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| Autor |
  Bundeswettbewerb Mathematik 2006, 1. Runde |
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Florian
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Dabei seit: 25.10.2004
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Wohnort: Salzburg, Österreich
 |  Beitrag No.120, eingetragen 2006-03-07
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Meine Lösung für Aufgabe 2.
Ich schätze Martins zwei Zeilen Lösung wird ähnlich aussehen.
\
x^3+y^3=4((x^2)y+x(y^2)+1)
x^3+3x^2 y+3y^2 x+y^3=7x^2 y+7y^2 x+4
(x+y)^3=7(x+y)xy+4
Betrachte die Gleichung Modulo 7. Keine 3 Potenz ist modulo 7 kongruent 4.
Viele Grüße Florian
[ Nachricht wurde editiert von Florian am 07.03.2006 19:25:37 ]
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Snowball
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Dabei seit: 15.07.2005
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Wohnort: Darmstadt
 | Beitrag No.121, eingetragen 2006-03-07
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Ich hab zwar nicht mitgemacht, aber zu der einen Aufgabe ist mir eine tolle Lösung eingefallen (weiß nicht ob sie identisch mit Darijs ist, kann die grade nicht abrufen):
\
x^3+y^3 = 4*x^2*y+4*x*y^2+4
ist äquivalent zu (ausmultiplizieren oder einfach binomischer Satz):
\
(x+y)^3 = 7*x^2*y+7*x*y^2+4
Modulo 7 betrachtet ergibt sich
\
(x+y)^3 == 4 mod 7
Es gibt aber keinen kubischen Rest 4 modulo 7 (die Reste sind 0, 1, -1)
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uganda
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Dabei seit: 26.11.2005
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| Beitrag No.122, eingetragen 2006-03-07
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@Herbert:
Aufgabe 2 habe ich genauso gelöst wie du (bis auf ein paar kleine Formalitäten).Aufgabe 3 habe ich mit dem Kosinussatz gemacht.
Wie habt ihr Aufgabe 4 gemacht?
Gruß uganda
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Ehemaliges_Mitglied
| Beitrag No.123, vom Themenstarter, eingetragen 2006-03-07
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Das ist ja toll, dann sollte das wohl auch eine richtige Lösungsmöglichkeit sein, auf die man auch kommen kann, wenn man noch nie was von "modulo" gehört hat. Also eine Alternativlösung, zwar etwas länger, aber mit etwas leichteren Mitteln ausführbar, so meine Meinung.
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Ehemaliges_Mitglied
| Beitrag No.124, vom Themenstarter, eingetragen 2006-03-07
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Mich interessiert mal eine Lösung der dritten Aufgabe mit dem Kosinussatz, da ich bei diesem Weg einst nicht weiterkam. Danach entschied ich mich für den Beweis, der zum Widerspruch mit der Dreiecksungleichung führt.
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WeSe
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Dabei seit: 19.12.2005
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| Beitrag No.125, eingetragen 2006-03-07
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Wenn man über modulo bei Aufgabe 2 geht, muss man dann nicht auch beweisen, dass das so ist, sonst ist die Aufgabe ein wenig zu einfach auf diese Weise dachte ich.
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Ex_Senior
| Beitrag No.126, eingetragen 2006-03-07
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2006-03-07 19:32: HerbertPrax schreibt:
Mich interessiert mal eine Lösung der dritten Aufgabe mit dem Kosinussatz, da ich bei diesem Weg einst nicht weiterkam. Danach entschied ich mich für den Beweis, der zum Widerspruch mit der Dreiecksungleichung führt.
LOL. Mit dem Cosinus-Satz gewinnt man hier im wesentlichen die gleichen Erkenntnisse, nur das man mit ziemlich großen und schweren Kanonenkugeln auf ziemlich kleine Spatzen schießt... 
Bitte auch mal an die einfachen Sachen denken! 
Viele Grüße, cyrix
p.s.: Ich möchte hier keinen angreifen. Ich will nur darauf hinweisen, dass wirklich einfache Dinge meist übersehen werden, weil man nicht richtig hinschaut.
[ Nachricht wurde editiert von cyrix am 07.03.2006 19:37:49 ]
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Ex_Senior
| Beitrag No.127, eingetragen 2006-03-07
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2006-03-07 19:35: WeSe schreibt:
Wenn man über modulo bei Aufgabe 2 geht, muss man dann nicht auch beweisen, dass das so ist, sonst ist die Aufgabe ein wenig zu einfach auf diese Weise dachte ich.
Die Aufgabe ist auch billig.
Ne, das (was du mit "modulo"-Operationen meinst, bzw. was ich denke, was du meinst ) kannst du als bekannt voraussetzen.
Viele Grüße, cyrix
[ Nachricht wurde editiert von cyrix am 07.03.2006 19:38:02 ]
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Ex_Senior
| Beitrag No.128, eingetragen 2006-03-07
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btw: schöne Lösungen!
Viele Grüße, Cyrix
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sebi2k
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| Beitrag No.129, eingetragen 2006-03-07
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2006-03-07 19:19: cyrix schreibt:
Ich weiß, es sind alles nur Nuancen...
