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Analysis » Ungleichungen » eine AGM-Ungleichung
Autor
Kein bestimmter Bereich J eine AGM-Ungleichung
Jerry
Ehemals Aktiv Letzter Besuch: vor mehr als 3 Monaten
Dabei seit: 08.11.2002
Mitteilungen: 88
Wohnort: Münster
  Themenstart: 2002-11-26

Hallo, hat jemand eine Idee, wie ich die Richtigkeit folgender Ungleichungen zeigen kann: x,y ÎR, nÎN, n³2. Ausserdem gilt: -n£x£y. Dann folgt: a) (1+(x/n))^n * (1+(y/n))^n £ (1+( (x+y) / 2n ))^2n b) ((1+ (x+y/n-1) )^(n-1) ) * (1+ (xy/n) ) £ (1+ x/n + y/n + (xy/(n^2)) )^n Ich habe nämlich schon viele Umformungen versucht, um eine Ähnlichkeit der einzelnen Glieder zu finden, und so etwas vergleichbarer zu machen, aber leider ohne Erfolg. Danke Jerry

   Profil
Eckard
Senior Letzter Besuch: vor mehr als 3 Monaten
Dabei seit: 14.10.2002
Mitteilungen: 6828
Wohnort: Magdeburg
  Beitrag No.1, eingetragen 2002-11-26

Hallo Jerry, a) geht glaube ich so (ich kann die Sonderzeichen nicht lesen, deswegen leichte Unsicherheit, ob ich dasselbe meine wie du): Fasse links die Basen der Potenzen zusammen (multiplizieren) und ziehe dann die n-te Wurzel. Dann bleibt links 1 + (x+y)/n + x*y/n^2 übrig und rechts (1 + (x+y)/(2n))^2 = 1 + (x+y)/n + (x+y)^2/(4n^2). Die ersten zwei Summanden fliegen raus und der Rest dürfte mit der AM-GM-Ungleichung einfach zu zeigen sein. Wenn es ein richtiger Beweis werden soll, denke dran die Schritte umzukehren, damit du von der Voraussetzung zur Behauptung gelangst. Gruss Eckard

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