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Analysis » Folgen und Reihen » Folgen und Grenzwerte
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Universität/Hochschule J Folgen und Grenzwerte
Moonie123
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  Themenstart: 2002-11-22

Hallo, ich habe hier zwei Aufgaben zu Folgen, und ich komme einfach auf kein Ergebnis. (1) Seien k aus IN, ai aus IR, i = 0,...,k gegeben mit åki=0 ai = 0. Zeigen Sie: lim(n-->oo) åki=0 aisqrt(n+i) = 0 (2) Hier habe ich eine rekursive Folge (bn):         b0 = 3/16         nn+1 = b²n-1 + b0, n>=1 Zu zeigen: Die Folge konvergiert, und der Grenzwert ist zu berechnen. Zur (2) habe ich mir überlegt, daß man wohl zeigen muß, daß die Folge beschränkt und monoton (steigend) ist. Allerdings kriege ich das nicht hin. Außerdem hat mein Taschenrechner 1/4 als Grenzwert ausgespuckt. Aber selbst das kann ich (bei Voraussetzung von Konvergenz) nicht berechnen, bzw. ich habe gedacht, man könnte da die Lösungen der Gleichung a = a² + 3/16 suchen (hab ich in einem Buch gelesen), da kommt aber 1/4 und 3/4 raus (wenn ich mich nicht verrechnet habe). Kann man da vielleicht dann eine Lösung ausschließen? Danke schon mal für alle Tipps und Lösungshilfen, Grüße, Moonie123

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  Beitrag No.1, eingetragen 2002-11-23

Hallo, Moonie! Ich denke, bei (1) ist die Idee die folgende: Je groesser man n waehlt, umso naeher liegen sqrt(n) und sqrt(n+i) zusammen. Man kommt sogar beliebig nahe. Statt sqrt(n+i) kann man also schreiben sqrt(n) + ei, und die ei kriege ich durch Wahl von n so klein wie ich moechte. Dann ist (Die Grenzen der Summe lasse ich weg): |åaisqrt(n+i)| = |åai(sqrt(n) + ei)| = |å(aisqrt(n) + aiei)| = |åaisqrt(n) + åaiei| £ |åaisqrt(n)| + |åaiei| = sqrt(n) * |åai| + |åaiei| = 0 + |åaiei|. So, nun kannst Du den Betrag nochmal reinziehen, ueber das Maximum der aiei summieren, welches Du ja, wie gesagt, beliebig klein kriegst. Das ist natuerlich alles nur eine grobe Skizze. Du musst zum Beispiel noch zeigen, dass die Behauptung ueber die sqrt-Funktion von oben ueberhaupt richtig ist. Aber ich denke, nachdem ich Deine zahlreichen Beitraege gelesen habe, dass Du das schon selbst hinbekommst. Sonst frag einfach nochmal nach. Gruss, E.

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Moonie123
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  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2002-11-23

Hallo, Ende! Erstmal danke. Ich werd mal drüber schlafen. Dann schau ich mal, ob ich damit klarkomme. Sonst schreib ich einfach nochmal. n8, Moonie123

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  Beitrag No.3, eingetragen 2002-11-23

Tu das.

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Moonie123
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  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2002-11-23

Hallo, Ende, ich muß sagen, das mit der Konvergenz bereitet mir doch einiges Kopfzerbrechen. Prinzipiell hab ich das mit diesem e-Kriterium zwar schon verstanden, aber anwenden kann ich es offenbar nicht. Ich hab auf jeden Fall noch Fragen: 1. Frage: Zu Deiner Erklärung hab ich mir überlegt, daß ich da ja jetzt zeigen müßte, daß |sqrt(n+i) - sqrt(n)| < e ist. Das heißt doch, ich fange an mit: Sei e >0 beliebig. Dann wähle ich ein N aus IN (abhängig von e). Dann habe ich mal angefangen zu rechnen, und weil ich mit|sqrt(n+i) - sqrt(n)| nicht weitergekommen bin, hab ichs mal quadriert, wenn dieses Quadrat am Schluß < e² ist, bin ich doch fertig, oder? Also: |sqrt(n+i) - sqrt(n)| ² = 2n + i - 2·sqrt(n²+ni) Mit n>=1 und i>=0 müßte doch dann sqrt(n²+ni) <= n² + ni sein (oder?). Also: |sqrt(n+i) - sqrt(n)| ² = 2n + i - 2·sqrt(n²+ni) <= 2n + i - 2n² - 2ni <= 2n + 2ni - 2n² - 2ni = -2n² + 2n Jetzt wäre es doch mal an der Zeit, zu wissen, wie ich das N gewählt habe, damit ichs hier einsetzen kann. Aber ich komme irgendwie auf kein vernünftiges N, sodaß -2n² + 2n < e² Kannst Du mir da weiterhelfen, bzw. mir erklären, ob das nicht sowieso alles Stuß ist, was ich mir hier gedacht hab? --------------------------- 2. Frage: Wenn ich das von oben gezeigt habe, kann ich dann für sqrt(n+i) schon sqrt(n) + e schreiben?? ----------------------------- 3. Frage: |åaisqrt(n+i)| ist der zweite Schritt von: |åaisqrt(n+i) - 0| ,oder? ------------------------------- 4. Frage: Bis zu 0 + |åaie| kann ich Dir dann folgen. Kann ich dann danach so weiterrechnen: |åaie| = e ·|åai| = e·0 = 0 Bin ich dann fertig??? Irgendwie ist das alles noch recht konfus, wäre echt toll, wenn Du mir etwas beim "Gedanken ordnen" helfen könntest. Grüße, Moonie123

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Moonie123
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  Beitrag No.5, vom Themenstarter, eingetragen 2002-11-23

Hallo, jetzt habe ich selbst noch ein bißchen an der (2) rumprobiert, und frage mich, ob das so richtig ist. Kann mir das jemand bestätigen oder sagen, was noch falsch/ungenau ist? Beschränktheit (Induktion): (i) b0 = 3/16   Sei bn >= 3/16   --> bn+1 = b²n + 3/16 >= 3/16, da b²n >= 0 ==> bn >= 3/16 für alle n. (ii) b0 = 3/16 < 1/4 Sei bn <= 1/4 --> bn+1 = b²n + 3/16 <= 1/16 + 3/16 = 4/16 = 1/4. ==> bn <= 1/4 für alle n. Monotonie: bn+1 - bn = b²n + 3/16 - bn >= b²n + 3/16 - 3/16 = b²n >=0 ==> bn+1 >= bn ==> (bn) ist konvergent. ==> lim bn = b ==> b = b² + 3/16 ==> b1 = 1/4, b2 = 3/4. b2 ist auszuschließen, da bn <= 1/4 (wg. Beschränktheit) Also ist lim bn = b = 1/4. Bin ich da schon fertig??? Grüße, Moonie123

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Zahlenteufel
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  Beitrag No.6, eingetragen 2002-11-23

Hi, erweitere Ö(n+1) -Ön mit Ö(n+1) + Ön . Dann steht dort: |1/(Ö(n+1) +Ön)|<e. Dann kannst du weiterrechnen, wie du es schon beschrieben hast. Die 2.Aufgabe hast du richtig. Gruß Zahlenteufel

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