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| Autor |
  Abgeschlossenheit von Mengen |
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tstening
Ehemals Aktiv 
Dabei seit: 27.05.2002
Mitteilungen: 58
 |  Themenstart: 2002-11-27
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Hallo alle miteinander,
mir stellt sich folgendes Problem. Ich soll bei den folgenden Mengen schauen, ob sie offen oder abgeschlossen sind:
a) {1/n für n Î IN \ {0}}
b) {1/n für n Î IN \ {0}} È {0}
c) Die Vereinigung n Î IN \ {0} I 1/(2n+1) ; 1 / 2n I
(I .. I soll das offene Intervall bedeuten)
d) Der Schnitt aller n ÎIN \ {0} I n/n+1 ; n+1/n I
(I..I ist das offene Intervall)
Ich habe ein wenig nachgelesen und bin bei a) zu folgendem Ergebnis gekommen:
a) ist eine abgeschlossene Menge, da die Menge nicht auch Umgebung für jeden ihrer Punkte ist. Begründung: In einer Umgebung um eine rationale Zahl liegen auch irrationale Zahlen, die jedoch nicht in der Menge liegen.
Zu c) habe ich folgendes als Lösung:
Es gibt einen Satz, dass die Vereinigung offener Intervalle wieder ein offenes Intervall ist.
Aber was ist mit b) und d) ?
Bei den Mengen kann ich mir keinen so großen Reim drauf machen. Die Vereinigung mit {0} bei b) ändert doch nichts an der Abgeschlossenheit, oder? 0 scheint aber Berührungspunkt zu sein, wenn ich das richtig sehe.
Viele Grüße, Tobi :-)
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 Profil
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N-man
Senior 
Dabei seit: 15.10.2002
Mitteilungen: 2579
Wohnort: Zürich
 |  Beitrag No.1, eingetragen 2002-11-27
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Hallo,
eine Menge heißt abgeschlossen, wenn sie alle ihre Häufungspunkte enthält. Ein Punkt heißt Häufungspunkt einer Menge, wenn in jeder(!) Umgebung diese Punktes andere Elemente der Menge liegen.
Eine Menge heißt offen, falls für jeden Punkt eine Umgebung existiert, die voll in der Menge drinn liegt.
a)
Diese Menge ist nicht abgeschlossen, da die 0 HP ist, aber selbst nicht in der Menge liegt. In jeder Umgebung der null liegen unendlich viele Elemente der Menge. Es gibt aber keine natürliche Zahl n mit 1/n=0.
b)
Die Menge ist jetzt abgeschlossen, weil jetzt die null dabei ist.
d)
Lautet das Intervall ( n/(n+1) ; (n+1)/n ). Oder sind da keine Klammern?
GRuß
Manuel
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Anonymous
Unregistrierter Benutzer
| Beitrag No.2, eingetragen 2002-11-28
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Hallo Manuel,
zu a) und b) habe ich mitlerweile denselben Gedankengang gehabt. Zu d) ist noch zu sagen, dass da Klammern hingehören, wie Du es vorgeschlagen hast. Es handelt sich also um das offene Intervall von
(n/(n+1)) bis ((n+1)/n).
Ich bin der Meinung, dass bei d) auch eine offene Menge vorliegt, da der Schnitt über alle Intervalle gerade das n-te Intervall ergibt.
Für n = 1 ist das Intervall [1/2 ; 2] (offenes Intervall, auch wenn die Klammern etwas anderes symbolisieren)
Für n = 2 ist das Intervall [2/3 ; 3/2]
Der Schnitt der beiden ergibt gerade das zweite Intervall. Das f´geht so beliebieg weiter. Der Schnitt über die ersten 3 Intervalle ergibt das 3. Intervall. Naja: da alle Intervalle offen sind, ist wohl auch der Schnitt ein offenes Intervall, oder?
Viele Grüße, Tobias
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N-man
Senior
Dabei seit: 15.10.2002
Mitteilungen: 2579
Wohnort: Zürich
| Beitrag No.3, eingetragen 2002-11-28
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Nein. Das muss nicht gelten. Der Durchschnitt endlich vieler offener Mengen ist wieder offen. In diesem Fall betrachtest du den Durchschnitt unendlich vieler offener Mengen (da für alle nÎIN). Der Durchschnitt muss dann nicht offen sein und ist es in diesem Fall auch nicht, denn das einzige Element der Menge ist die 1.
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Profil
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Anonymous
Unregistrierter Benutzer
| Beitrag No.4, eingetragen 2002-11-28
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Ach ja... wenn man die Intervalle betrachtet, werden sie immer kleiner und sammeln sich um die 1 herum! meine Güte, dass ich da nicht schon früher drauf gekommen bin! :-)
Ich danke Dir für die Hilfe! :-)
Gruss, Tobi :-)
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