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  Kurvendiskussion |
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matzge
Ehemals Aktiv 
Dabei seit: 12.10.2002
Mitteilungen: 49
 |  Themenstart: 2002-12-09
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Hallo!!
Bei zwei Beispielen aus unserer Mathematikübung komme ich wieder einmal nicht weiter:
1.:Von der folgenden Funktion soll mann die Extrema bzw. Minima bestimmen:
f(x)=(1/x)*sin(x) x¹0
Mir ist klar, dass ich die erste Ableitung Null setzten muss.
Wenn ich die Funktion ableite bekomme ich folgenden Term den ich ja dann Null setzen muss: (cos(x)/x)-(sin(x)/x2)=0
Kann mir bitte jemand zeigen wie ich diese Gleichung nach x auflösen kann (ich komme auf keine vernünftige Lösung), bzw. wo die Extrema dann liegen.
Und 2.: Die Funktion 4x2+3xy+4y2=2 soll man in Polarkoordinaten umwandeln. (Da sie ja sonst nicht diskutierbar ist, da jedes Auflösen nach einer Variablen ja keine Äquivalenzumformung darstellen würde.)
Kann mir bitte jemand zeigen wie man eine solche Funktion in Polarkoordinaten umwandelt.
Grüße und vielen Dank
Roland
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Eckard
Senior 
Dabei seit: 14.10.2002
Mitteilungen: 6828
Wohnort: Magdeburg
 |  Beitrag No.1, eingetragen 2002-12-09
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Hallo Roland,
deine Gleichung ist äquivalent mit tan(x) = x, welche eine transzendente ist und nur numerisch gelöst werden kann (zeichne dir mal die Tangensfunktion für mehrere Perioden auf, dann siehst du, wo die Schnittpunkte mit y=x liegen).
Deine zweite Aufgabe löst du wie folgt: Du bringst das Ganze auf die Form
(x-x0)^2 + (y-y0) = r^2,
d.h., du berechnest x0, y0 und r. Dabei siehst du, dass es ein Kreis ist. Dann setzt du x-x0 = r*cos(phi) und y-y0 = r*sin(phi) und hast eine Darstellung in den Polarkoordinaten r und phi.
Gruss Eckard
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Eckard
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| Beitrag No.2, eingetragen 2002-12-09
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Sorry, beim zweiten Term in runden Klammern fehlt das ^2
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matzge
Ehemals Aktiv
Dabei seit: 12.10.2002
Mitteilungen: 49
|  Beitrag No.3, vom Themenstarter, eingetragen 2002-12-09
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Danke für die schnelle Hilfe!
Das erste Beispiel ist mir jetzt ja ganz klar. (D.h. ich kanns jetzt endlich lösen).
Nur beim zweiten Beispiel weiss ich nicht wie ich deine "Formel" auf mein Beispiel anwenden soll.
Könntest du vielleicht das ganze anhand meines Beispiels einmal durchrechnen?
Grüße und Danke
Roland
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Eckard
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| Beitrag No.4, eingetragen 2002-12-10
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Hallo Roland,
na klar. Zunächst:
x^2 + 3/4 xy + y^2 = 1/2.
Was hier stört, ist das gemischte Glied xy. Weg bekommst du es mit einer Hauptachsentransformation. Am einfachsten geht diese hier mit der Einführung der neuen Variablen
xi = x + y
eta = x - y.
Dann folgt:
x^2 = 1/4 xi^2 + 1/2 xi*eta + 1/4 eta^2,
3/4 xy = 3/16 xi^2 - 3/16 eta^2
y^2 = 1/4 xi^2 - 1/2 xi*eta + 1/4 eta^2.
(Die mittlere Gleichung erhältst du, wenn du xi^2 und eta^2 subtrahierst.) Das in deine obige Gleichung eingesetzt, ergibt
1/2 = 11/16 xi^2 + 5/16 eta^2,
und - schwupps - ist das gemischte Glied x*y bzw. xi*eta weg. Der Rest ist einfach: Der Kreis ist in Wirklichkeit gar kein Kreis (au weia, konnte deswegen die halbe Nacht nicht schlafen :-), sondern eine Ellipse, da unterschiedliche Halbachsen:
a = sqrt(8/11) und b = sqrt(8/5).
Also xi = a * cos(phi) und eta = b * sin(phi), da eingesetzt der trigonometrische Pythagoras übrigbleibt. Die drei Größen a, b (fest) und phi (als Parameter) beschreiben jetzt deine Ellipse.
Gruss Eckard
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