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Mathematik » Analysis » Funktion, Taylor
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Universität/Hochschule J Funktion, Taylor
Pgam
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  Themenstart: 2002-11-21

Hallo! Ich finde bei folgender Aufgabe keinen Ansatz: Gegeben sei die Funktion: f: IR x (0,¥) --> IR; f(x) = x1^3 + x1^2 * ln x2-x2 . 1. Zeige, dass sich in einer Umgebung des Punktes x0 =(1,1)T die Kurve        G:{x Î IR2: f(x) = 0} lokal als Graph einer Funktion g: Wg Ì IR --> IR : x1 = g(x2) mit g(1)=1 darstellen lässt. Bestimme g'(1). 2. Bestimmen Sie mit Hilfe des Ansatzes g(x2) = a0 + a1*(x2-1)+ a2*(x2-1)2 + ..die Taylorentwicklung der Funktion g um x2 = 1 bis zu Termen zweiter Ordnung. Hinweis: ln(1+x)= x - ½*x^2+(1/3)*x^3-.... Gruß Pgam


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N-man
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  Beitrag No.1, eingetragen 2002-11-22

Hi Pgam, f(x,y) = 0 = x³ + x²*ln(y) - y ist dann nach x auflösbar, wenn die partielle Ableitung von f nach x ungleich null ist fx(x,y) = 3*x² + 2*ln(y)*x fx(1,1) = 3 Da fx in (1,1) stetig, so ist fx auch in einer gewissen Umgebung von (1,1) ungleich null. D.h. die Funktion g mit den genannten Anforderungen existiert. f(x,y) = f(g(y),y) = 0 Jetzt leitest du f ab, die Kettenregel liefert dir: 0 = fx*g'(y) + fy g'(y) = -fy/fx Und fetzt setzt du halt noch deinen Punkt ein.


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streentsch
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  Beitrag No.2, eingetragen 2002-11-22

Hab zum zweiten Teil mal eine Frage? Sollen die  ai eine Kurzschreibweise für f (i)(1)/(i!) sein, oder hat es damit wegen dieser speziellen, nicht explizit bekannten Funktion eine besondere Bewandnis. streentsch


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Anonymous
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  Beitrag No.3, eingetragen 2002-11-24

Hallo! Wie kann ich zeigen, daß sich die Kurve als Graph der Funktion darstellen läßt( ich versteh leider deine Erklärung nicht). Wie kommst du auf folgende Gleichung :f(x,y) = f(g(y),y) = 0 . Wie muß man die Funktion g "einbauen"? Kennst du den Ansatz des 2. Aufgabenteils? Gruß Pgam


 
N-man
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  Beitrag No.4, eingetragen 2002-11-24

Hallo. Du setzt deine Funktion f konstant 0 (Kurve G), eine solche Funktion nennt man implizit. Jetzt ist die Frage, ob ich diese implizite Funktion nach einer Variablen umstellen/auflösen kann. D.h. existiert eine Funktion g(y), die zumindest für einen kleinen Bereich die gleiche Punktmenge beschreibt, wie die implizite Funktion f(x,y)=0. Für diesen zweidimensionalen Fall, kann man lokal (d.h. für eine gewisse Umgebung um einen Punkt) nach einer Variablen auflösen, falls die part.Abl. in diesem Punkt ungleich null ist. Bsp.: f(x,y) = x² + y² - 1 ist eine implizite Funktion, die den Einheitskreis beschreibt. Kann man den Einheitskreis auch als eine Funktion y(x)=... darstellen? Die Antwort ist, ein bisschen geht das schon. Oberhalb der x-Achse beschreibt die Funktion y(x) = Ö(1-x²) den Einheitskreis und unterhalb y(x) = -Ö(1-x²). Es gibt aber keine explizite Funktion, wie man sich auch leicht überlegen kann, auf deren Graph ein Schnittpunkt mit der x-Achse und eine kleine Umgebung dieses Schnittpunktes liegt. Das untersucht man eben mit der part.Abl. nach y: => f(x,y)y=2y Die part. Ableitung wird null, falls y=0 und ist sonst immer ungleich null. y=0 gilt aber gerade für die Schnittpunkte mit der x-Achse. Die Funktion kann man leicht übersehen, deine Funktion ist problematischer. Du möchtest deine Funktion f(x,y) = 0, nur als eine Funktion von y darstellen, d.h. du möchtest nach x auflösen. Du kannst lokal um einen Punkt nach x auflösen, falls die part.Ableitung nach x in diesem Punkt ungleich null ist. f(x,y)x = 3*x² + 2*ln(y)*x f(1;1)x = 3  (also ungleich null! Yippeh!) Das heißt wir können auflösen und eine Funktion g mit den Eigenschaften existiert. Klarer?


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Anonymous
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  Beitrag No.5, eingetragen 2002-11-25

Hallo! Und wie ist dann der Ansatz beim 2. Aufgabenteil, vor allem wenn y=1???? Gruß Pgam


 
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