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  Bundeswettbewerb Mathematik , 2. Runde |
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philippw
Senior 
Dabei seit: 01.06.2005
Mitteilungen: 1199
Wohnort: Hoyerswerda
 |  Themenstart: 2005-09-10
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Hallo zusammen,
Am 1. September war der Einsendeschluss für die 2. Runde des diejährigen Bundeswettbewerb Mathematik. Hier kommen die Aufgaben:
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Aufgabe 1
Zwei Spieler A und B haben auf einem 100x100 - Schachbrett je einen Stein. Sie ziehen abwechselnd ihren Stein, wobei jeder Zug aus einem Schritt senkecht oder waagerecht auf ein Nachbarfeld besteht und A den ersten Zug ausführt. Zu Beginn liegt der Stein von A in der linken unteren Ecke und der Stein B in der rechten unteren Ecke.
Man beweise: Der Spieler A kann unabhängig von den Spielzügen des Spielers B stets nach endlich vielen Zügen das Feld erreichen, auf dem gerase der Stein von B steht.
Aufgabe 2
Es sei x eine rationale Zahl.
Man beweise: Es gibt nur endlich viele Tripel (a,b,c) ganzer Zahlen mit a<0 und b^2-4ac=5, für die ax^2+bx+c positiv ist.
Aufgabe 3
Zwei Kreise k_1 und k_2 schneiden sich in A und B. Eine erste Gerade durch B schneide k_1 in C und k_2 in E. Eine zweite Gerade durch B schneide k_1 in D und k_2 in F; dabei liege B zwischen den Punkten C und E sowie zwischen den Punkten D und F.
Schließlich seinen M und N die Mittelpunkte der Strecken CE und DF.
Man beweise: Die Dreiecke ACD, AEF und AMN sind zueinander ähnlich.
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Aufgabe 4
Es sei A(n) die maximale Anzahl der Selbstüberschneidungen von geschlossenen Streckenzügen P_1P_2 ... P_nP_1 (n>=3), bei denen keine drei der Eckpunkte auf einer Geraden liegen.
Man beweise:
a) A(n) = n(n-3)/2, falls n ungerade
und
b) A(n) = n(n-4)/2 + 1, falls n gerade ist.
Erläuterung: Eine Selbstüberschneidung ist ein Schnitt zweier nicht benachbarter Strecken.
Ich persönlich habe 3,5 Aufgaben herausbekommen, die 4b) habe ich nicht geschafft. Hat jemand Lösungsvorschläge parat? Ich werde auf bald ein paar posten.
Gruß, Philipp
[ Nachricht wurde editiert von philippw am 10.09.2005 12:36:32 ]
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 Profil
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Ex_Senior
 | Beitrag No.1, eingetragen 2005-09-10
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Hi philippw und alle BWM-interessierten!
Ich hoffe mal, ich veröffentliche hier nichts zu früh. Ansonsten schreibe ich mal kurz, wie ich die zweite angegangen bin.
\(Nur als kurze Vorinfo: Da ich selbst seit etwa einem Jahr mein Abi schon in der tasche habe, bin ich diesmal leider nur noch interessierte Ehemaliger dieses Wettbewerbs\)
Nun zur Aufgabe 2:
Beweis:
Für x=0 folgt c>0; d.h. c=1, a=-1 und b=+-1 \(denn aus c>=2 oder a<=-2 folgt b^2=5+4ac<=-3\). D.h. sei ab jetzt o.B.d.A. x!=0 \(für x=0 gilt Behauptung offenbar\).
Da ax^2+bx+c eine nach unten geöffnete Parabel ist, liegt x zwischen den Nullstellen
(-b+-sqrt(5))/(2a); d.h. a liegt zwischen (-b+-sqrt(5))/(2x).
Wegen c=(b²-5)/(4a) liegt damit c zwischen (-b+-sqrt(5))/2*x.
Also ist |a*x-c/x|=0 einschränken. \(wenn es hier nur endlich viele gibt, dann auch insgesamt\). Analog ist (t,s,m) genau dann eine Lösung, wenn es (t,-s,-m) auch ist. Da das Vorzeichen von m irrelevant ist \(es kommen vom Betrag her die gleichen positiven wie negativen Zahlen für m in Frage\), können wir uns auch hier auf s>=0 beschränken.
Wenn t beliebig groß wird, muss s auch über alle Schranken wachsen, damit (t,s,m) noch Lösung von (***) sein kann. Sonst gäbe es nämlich ein Maximum für s*(s+m), und damit würde t^2-s*(s+m) unbeschränkt wachsen, während k eigentlich eine Konstante (nur veränderlich in Abhängigkeit von x) ist, was ein Widerspruch wäre.
1. Fall: m ungerade, d.h. m=2n+1 \(n... ganze Zahl\)
Ist t<=(s+n), dann folgt k<=(s+n)^2-s*(s+2n+1)<=s^2+2sn+n^2-s^2-2sn-s=n^2-s. Dies kann aber für genügend große s nicht sein, da n^2-s unter alle Schranken fällt, während k konstant ist.
