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| Autor |
  Beschränkte Mengen in Q |
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Ehemaliges_Mitglied
 |  Themenstart: 2002-11-22
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Hallo!
Ich habe hier ein Problem und auch schon meine Lösung dazu, wollte aber wissen, was ihr davon haltet:
sup sei im Folgenden das Supremum (die obere Schranke)
inf " " " " Infinum " untere "´
Die Aufgabe:
Seien A,B zwei beschränkte Mengen in Q.
Zeigen sie, dass die Mengen A+B = {a+b : aÎA, bÎB} und A·B = {a·b: aÎA, bÎB} beschränkt sind.
Meine Vorschläge für A+B:
sup(A+B):=max(A)+max(B)
inf(A+b):=min(A)+min(B)
Meine Vorschläge für A·B:
sup(A·B):=max(|A|)·max(|B|)
inf(A·B):= -max(|A|)·max(|B|)
Meine Frage:
Sind das plausible Lösungen oder macht das überhaupt keinen Sinn und ich hab Beschränktheit nicht verstanden, bzw. bin selbst beschränkt? Danke auf jeden Fall für jede Hilfe!
Gruß,
- Nueffl -
[ Nachricht wurde editiert von Nueffl am 2002-11-22 20:10 ]
[ Nachricht wurde editiert von Nueffl am 2002-11-22 20:18 ]
[ Nachricht wurde editiert von Nueffl am 2002-11-22 20:18 ]
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Ende
Senior 
Dabei seit: 15.03.2002
Mitteilungen: 2300
Wohnort: Kiel, Ostsee
 |  Beitrag No.1, eingetragen 2002-11-22
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Hallo, Nueffl!
Du bist direkt in die Falle getappt. 
Eine in Q beschraenkte Menge muss gar kein Supremum in Q haben. Und erst recht kein Maximum.
Betrachte zum Beispiel die Menge M := {x Î Q | x > 0, x2 < 2}.
Vielleicht faellt Dir ja noch etwas Besseres ein.
Gruss, E. 
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matroid
Senior 
Dabei seit: 12.03.2001
Mitteilungen: 14571
Wohnort: Solingen
 |  Beitrag No.2, eingetragen 2002-11-22
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Hi Nueffl,
such mal im Forum nach Supremum.
Gruß
Matroid
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Ehemaliges_Mitglied
|  Beitrag No.3, vom Themenstarter, eingetragen 2002-11-22
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Hallo!
Danke für eure Hilfe, aber ich verstehe nicht ganz, was ihr mir sagen wollt *g*. Ist meine Lösung nun falsch oder nur unelegant? Was würdet ihr dann für Schranken angeben, bzw. als Argument dafür nehmen, dass die Mengen beschränkt sind?
Danke,
- Nueffl -
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matroid
Senior
Dabei seit: 12.03.2001
Mitteilungen: 14571
Wohnort: Solingen
|  Beitrag No.4, eingetragen 2002-11-22
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Sie ist falsch.
Such mal nach "Supremum" von "Matroid".
Gruß
Matroid
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Ehemaliges_Mitglied
| Beitrag No.5, vom Themenstarter, eingetragen 2002-11-23
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Hallo Matroid!
Habe deinen Rat befolgt und hab das Forum durchforstet. So richtig schlau bin ich aber daraus nicht geworden. Das einzige, was ich jetzt weiß, ist dass beschränkte Mengen in Q ein Maximum (Minimum) haben. Aber das hilft mir für die Aufgabe recht wenig. Wieso stimmt eigentlich meine Lösung nicht?
Zumindest für A+B ist sie doch korrekt??!
Gruß,
- Nueffl - :-o
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matroid
Senior
Dabei seit: 12.03.2001
Mitteilungen: 14571
Wohnort: Solingen
| Beitrag No.6, eingetragen 2002-11-23
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Nein, beschränkte Mengen müssen kein Maximum haben.
Beispiel: M = ]0, 1[
Hier ist der Beweise für sup(A*B)
und hier für sub(A+B) oder hier.
Gruß
Matroid
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Ehemaliges_Mitglied
| Beitrag No.7, vom Themenstarter, eingetragen 2002-11-23
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eine Frage zur Logik: darf ich aus: sup(A·B) = sup(A) · sup(B) folgern, dass Inf(A·B) = inf(A) · inf(B) ?
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matroid
Senior
Dabei seit: 12.03.2001
Mitteilungen: 14571
Wohnort: Solingen
| Beitrag No.8, eingetragen 2002-11-23
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Nein, aber du kannst den Beweis in sehr analoger Weise führen.
Gruß
Matroid
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Ende
Senior
Dabei seit: 15.03.2002
Mitteilungen: 2300
Wohnort: Kiel, Ostsee
|  Beitrag No.9, eingetragen 2002-11-23
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Nun muss ich mich doch nochmal einmischen.
Matroid hat ja schon gesagt, dass beschraenkte Mengen in Q kein Maximum haben muessen.
Beschraenkte Mengen in Q muessen in Q aber nicht einmal ein Supremum haben. Du kannst also nicht ohne weiteres ueber sup(A) und sup(B) und schon gar nicht ueber sup(A) + sup(B) reden.
Die Menge M, die ich in meiner allerersten Antwort angegeben habe, ist nach oben beschraenkt durch 2, hat aber in Q kein Supremum.
Du kannst lediglich mit Schranken argumentieren bzw. rechnen. Supremum oder Infimum kannst Du nicht verwenden.
Gruss, E.
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