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Mathematik » Analysis » Partialbruchzerlegung
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Kein bestimmter Bereich J Partialbruchzerlegung
matzge
Ehemals Aktiv Letzter Besuch: vor mehr als 3 Monaten
Dabei seit: 12.10.2002
Mitteilungen: 49
  Themenstart: 2002-11-24

Hallo! Ich bin gerade dabei für unsere Mathmatikklausur die Partialbruchzerlegung zu lernen. Dafür ist in unserem Skriptum folgendes Beispiel angeführt: Man zerlege folgende rationale Funktion in Partialbrüche: r(x)=(x3+2x+1)/((x-1)2*(x2+1)) Gelöst werden soll das ganze mittels Koeffizientenvergleich. Als nächster Schritt steht: r(x)=a11/(x-1)+a12/(x-1)2+(b11x+c11)/(x2+1) Kann mir bitte jemand (einfach) erklären wie man zu diesem zweiten Schritt kommt? Ich denke, dass dies auf die Partialbruchzerlegung von Lagrange zurückzuführen ist, wende sie aber offensichtlich falsch an, da ich nie auf den obigen zweiten Schritt komme. Grüße und Dank Roland

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N-man
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Dabei seit: 15.10.2002
Mitteilungen: 2579
Wohnort: Zürich
  Beitrag No.1, eingetragen 2002-11-24

Hallo. Du willst eine reelle Partialbruchzerlegung machen. Dazu musst du, wie du sicher schon weißt, die Nullstellen des Nenners untersuchen. In deinem Beispiel liegt eine doppelte reelle Nullstelle bei x=1. Dafür schreibst du dann: a/(x-1) + b/(x-1)². Wäre x=1 eine dreifache Nullstelle, erhältst du drei Summanden usw. Der Ausdruck (x²+1) besitzt keine reellen Nullstellen, deshalb bleibt der Ausdruck so erhalten. Und du machst den Ansatz eben in der Form (c*x+d)/(x²+1). OK? Gruß Manuel

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matzge
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Mitteilungen: 49
  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2002-11-24

Hallo Manuel! Ist nicht ganz ok. Ich weiss natürlich, dass ich die Nullstellen des Nenners betrachten muss. (also den Nenner in Linearfaktoren aufspalten) Ich würde aber für den ersten Ausdruck a/(x-1)+b/(x-1) schreiben. Warum muss man den Nenner des zweiten Terms zum Quadrat nehmen(also b/(x-1)2schreiben)? Dass (x2+1) keine reelle Nulstelle hat ist logisch. Warum schreibst du aber im Nenner dann (c*x+d)? Grüße und Dank Roland

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buenapersona
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Mitteilungen: 43
  Beitrag No.3, eingetragen 2002-11-24

Hallo! In allgemeinem löst man solche Aufgaben so: Wir habe zwei Polynome R(x) und Q(x). Dann schreiben wir Q(x) so: Bild Jetzt unsere Division sieht so aus: Bild Beispiel 1: Bild Wir multiplitieren beide Seite mit x(x+2)2: Bild Jetzt haben wir 3 Gleichungen: Bild Wir lösen diese Gleichungen und bekommen: A=2, B=1, C=-10. Die Lösung ist: Bild Beispiel 2: Bild 1) x4 + 3x2 = x2(x2 + 3) 2) Bild 3) 1 = Ax(x2 + 3) + B(x2 + 3) + (Cx +D)x2 = (A+C)x3 + (B+D)x2 + 3Ax + 3B 4) A+C=0; B+D=0; 3A=0; 3B=1 5) A=0; B=1/3; C=0; D=-1/3 Die Lösung ist: Bild Ich hoffe, es wird dir helfen. MfG buena persona

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matzge
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  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2002-11-24

Hallo! Die allgemeine Form (also für zwei Polynome r(x) und q(x)) habe ich in meinem Skript zur Vorlesung ebenfalls stehen. Leider verstehe ich trotz der Beispiele noch immer nicht wie man die allgemeine Form bei einem expliziten Beispiel, z. B. 1/x*(x2+1) anwendet. Vielleicht kann mir jemand den Zusammenhang zwischen der allgemeine Form und einem Beispiel klar machen. Viele Grüße Roland

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buenapersona
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Mitteilungen: 43
  Beitrag No.5, eingetragen 2002-11-24

Leider verstehe ich trotz der Beispiele noch immer nicht wie man die allgemeine Form bei einem expliziten Beispiel, z. B. 1/x*(x2+1) anwendet. Also, noch ein mal: 1/x*(x2+1) R(x) = 1 Q(x) = x*(x2+1) Jetzt schauen wir folgende Formel an: Wir haben A/x. Hier (x-a) aus unserer Formel ist gleich (x-0)=x Noch haben wir x2+1. Schauen wir noch ein mal unsere Formel an und sehen, dass es Mnx+Nn entspricht, weil  x2+1=(x2+0*x+1)1. In unserem Fall kann man auch Cx+D schreiben . Das war's MfG buena persona

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matzge
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  Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2002-11-24

DANKE !! Jetzt hab ich es verstanden!! und kanns auch anwenden. Viele Dank und hetzliche Grüße Roland

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