Ist t>=(s+n+1); dann folgt dagegen k>=(s+n+1)^2-s*(s+2n+1)=s^2+2sn+2s+(n+1)^2-s^2-2sn-s=s+(n+1)^2. Dies kann aber für genügend große s auch nicht sein, da s+(n+1)^2 über alle Schranken wächst, während k konstant bleibt.
Also gibt es für Fall 1 höchstens endlich viele Lösungen \(da s kleiner als eine gegebene Schranke sein muss\).
2. Fall: m gerade, d.h. m=2n \(n... ganze Zahl\)
Ist t<=(s+n-1), dann folgt k<=(s+n-1)^2-s^2-2sn=s^2+2sn-2s+(n-1)^2-s^2-2sn=(n-1)^2-2s; Widerspruch \(für genügend große s\).
Ist t>=(s+n+1), dann folgt k>=(s+n+1)^2-s^2-2sn=s^2+2sn+2s+(n+1)^2-s^2-2sn=2s+(n+1)^2; Widerspruch \(für genügend große s\).
Die einzige Möglichkeit für genügend große s wäre also t=(s+n). Dann folgt aber:
k=(s+n)^2-s^2-2sn=s^2+2sn+n^2-s^2-2sn=n^2; d.h. k ist eine Quadratzahl. Es ist aber k=5*p^2*q^2, also keine Quadratzahl.
Also gibt es auch im zweiten Fall nur endlich viele Lösungen \(da auch hier s unterhalb einer oberen Schranke bleiben muss\).
Die Fallunterscheidung ist offenbar vollständig. In allen möglichen Fällen gibt es nur höchstens endl. viele Lösungen, also auch insgesamt. Damit ist die Behauptung bewiesen.
\box
Viele Grüße, Christian
[ Nachricht wurde editiert von cyrix am 10.09.2005 13:08:06 ]
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isotomion
Senior 
Dabei seit: 23.08.2004
Mitteilungen: 315
Wohnort: Karlsruhe/Minneapolis
| Beitrag No.2, eingetragen 2005-09-10
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Wollte nur darauf hinweisen, daß auf de.geocities.com/darij_grinberg/Dreigeom/Inhalt.html#bwm die Lösungen von Peter Patzt und von mir zu finden sind und auf noname.schlussda.com/bwm/lsg05_2.pdf die von Christian Sattler. Bitte um Verständnis, daß meine Lösungen wieder traditionell leserfeindlich aufgeschrieben (lediglich die zu Aufgabe 2 und 3 sind lesbar...) und auf eine recht abenteuerliche Weise in PDF kompiliert wurden.
Grüße,
Darij
[ Nachricht wurde editiert von isotomion am 10.09.2005 14:07:50 ]
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Ex_Senior
| Beitrag No.3, eingetragen 2005-09-10
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Hi Darij,
Schöne Lösungen! (Ich hab mir bisher im wesentlichen die zweiten Aufgaben angeschaut, da diese die schwerste zu sein schien)
Viele Grüße, Christian
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franzlst
Ehemals Aktiv
Dabei seit: 10.02.2005
Mitteilungen: 37
Wohnort: Himmelstadt, Deutschland
| Beitrag No.4, eingetragen 2005-09-10
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Hi,
ich hab auch mitgemacht, hier die Links zu meinen Ergebnissen:
Aufgabe 1
Aufgabe 2
Aufgabe 3
Aufgabe 4
Aufgabe 2 war für mich zu hoch, drum sind es nur ein paar Notizen.
Aufgabe 4b ist daran gescheitert, ein Streckenzug mit 10 Strecken zu zeichnen, der 31 Selbstüberschneidungen hat.
Zu Aufgabe 1 habe ich dann noch ein kleines Javascript geschrieben. Im Link kann für "seitenlaenge" Zahlen bis 100 eingegeben werden (nur gerade).
Bin auf weitere Lösungen gespannt
[ Nachricht wurde editiert von franzlst am 10.09.2005 20:24:00 ]
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Eckard
Senior 
Dabei seit: 14.10.2002
Mitteilungen: 6829
Wohnort: Magdeburg
 | Beitrag No.5, eingetragen 2005-09-19
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Hi allerseits,
wem Englisch liegt, findet hier etwas zur wohl recht schweren 4. Aufgabe. Danke an Branko Grünbaum für das PDF-File.
Gruß Eckard
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Naphthalin
Senior
Dabei seit: 19.11.2005
Mitteilungen: 2217
Wohnort: Dresden
 | Beitrag No.6, eingetragen 2005-11-22
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hallo alle miteinander,
ich hab auch mitgemacht, kann aber meine lösung nicht im internet veröffentlichen, da ich keine site oder ähnliches besitzen...
also: ich könnte euch meine lösung (pdf) per e-mail schicken...
also kurz: ich hab bewiesen, dass für jedes x=p/q a nicht kleiner als -q^2 sein kann und dass zu jedem a nur endlich viele b's existieren. leider hab ich vergessen zu schreiben, dass c durch a und b eindeutig bestimmt ist...
Naphthalin
[ Nachricht wurde editiert von Naphthalin am 22.11.2005 17:20:03 ]
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philippw hat die Antworten auf ihre/seine Frage gesehen.
philippw hat selbst das Ok-Häkchen gesetzt. |
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