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Lineare Algebra » Determinanten » Beweis - Determinante
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Universität/Hochschule J Beweis - Determinante
Anthony
Ehemals Aktiv Letzter Besuch: vor mehr als 3 Monaten
Dabei seit: 08.12.2002
Mitteilungen: 101
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2003-01-06


Guten Abend an alle...

wer kann mir bei folgender Aufgabe helfen:

Sei n aus IN. Eine Matrix A=(aij) aus M(nxn,R) heißt schiefsymmetrisch, falls aji=-aij für alle (i,j) aus (1,2,....n)^2.

a) Sei n eine ungerade natürliche Zahl. Beweise, dass die Determinate jeder schiefsymmetrischen (nxn)-Matrix 0 ist.

b) Ist die obige Aussage für gerade n falsch?



Danke euch

gruß
Anthony



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Chendar
Junior Letzter Besuch: vor mehr als 3 Monaten
Dabei seit: 31.10.2002
Mitteilungen: 10
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2003-01-06


Hallo,
zu a) Die Determinante ist unabhängig vom Tausch zweier Zeilen / Spalten bis auf Faktor -1, wobei dieser (-1)^i+j wobei i,j die Zeilen/Spaltennr ist, die du gerade tauschst.
Wenn Du jetzt bzgl mittlersten Spalte tauschst, also Sp1 mit Spn, Sp2 mit Sp(n-1) etc. danach selbiges mit den Zeilen hast Du die Matrix a(ji) erzeugt, mit der selben Determinante, da Summe zweier ungerader Zahlen immer gerade, also nie minus.
Also gilt jetzt Det{ a(ij) } = Det { a(ji) } = - Det { a(ij) } => DEt a(ij) = 0

Wenn Du diese argumente anschaust, kannst Du b sicher selbst...

Gruß Chendar



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matroid
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 12.03.2001
Mitteilungen: 14260
Aus: Solingen
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, eingetragen 2003-01-07


Was Chendar sagen will, ist:

   det(A) = det(-A) = (-1)n det(A)

Für ungeraden n also: det(A) = -det(A).

Gruß
Matroid



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