei -1/3 + i0; für den "linken", L + i0, L < 0, muß (-L + 1):(-L - 1) = 2 : 1 gelten -L + 1 = -2L - 2 L = -3 Mittelpunkt also (-3 + (-1/3))/2 = -5/3 Radius 5/3 - 1/3 = 4/3 --------------------------------------------- Deine (doppelsinnig)komplexe Rechnung und die Kreisgleichung stimmen, aber wenn ICH, z.B. die Einheitsparabel y = x² nach rechts verschiebe um m, wird daraus y = (x-m)² also (x-m)² - y = 0, wenn ich sie nach links schiebe (x+m)² - y = 0 . Ist es beim Kreis anders? Wo ist also m ?


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buenapersona
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  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2002-11-24

Jetzt ist alles klar! Danke! MfG buena persona


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