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Funktionentheorie » Integration » komplexes wegintegral Ana III
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Kein bestimmter Bereich J komplexes wegintegral Ana III
hirnschwund
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  Themenstart: 2005-01-24

hallo, mich quälen schon wieder komplexe wegintegrale.. Die Kurven sollen im Gegenuhrzeigersinn durchlaufen werden: (a) int(e^z /(z^2 -1),z,\Gamma,) mit \Gamma=\pd\ B(0,2) (b) int(e^z /(z^2 -1),z,\Gamma,) mit \Gamma=\pd\ B(1,1) (c) int(tan(z),z,\Gamma,) mit \Gamma=\pd\ B(i,3/2) (d) int(sin(z) z^n,z,\Gamma,) mit \Gamma=\pd\ B(0,1) (e) int((z-z_0)^(-2) / (z-z_1)^(-3),z,\Gamma,) mit \Gamma=\pd\ B(0,1) und z_0,z_1 \el\ \IC mit abs(z_0)<1

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Ex_Mitglied_4018
  Beitrag No.1, eingetragen 2005-01-24

Hi hirnschwund, ist der Cauchysche Integralsatz/die Cauchysche Integralformel bekannt? Ich meine die Formel int(f(z) /(z-z_0)^(k+1),z,\Gamma,)=f^(k)(z_0)/2\pi i wobei Gamma eine Kreisscheibe berandet, worauf f holomorph ist. Gruß Zaos [ Nachricht wurde editiert von Zaos am 24.01.2005 11:40:19 ]

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hirnschwund
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  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2005-01-24

he zaos, schon mal gelesen, kannst du vielleicht noch was zu sagen-oder ein bsp. zeigen das wär sehr hilfreich danke hirnschwund

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Ex_Mitglied_4018
  Beitrag No.3, eingetragen 2005-01-24

Hi, bei a) beispielsweise geht man so vor: Man muss zunächst zwei kleine Kreise um die SIngularitäten 1 und -1 betrachten. Das Integral über diesen beiden Kreise ist das geuschte Integral. 2\pi*i*int(e^z /(z^2 -1),z,\Gamma,)=int(e^z *(z-1)^(-1) /(z+1),z,\abs(z+1)=1/2,)+int(e^z *(z+1)^(-1) /(z-1),z,\abs(z-1)=1/2,)=e^(-1)*(-1/2)+e/2 Ich hoff, Ich hab mich nicht verrechnet... Gruß Zaos [ Nachricht wurde editiert von Zaos am 25.01.2005 20:10:42 ]

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hirnschwund
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  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2005-01-25

he zaos, ich versteh es einfach nicht... hast du wirklich nur die cauchy-integralform verwendet? Und warum muss man den Kreis zerpflücken und wie sehen die Interatiosgrenzen aus..wie würde ichs denn bei (b)-is ja bis auf den weg gleich-auseinanderziehen und wie form ich den sinus in (c) um.. so richtig versteh ich´s nicht-hast du vielleicht den rsiduensatz benutzt?den solln wir außer acht lassen... ich brauch halt ein kochrezept für blöde-sonst raff ichs eigentlich schneller danke hirnschwund

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hirnschwund
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  Beitrag No.5, vom Themenstarter, eingetragen 2005-01-25

*mit schwung hochschieb* oh mann jetzt fang ich auch schon damit an... hat noch jemand tipps??? hirnschwund

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Ex_Mitglied_4018
  Beitrag No.6, eingetragen 2005-01-25

Hi Hirnschwund, bei a) sind zwei Singularitäten im innern der Kurve. Also kann man die Cauchyformel nicht direkt anwenden. Mann muss dafür zwei kleineree Kurven nehmen, die die Singularitäten 1 und -1 umlaufen. Bild Dass dann wirklich das gesuchte Integral rauskommt, wenn man die Integrale über die kleinen Kreise summiert, folgt aus der Tatsache, dass der große Kreis homolog zu der Summe der kleinen Kreise ist (auf dem Gebiet IC - {singularitäten} = IC-{-1,1}) Diese Schwierigkeit taucht bei b) nicht auf, da innerhalb des Kreises nur eine Singularität vorliegt. Da kannst Du die Cauchy-Integralformel sofort anwenden. Den Residuensatz habe Ich nicht direkt benutzt. Ich habe quasi das was hinter dem Residuensatz steckt zu Fuß gemacht. Hinter all den Sätzen um die Berechnung der Kurvenintegrale (von meromorphen Funktionen) steckt nämlich das selbe Prinizip, was der Residuensatz prägnant zusammenfasst. Gruß Zaos

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hirnschwund
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  Beitrag No.7, vom Themenstarter, eingetragen 2005-01-25

danke zaos, jetzt mit den erklärungen und der zeichnung ist der groschen gefallen schönen abend noch...

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hirnschwund hat die Antworten auf ihre/seine Frage gesehen.
hirnschwund hat selbst das Ok-Häkchen gesetzt.

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