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Lineare Algebra » Determinanten » Determinantenaufgabe
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Kein bestimmter Bereich Determinantenaufgabe
HiSm00m
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2002-01-27


Hallo zusammen, hallo Matroid!

Ich hänge hier bei folgender Aufgabe fest.

Es seien n ³ 1 eine natürliche Zahl und


      x a a ... a a

      a x a ... a a
A :=  : : : ... :  :  Î R nxn eine Matrix.

      a a a ... x a

      a a a ... a x

Man berechne det(A) und gebe eine notwendige und hinreichende Bedingung
dafür an, dass A invertierbar ist [Hinweis: Addiere zur ersten Spalte alle
übrigen].

Den Hinweis befolgend, habe ich nun die restlichen Spalten alle zur ersten
addiert.

Setzt man z.B. a = 0  müsste die Matrix dann so aussehen, oder?


      x x x ... x x

      0 x 0 ... x x
A :=  : : : ...  : :

      0 0 0 ... x 0

      0 0 0 ... 0 x

Meine weitere Vorgehensweise ist Laplace Entwicklung nach der ersten Zeile:

det(A) = x * |x 0 0 ... 0 0|  - x * |0 0 0 ... 0 0 |  + x * | 0 x 0 ... 0 0|

                    |0 x 0 ... 0 0|         |0 x 0 ... 0 0  |           | 0 0 0 ... 0 0|

                    |0 0 x ... 0 0|         |0 0 x ... 0 0  |           | 0 0 x ... 0 0|

                    | : : :        :  :|         |: : :         :  :  |      | : : :          : :|

                    |0 0 0 ... 0 x |        |0 0 0 ... 0 x   |          |0 0 0 ... 0 x |

[...]

(hoffentlich kann man es gut erkennen. ist in Betragsstrichen quasi jeweils
die Einheitsmatrix E * x mit einer Nullzeile)
Es scheint nun, als würde sich so die Nullzeile von oben bis unten einmal
durcharbeiten.

Wie bringe ich nun dies in eine Formel zur Berechnung von det(A) und was ist
eine Bedingung, dass A invertierbar ist?

Oder vielleicht zuerst einmal... ist mein Ansatz richtig?

Würde mich sehr über etwas Hilfe freuen.

Gruss
HiSm00m

[ Nachricht wurde editiert von HiSm00m am 2002-01-27 22:46 ]



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matroid
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2002-01-29


Hallo,

hast Du schon eine Arbeitshypothese?
Es scheint mir nicht schwer eine passende Vermutung für das Kriterium zu finden. Wenn Du noch keine Idee hast, dann betrachte n=2.
Und bei Bedarf noch n=3. Du mußt eine Aussage über a und x treffen.
Invertierbare nxn Matrizen haben zum einen Spaltenrang n und zum anderen det ¹ 0.

Du mußt dann det(A) ausrechnen. Und das Prinzip hast Du auch richtig.
Alle von Dir aufgeschriebenen Determinanten sind 0.

Aber warum betrachtest Du den Fall a=0 so intensiv?
Nun gut, in diesem Fall sind in der Laplaceschen Entwicklung alle bis auf die erste Unterdeterminante gleich 0.
Da läßt sich leicht ausrechnen, daß für a=0 gilt: det(A)= x³.
Wenn a gleich null ist und det(A) ungleich null sein soll, dann muß x ungleich 0 (also ungleich a) sein.

Für a!=0 wird es hakeliger.
(Beispiel n=3):

         | x a a |
det(A) = | a x a | = x * | x a | - a * | a a | + a * | a a |
         | a a x |       | a x |       | a x |       | x a |


Das sieht so aus, als ob alle Unterdeterminanten jeweils den gleichen Betrag haben. Wenn ich mal ankürze:
det(An) = x*det(An-1) + (n-1)* det Bn.
Dann kannst Du vielleicht für An und Bn explizite Formeln angeben.


Gruß
Matroid



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matroid
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, eingetragen 2002-01-29


Hi HiSm00m,

wenn man den Tipp getreu verfolgt, bleibt die Aufgabe übersichtlich.

x a a a
a x a a
a a x a
a a a x
=>
x+3a a a a
x+3a x a a
x+3a a x a
x+3a a a x

Nun zur zweiten Spalte die folgenden addieren:
=>
x+3a 3a   a a
x+3a x+2a a a
x+3a x+2a x a
x+3a x+2a a x

und (wen wundert es noch) zur dritten Spalte die folgenden addieren.
=>
x+3a 3a   2a  a
x+3a x+2a 2a  a
x+3a x+2a x+a a
x+3a x+2a a+a x

Die Determinante dieser Matrix ist gleich der Determinante der ursprünglichen.
Rechenregeln für Determinanten nachschlagen! Wenn dort nur die Regel:
"Bei Addition von Zeilen ändern sich der Wert der Determinante nicht" zu finden ist,
dann gilt das aber auch für Spalten:
Nach dem Entwicklungssatz von Laplace kann man eine Determinaten nach einer Zeile
oder einer Spalte entwickeln. Das Ergebnis ist gleich, und das bedeutet, daß det(A)=det(sup>t).

Nun gehen wir zu Zeilenumformungen über. 4-te minus 3-te, 3-te minus 2-te usw.
Ergibt:

x+3a 3a  2a  a
0    x-a 0   0
0    0   x-a 0
0    0   0   x-a

Der Wert der Determinante hat sich durch alle Umformungen nicht verändert!
Für eine obere Dreiecksmatrix ist die Determinante leicht anzugeben:

det(A) = (x+(n-1)a)*(x-a)n-1
  nun für allgemeines n

Eine Matrix ist genau dann invertierbar, wenn ihre Determinante ungleich null ist.
Und der rechts stehende Ausdruck ist genau dann ungleich 0, wenn a ungleich b ist.
Diese Bedingung ist damit notwendig und hinreichend.

Gruß
Matroid



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