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Analysis » Rationale und reelle Zahlen » Analysis - Häufungspunktmenge Q
Autor
Universität/Hochschule J Analysis - Häufungspunktmenge Q
Anonymous
Unregistrierter Benutzer
  Themenstart: 2002-11-22

Hi, ich stehe hier vor einem Problem: Es geht um den Beweis, dass es keine relle Folge gibt, deren Häufungspunktmenge genau Q ist. Dazu: Ich weiß ja, dass "Häufungspunkt" bedeutet, dass in jeder e- Umgebung unendlich viele Folgeglieder in der gesuchten reellen Folge liegen müssten. Dass das nicht möglich ist, ist "logisch", aber ich hab` leider keine Ahnung, wie ich das mathematisch korrekt beweisen soll. Vielen Dank für Eure Hilfe! ;-))     Maya

 
matroid
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 12.03.2001
Mitteilungen: 14588
Wohnort: Solingen
  Beitrag No.1, eingetragen 2002-11-22

Hi Maya, Q ist gleichmächtig zu IN. Es existiert eine Bijektion b:IN->Q. Also kann man die Elemente von Q numerieren. Zu einem gegebenen q aus Q kann man eine Folge reeller Zahlen konstruieren, die gegen q konvergiert. Sei n die Nummer von q in der gewählten Numerierung, also b(n) = q. Sei an eine Folge, die gegen b(n)=q konvergiert. Damit hat man eine Menge F von reellen Folgen. Zu jedem q aus Q gibt es eine Folge in F, die gegen q konvergiert. Sei ank das k-te Folgenglied der Folge an. Dann kann man sich die Folgenglieder so aufgeschrieben vorstellen (Cantor läßt grüßen):   a11 a12 a13 ...   a21 a22 a23 ...   a31 a32 a33 ...   a41 a42 a43 ...    ...                     ... Man kann dann eine Folge bj bilden, indem man obiges Schema so durchläuft:     1   2   4   7   11        /   /    /   /     3   5    8   ...        /    /     6    9        /     10 Soweit so gut. Nun zur eigentlichen Behauptung, die lautet: Beh.: Es gibt keine Folge, deren Häufungspunktmenge = Q ist.. Ich habe oben eine Folge konstruiert, die jeden Punkt aus Q als Häufungspunkt hat. Nun muß man zeigen, daß diese Folge noch weitere Häufungspunkte hat, die in IR-Q liegen. Dazu genügt sogar ein Beispiel. Ich behaupte: wurzel(2) ist ebenfalls Häufungspunkt der Folge bn. Und der Beweis: Es liegt Q dicht in IR, d.h. praktisch, daß man jede reelle Zahl beliebig genau durch rationale Zahlen annähern kann. Sei cn eine Folge rationaler Zahlen, die gegen Wurzel(2) konvergiert. Jede der rationalen Zahlen, die in der Folge vorkommt, ist Häufungspunkt von bn, d.h. in jeder noch so kleinen Umgebung von wurzel(2) liegt eine rationale Zahl und da diese Zahl Häufungspunkt von bn ist, liegen unendlich viele Glieder der Folge bn in jeder Umgebung von wurzel(2). Gruß Matroid

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Anonymous
Unregistrierter Benutzer
  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2002-11-24

Vielen Dank, dass war eine wirklich sehr übersichtliche und verständliche Erklärung! Hat mir gleich bei anderen Fragen geholfen! ;-))

 
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