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  Zinsrechnung |
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Haplo
Ehemals Aktiv 
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Mitteilungen: 22
Wohnort: Thüringen
 |  Themenstart: 2002-12-10
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Hallo alle zusammen,
also ich habe da mal wieder ein Problemchen. Bitte nicht lachen, wer meine anderen Fragen kennt weiß, dass ich Mathe schwach bis sehr schwach bin :-)
Die Aufgabe. Ein Mann gewinnt 7500 Euro und legt diese auf einem Sparbuch mit 1% jährlicher Verzinsung an. Er hebt jedesmal gleich nach Gutschrift des einen Prozents 70 Euro ab. Wieviel Euro hat der Mann nach 10 Jahren auf seinem Sparbuch?
Ich habe ein Ergebnis, allerdings habe ich dafür 10 Einzelschritte benötigt, denn ich habe es für jedes einzelne Jahr ausgerechnet und dann addiert, nur leider fürchte ich, dass das mein Dozent das so nicht sehen will, sondern das Ganze in einer Formel, aber ich bekomme die minus70Euro nicht unter. Ich wäre für Eure Hilfe dankbar.
Ach und noch eine Frage (Ich weiß, ich soll für eine zweite Frage einen 2.Thread aufmachen, aber ich denke mal, dass die Fragen für Euch so simpel sind, dass ich mich fast schäme hier zu fragen :-( , also reicht ein Thread hoffentlich.)
Ich weiß nicht, wie ich eine Folge mit einer Wurzel angehen muß, wenn ich sie auf Konvergenz prüfe. Ganz spezielles Beispiel: X(n)=Ön Ich weiß, dass sie konvergiert, nur wie leite ich das her?
Schonmal besten Dank im Voraus
Uwe
[ Nachricht wurde editiert von Haplo am 2002-12-10 13:23 ]
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Seb
Senior 
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 |  Beitrag No.1, eingetragen 2002-12-10
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Du solltest wirklich 2 Threads aufmachen...
also, der Typ hat Geld bekommen, also
nach 0 Jahren: 7500
nach 1 Jahren: 7500*1.01-70
nach 2 Jahren: (7500*1.01-70)*1.01-70=7500*(1.01^2)-70*1.01-70
nach 3 Jahren: ((7500*1.01-70)*1.01-70)*1.01-70=7500*1.01^3-70*1.01^2-70*1.01-70
man sieht doch nun schon folgendes (Beweis mit vollständiger Induktion .. mit Kanonen auf Spatzen schießen)
nach n Jahren: 7500*1.01^n-70*1.01^(n-1)-70*1.01^(n-2)-...-70*1.01-70=
7500*1.01^n-70*summe(i=0..n-1)[1.01^i]. Na wenn das mal nicht nach einer Geometrischen Reihe aussieht... (Tafelwerk)
Reicht dir das als Erklärung?
Fragt
Seb
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Haplo
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|  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2002-12-10
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Genau so weit war ich mit meinen Überlegungen auch und wenn ich im Tafelwerk eine Anwendungsmöglichkeit gefunden hätte, dann hätte ich nicht gefragt.  Wenn ich Zahlen sehe, dann bin ich sprichwörtlich das Schwein, welches ins Uhrwerk schaut. Ist denn hier kein Lehrer, der solche Schüler kennt? 
Also ich will damit sagen, dass ich die 10 Einzelglieder meine Rechnung immer noch nicht in eine Formel bekomme.
HIIIILFE!
oinkoink Uwe
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Seb
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| Beitrag No.3, eingetragen 2002-12-10
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Na dann komm erstmal wieder aus dem Uhrwerk raus...
So, also du hast die Formel für die geometrische Reihe. die leutet bestimmt in etwa so:
summe(i=0..n)q^i=(q^(n+1) -1)/(q-1)
so, in unserem Fall ist das q=1.01 und das "n"=n-1
also summe(i=0..n-1)1.01^i=(1.01^n -1)/(1.01-1)=100*(1.01^n -1)
War das das Problem oder steckt es noch woanders?
Fragt
Seb
[ Nachricht wurde editiert von Seb am 2002-12-10 12:42 ]
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Haplo
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| Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2002-12-10
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*heul* und wo bringe ich da die 70 Euro unter, die er jährlich abhebt? 
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Seb
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|  Beitrag No.5, eingetragen 2002-12-10
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So, jetzt wisch die Tränchen weg und dann noch einmal
7500*1.01^n ist das Kapital was sich mit Zins und Zinseszins und... aufbaut. Klar?
Aber er hat ja nach der ersten Zinszahlung 70 abgehoben. legen wir diese auf ein "negatives" Konto so wird dies ebenfalls verzinst, aber nur n-1 Jahre: -70*1.01^(n-1)
usw für die restlichen n-2 Jahre.
So kommt man erst mal auf die Formel meines ersten Beitrags:
7500*1.01^n-70*1.01^(n-1)-70*1.01^(n-2)-...-70*1.01-70
jetzt klammern wir die -70 hinten aus:
7500*1.01^n-70*[1.01^(n-1)+1.01^(n-2)+...+1.01+1]
das in [ ] ist die oben erwähnte geometrische Reihe summe(i=0..n-1)1.01^i. (Klar?)
deren Wert ist nach Formel aus Tafenwerk: (1.01^n -1)/(1.01-1)=100*(1.01^n -1)
also hat der gute Mann:
7500*1.01^n-70*[100*(1.01^n -1)]
Geld nach n Jahren. So nun sei n=10:
7500*1.01^10-7000*(1.01^10-1)=7552.30
So besser? und nicht so schnell verzweifeln.
Seb
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Haplo
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| Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2002-12-10
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ah jetzt ja...besten Dank Seb. Dank Dir habe ich auch noch einen Fehler gefunden. Ich hatte nämlich 7622,3 raus. Ich habe vergessen, dass er nach jeder Gutschrift abhebt, also auch nach dieser...das hätte unser Knauser sicher angemeckert. 
Also jetzt habe ich es endlich verstanden. Danke für Deine Geduld.
Uwe
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