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 Bilinearität |
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Anonymous
Unregistrierter Benutzer
|  Themenstart: 2002-01-27
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Könnte mir mal jemand helfen für was ich die folgenden Sachen brauche. Aber bitte mit ganz einfachen Worten erklären:
Biliniarformen, Matrixbeschreibung, Quadratische Formen, Orthogonalbasen, Orthogonale Abbildungen?
Ihr könnt mir auch ne internet Seite verraten, wo man das wirklich gut nachlesen kann.
Vielen Dank
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matroid
Senior 
Dabei seit: 12.03.2001
Mitteilungen: 14588
Wohnort: Solingen
 |  Beitrag No.1, eingetragen 2002-01-27
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Hi,
die Geometrie ist eine der ältesten Zweige der Mathematik - mindestens der zweitälteste. Die Begriffe die Du nennt kommen aus der Analytischen Geometrie.
Dort betreibt man Geometrie mit Hilfe von Vektoren.
In der Analytischen Geometrie kommt man nicht mit dem Vektorraumbegriff als Grundlage aus. Man erwartet in der Geometrie
- Entfernungen angeben zu können
- die Lage von Objekten zueinander angegeben zu können (z.B. 'senkrecht auf')
- Bewegungen von Objekten beschreiben zu können.
Darum führt man weitere Begriffe ein. Diese Begriffe klingen abstrakt, sind aber mit unserer anschaulichen Geometrieerfahrung verstehbar.
Die Entfernung ist anschaulich ein Abstand zwischen 2 Punkten.
Alle Abstandsmessungen erfordern 2 Punkte. Darum heißen solche Entfernungsmaße auch 'Bilinearformen'. 'Bi' für 2, und 'linear', weil das Ergebnis von Veränderung eines der beiden Punkte linear abhängt.
Beispiel für eine Bilinearform ist das bekannte Skalarprodukt. Es gibt grundsätzlich andere Möglichkeiten Entfernungen zu messen. Aber ein gutes Entfernungsmaß - man nennt es eine 'Norm' soll ja vernünftige Eigenschaften haben. Diese Eigenschaften definiert man dann als Vorraussetzung. Mit einer Norm berechnet man den 'Betrag' eines Vektors (quasi der Abstand vom Nullpunkt). Und eine 'Metrik' ist eine Bilinearform, man kann damit Abstände zwischen Punkte bestimmen.
All diese Begriffe werden in der Vorlesung abstrakt eingeführt. Aber so definiert, daß sie die 'natürlichen' Rechenregeln im Euklidischen Raum 'enthalten'.
Mit den Begriffe mit 'orthogonal' beschreibt man dann Lagebeziehungen - nämlich 'senkrecht auf'. Man kann die Orthogonalität von 2 Vektoren durch ein Berechnung eines Skalarprodukts prüfen.
Der anschauliche Begriff 'senkrecht auf' ist damit auch ohne Anschauung berechenbar.
Mit Matrizen beschreibt man Lineare Abbildungen. Man kann sich nun fragen, was es über den Abstand zweier Punkte und den Abstand der Bildpunkte zu sagen gibt. Grundsätzlich ist nach einer linearen Abbildung der Abstand der Bildpunkte nicht der gleiche (denke an Streckungen oder Verkleinerungen). Wenn das aber doch so ist, dann hat diese lineare Abbildung eine besondere Eigenschaft - die nicht selbstverständlich ist. Solche Linearen Abbildungen (repräsentiert durch Matrizen) nennt man 'orthogonale Endomorphismen' (bei IR-Vektorräumen) oder 'unitäre Endomorphismen' im Falle von C-Vektorräumen.
Abgesehen davon, daß diese orthogonalen Abbildungen die Abstände erhalten, erhalten sie auch die Eigenschaft 'senkrecht auf'. Daher haben sie ihren Namen.
Nun könnte man sich wundern. Warum beschäftigt man sich unter allen möglichen linearen Abbildungen ausgerechnet mit den orthogonalen Abbildung so intensiv?
Alle orthogonalen Abbildungen kann man sich als Drehungen oder Spiegelungen vorstellen. Denn das sind die einzigen linearen Abbildungen, die Abstände unverändert lassen. Und die mathematische Handhabung von Drehungen und Spiegelungen ist für viele Zwecke ausgesprochen wichtig. Heute kann das jedes Graphik-Programm: einen Würfel drehen. Aber wie berechnet man die Bewegung? Durch Anwendung einer Drehungsmatrix.
Indem man die Eigenschaften der orthogonalen Matrizen eingehend studiert, findet man einige Eigenschaften, die das Rechnen damit einfacher machen als bei allgemeinen Matrizen. Etwa sind orthogonale Matrizen immer invertierbar (ist ja klar, man kann eine Drehung auch wieder rückgängig machen).
Und die Orthonormalbasis ist dann für die Koordinatentransformationen besonders einfach zu handhaben. Man spart sich das Ausrechnen von vielen Matrixmultiplikationen. Statt dessen multipliziert man mit Eigenwerten.
Ach ja, eine quadratische Form ergibt sich bei Anwendung eine Bilinearform auf den gleichen Vektor v. Eine Norm ist also eine quadratische Form.
Versuche mal, Deine Vorlesung oder ein Lineare Algebra Buch mit solchen Vorstellungen im Kopf zu lesen.
Grüße
Matroid
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