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| Autor |
  * Wie stumpfsinnig |
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galexy
Senior 
Dabei seit: 12.01.2004
Mitteilungen: 1383
Wohnort: Hamburg
 |  Themenstart: 2005-03-04
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Hallöchen Planetarier,
Es geht hier um Dreiecke und Strecken. Und zwar sei über die Strecken a, b, c, d und e nur folgendes bekannt:
Je drei dieser Strecken lassen sich zu einem Dreieck zusammenlegen.
Man beweise: Mindestens ein Dreieck ist spitzwinklig.
Also dann, viel Spaß 
Alex
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Buri
Senior 
Dabei seit: 02.08.2003
Mitteilungen: 46938
Wohnort: Dresden
 |  Beitrag No.1, eingetragen 2005-03-04
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Hi galexy,
eine sehr schöne Aufgabe.
Ich sehe es nicht auf den ersten Blick, wie es geht (aber vll auf den zweiten  )
Gruß und Dank
Buri
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JohnDoe
Senior
Dabei seit: 19.07.2003
Mitteilungen: 2146
Wohnort: Tirol
 |  Beitrag No.2, eingetragen 2005-03-05
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Hallo Alex und Buri,
ich habe diese interessante Aufgabe in meiner Sammlung. Sie stammt aus einer russischen Olympiade Anfang der 70er Jahre und wäre im neuen Olympiade-Aufgaben-Forum gut aufgehoben (unter "Ungleichungen" )
Gruß, Heinz
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Buri
Senior
Dabei seit: 02.08.2003
Mitteilungen: 46938
Wohnort: Dresden
| Beitrag No.3, eingetragen 2005-03-05
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Hi Alex,
ich sandte dir einen Lösungsvorschlag.
Hier ist noch Spielraum in der Argumentation, man könnte fragen, wie groß kann das Minimum des größten Winkels in den 10 Dreiecken maximal sein? Die gleiche Frage für n Strecken.
Gruß Buri
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galexy
Senior
Dabei seit: 12.01.2004
Mitteilungen: 1383
Wohnort: Hamburg
| Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2005-03-05
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Ich fühle mich geehrt die ersten beiden Sieger zu kühren.
um 11:08 erhiehlt ich von Buri einen gallanten und sehr kurzen beweis, der ohne viel rechnen auskommt. 
um 12:47 folgte von fru ein etwas längerer aber eben so richtiger beweis
@Heinz: Dass wir ein neues Forum dafür haben habe ich nicht mit bekommen. Vielleicht kann ein Mod den Thread verschieben.
Dem Büchlein, aus dem ich diese aufgabe habe, ist zu entnehmen, dass diese Aufgabe im BWM 1970/71 war.
Aber interessant, dass sie auch bei einer russischen Olympiade auftaucht. Fragt sich wer bei wem abgeguckt hat 
@Buri: Eine Verallgemeinerung klingt interessant. Wenn ich dich recht verstanden habe, suchen wir nun also nach einer abschätzung für den spitzesten Winkel.
Klingt wie gesagt sehr interessant, ich frage mich nur ob meine Ungleichungskünste gut genug dafür sind.
Alex
[ Nachricht wurde editiert von galexy am 05.03.2005 13:54:44 ]
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galexy
Senior 
Dabei seit: 12.01.2004
Mitteilungen: 1383
Wohnort: Hamburg
| Beitrag No.5, vom Themenstarter, eingetragen 2005-03-05
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Hallo Buri,
Zwei sachen sind mir beim genauen Überlegen aufgefallen.
1) ich habe dich oben falsch verstanden
2) deine Verallgemeinerung ist quatsch, wenn man die längen der strecken nicht weiter einschränkt.
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Seinen a_i (i\el{1,2,...,n}) Strecken, von denen sich je drei zu einem Dreieck zusammensetzen lassen.
Es sei oBdA 0
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Buri
Senior 
Dabei seit: 02.08.2003
Mitteilungen: 46938
Wohnort: Dresden
| Beitrag No.6, eingetragen 2005-03-05
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Hi galexy,
die Argumentation, die Verallgemeinerung sei Quatsch, zieht nicht. Für a3 = a4 = a5 haben wir ein gleichseitiges Dreieck mit Winkeln von 60°.
Meine Frage ist (und ich bin überzeugt davon, daß sie mit vertretbarem Aufwand vollständig gelöst werden kann):
Wie lautet der kleinste Winkel a(n), so daß für n Strecken, von denen je drei ein Dreieck bilden können, unter diesen Dreiecken immer eines existiert, dessen größter Winkel <=a(n) ist.
Die Ausgangsfrage besagt a(5) < 90°.
Ich bin dabei, a(5) zu berechnen, es kommt jedenfalls ein Wert größer als 84° heraus, als ziemlich günstige Streckenlängen kann man 20,20,27,32,40 nehmen, ich behaupte aber nicht, daß das optimal ist.
Gruß Buri
PS: "größter" und "kleinster" verwechselt, nun korrigiert.
PPS: Meine Lösung, obwohl als "gallant und kurz" bezeichnet, ist leider falsch, wie ich jetzt bemerkte.  Ich gebe also den ersten Platz an Franz (fru) ab.
[ Nachricht wurde editiert von Buri am 06.03.2005 17:13:53 ]
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galexy
Senior
Dabei seit: 12.01.2004
Mitteilungen: 1383
Wohnort: Hamburg
| Beitrag No.7, vom Themenstarter, eingetragen 2005-03-06
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erstens: Wauzi ist seit 21:24 Uhr Numero drei, nach anfänglichen Missverständissen.. *applaus*
zweitens: Buri, ich hab heut echt n brett vorm Kopf... vielleicht macht es ein Ausdruck wie "das größte minimum der maximalen winkel". Da wird einem sprachlich schon ganz komisch zu mute.
Jetzt habe ich deine idee endlich verstanden und sie ist wieder interessant für mich. Allerdings ist mir nun unklar wie man dein a(5) besser abschätzen kann. vielleicht komme ich nach einiger überlegung auf eine idee, aber nun ist vorerst schlaf angesagt... muss ja schließlich morgen früh noch arbeiten
geruhsame nacht
Alex
[ Nachricht wurde editiert von galexy am 06.03.2005 02:06:06 ]
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galexy
Senior
Dabei seit: 12.01.2004
Mitteilungen: 1383
Wohnort: Hamburg
| Beitrag No.8, vom Themenstarter, eingetragen 2005-04-20
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(ver)*schieb*
[Verschoben in Forum 'Bundeswettbewerb Mathematik' von galexy]
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galexy hat die Antworten auf ihre/seine Frage gesehen.
galexy hat selbst das Ok-Häkchen gesetzt. |
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