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| Autor |
 BWM 1972/73 - Runder Tisch |
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Ehemaliges_Mitglied
 |  Themenstart: 2005-09-23
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Um einen runden Tisch sitzen n Personen. Die Anzahl derjenigen Personen, die das gleiche Geschlecht haben wie die Personen zu ihrer Rechten, ist gleich der Anzahl, für die das nicht gilt. Man beweise, daß n durch 4 teilbar ist.
Quelle: BWM 1972/73 - 1. Runde
Viel Spass!
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John_Matrix
Senior 
Dabei seit: 18.04.2005
Mitteilungen: 1369
Wohnort: da wo der Westen beginnt ;)
 |  Beitrag No.1, eingetragen 2005-09-25
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Hi Laserwurst,
Sei n=n1+n2 die Zahl der Personen an dem Tisch, wobei n1 die Zahl
der Personen mit gleichgeschlechtlichem Rechtsnachbarn ist, und n2
die Zahl der uebrigen Personen. Teilen wir nun die Personen an
dem Runden Tisch in Bloecke mit nebeneinander sitzenden gleichgeschlechtlichen Personen ein. Sei B die Anzahl dieser Bloecke.
Ladies first -- sei also O.B.d.A der erste Block ein weiblicher.
Wir koennen den Fall ausschliessen, dass nur ein einziger Block
existiert, denn sonst gaebe es nur Damen mit weiblichen Nachbarn,
und also n2=0. Dann folgt also auf den ersten, weiblichen Block ein
zweiter, maennlicher... und immer so weiter. Der letzte Block muss
dabei ein maennlicher sein, denn weare es ein weiblicher, so wuerden
der erste und der letzte Block an dem Runden Tisch in Wirklichkeit einen einzigen Block formen, und duerften nur einmal gezaehlt werden.
Daraus folgt, dass die Zahl der Bloecke B=2b gerade sein muss.
(Es gibt genauso viele maennliche wie weibliche Bloecke.)
Offensichtlich ist n2=B=2b -- die Zahl der Leute mit andersgeschlechtlichem Rechtsnachbarn ist gleich der Zahl der Bloecke. Dann ist n1=n-2b, und aus n1=n2 folgt dann n=4b, wobei b
ist die Zahl der weiblichen bzw. maennlichen Bloecke ist. Q.e.d.
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lookias
Ehemals Aktiv 
Dabei seit: 24.03.2005
Mitteilungen: 346
Wohnort: greifswald
 | Beitrag No.2, eingetragen 2005-09-25
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falsch
[ Nachricht wurde editiert von lookias am 26.09.2005 09:30:57 ]
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Buri
Senior 
Dabei seit: 02.08.2003
Mitteilungen: 46933
Wohnort: Dresden
 | Beitrag No.3, eingetragen 2005-09-26
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Hi Laserwurst & John_Matrix,
oder so:
Es sei a_i=fdef(0, wenn die i\-te Person männlich ist;1, wenn die i\-te Person weiblich ist.
In der n\-gliedrigen Summe sum(abs(a_i-a_(i+1)),i=1,n-1)+abs(a_n-a_1) ist die Anzahl der Nullen gleich der Anzahl der Einsen, und zwar gleich n/2\..
Folglich ist sum(abs(a_i-a_(i+1)),i=1,n-1)+abs(a_n-a_1)=n/2\..
Läßt man die Betragsstriche weg, dann werden gewisse Einsen zu -1, dadurch verkleinert sich die Summe um eine gerade Zahl 2k, oder sie bleibt gleich.
Andererseits ist die Summe dann 0, es folgt 0=n/2-2k und n=4k.
Gruß Buri
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lookias
Ehemals Aktiv
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| Beitrag No.4, eingetragen 2005-09-26
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hallo buri,
"dadurch verkleinert sich die Summe um eine gerade Zahl 2k, oder sie bleibt gleich."
koenntest du das ein wenig naeher erlaeutern.
ansonsten netter ansatz.
mfg
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Buri
Senior
Dabei seit: 02.08.2003
Mitteilungen: 46933
Wohnort: Dresden
| Beitrag No.5, eingetragen 2005-09-26
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2005-09-26 20:48: lookias schreibt:
"dadurch verkleinert sich die Summe um eine gerade Zahl 2k, oder sie bleibt gleich."
koenntest du das ein wenig naeher erlaeutern.
Hi lookias,
Wenn man die Beträge wegläßt, dann werden manche Einsen zu - 1.
Die Gesamtsumme verkleinert sich dabei um 2, denn 1 - (-1) = 2.
Die Summe aller dieser Zweien ist eine gerade Zahl 2k.
Dabei ist k die Anzahl der Einsen, die beim Weglassen der Betragsstriche zu - 1 werden. Es könnte auch k = 0 sein, die Schlußfolgerung zeigt aber, daß das unmöglich ist, sondern es muß n = 4k sein, somit ist k gleich n / 4.
Gruß Buri
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floar
Ehemals Aktiv
Dabei seit: 27.01.2005
Mitteilungen: 597
Wohnort: bayern
 | Beitrag No.6, eingetragen 2005-09-27
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2005-09-26 14:11: Buri schreibt:
Andererseits ist die Summe dann 0......
hallo buri,
warum?
grüsse floar
[ Nachricht wurde editiert von floar am 27.09.2005 20:09:18 ]
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Buri
Senior
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Mitteilungen: 46933
Wohnort: Dresden
| Beitrag No.7, eingetragen 2005-09-28
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Hi floar,
eine Teleskopsumme ist das. Für n=8 lautet sie
(a_1-a_2)+(a_2-a_3)+(a_3-a_4)+(a_5-a_6)+(a_6-a_7)+(a_7-a_8)+(a_8-a_1),
und alles hebt sich weg.
Gruß Buri
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floar
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Wohnort: bayern
| Beitrag No.8, eingetragen 2005-09-28
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hallo buri,
ach ja, natürlich. dein lösungsweg ist mal echt wieder klasse!
grüsse floar
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