Viele Grüße, Cyrix
[ Nachricht wurde editiert von cyrix am 07.03.2006 19:20:45 ]
Und ich dachte, ich hätte bereits den Kürzesten :)
In meiner Einsendung habe ich auch mit Widerspruch gearbeitet - allerdings um zwei Ecken mehr als du. Ich poste in ein paar Minuten meine Lösungen als PDF, dann rollt es dir die Zehennägel auf *grins*
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uganda
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| Beitrag No.130, eingetragen 2006-03-07
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Hi!Ich fühle mich jetzt einfach mal angesprochen
Nach dem kosinussatz gilt:
a^2=b^2+c^2-2bc cos\alpha
Eingesetzt in die Ungleichung aus der Aufgabenstellung gibt:
5c^2<2b^2+c^2-2bccos\alpha<=>2c^2=b gilt auch: 2bc2cc(2+cos\alpha)=b gilt, muss 2+cos\alpha kleiner als 1 sein.
Kann aber nicht sein, weil gilt:1<=2+cos\alpha<=3
also kann c>=b nicht gelten.
Für c>=a genauso. Bitte sagt mir, wenn ich was falsch gemacht habe
Gruß uganda
ps:bitte entschuldigt meine schreibweise, habe zum ersten mal mit fed geschrieben
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teilnehmer
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 | Beitrag No.131, eingetragen 2006-03-07
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Hier meine Lösung. Ist zwar teilweise etwas umständlich und überflüssig, aber ich da ich erst das zweite Mal an einem solchen Wettbewerb teilnehme, wollte ich kein Risiko eingehen^^
Lösung zu Aufgabe 2:
Behauptung: Es gibt keine zwei ganzen Zahlen x und y, welche die Gleichung x^3+y^3=4(yx^2+xy^2+1) erfüllen.
Beweis: Es gelten folgende triviale Hilfssätze:
Sei b Teiler von a. So kann abs(b) nie größer sein als abs(a). (1)
Das Produkt mehrere ungerader Zahlen ist ebenfalls ungerade. Das Produkt mindestens einer geraden Zahl mit mehreren ganzen Zahlen ist gerade. (2)
Die Summe zweier gerader bzw. ungerader Zahlen ist gerade, die Summe einer geraden und einer ungeraden Zahl ist ungerade. (3)
Zunächst faktorisiert man: x^3+y^3=(x+y)(x^2+y^2-xy) und 4xy^2+4yx^2+4=4xy(x+y)+4;
also gilt für die Gleichung x^3+y^3=4xy^2+4yx^2+4 die Umformung:
(x+y)(x^2+y^2-xy)=4xy(x+y)+4;
(x+y)(x^2+y^2-xy)-4xy(x+y)=(x+y)(x^2+y^2-5xy)=4;
daraus folgt, dass sowohl x+y, als auch x^2+y^2-5xy Teiler von 4 sind und daher:
abs(x+y)<=4 und abs(x^2+y^2-5xy)<=4 (4);
Aus (x^3+y^3)/4=yx^2+xy^2+1 (5) ist leicht ersichtlich, dass x^3+y^3 durch vier teilbar sein und daher gerade sein muss. Daraus folgt nach (3), dass sowohl x^3 als auch y^3 beide entweder gerade oder ungerade sind. Daraus folgt nach (2), dass x und y beide entweder gerade oder ungerade sind.
Daraus folgt direkt, dass x+y gerade und dass abs(x+y) nach (4) entweder gleich 2 oder gleich 4 ist.
1.Fall: abs(x+y)=2: => abs(x^2+y^2-5xy)=2; Aus (5) und der Tatsache, dass yx^2+xy^2 wegen (2) und (3) immer gerade ist, folgt, dass (x^3+y^3)/4 eine ungerade Zahl ergibt. Wäre nun x und y gerade, so wäre x=2k und y=2j mit ganzen Zahlen k und j und so ließe sich x^3+y^3=8k^3+8j^3 durch 8 teilen und (x^3+y^3)/4 wäre gerade, also müssen x und y beide ungerade sein. Aber aus (2) und aus (3) folgt dann, dass abs(x^2+y^2-5xy) ungerade ist und nicht gleich 2 sein kann. Dies ist im Widerspruch zur Voraussetzung.
2.Fall: abs(x+y)=4: => abs(x^2+y^2-5xy)=1; Hier kann man zwei Gleichungssysteme unterscheiden.
1.: I: x+y=4; II: x^2+y^2-5xy=1;
x=4-y; in II eingesetzt: y^2+(4-y)^2-5y(4-y)=y^2+16+y^2-8y-20y+5y^2=7y^2-28y+16=1;
7y^2-28y+15=0; y_1,2=(28+-sqrt(28^2-4*7*15))/14=(28+-sqrt(784-420))/14=(28+-sqrt(364))/14=(28+-2 sqrt(91))/14; da sqrt(91) irrational ist, existieren in diesem Falle also keine ganzzahligen Lösungen.
2.: I:x+y=-4; II: x^2+y^2-5xy=-1;
x=-4-y; in II eingesetzt: y^2+(-y-4)^2-5y(-y-4)=y^2+y^2+16+8y+5y^2+20y=7y^2+28y+16=-1;
7y^2+28y+17=0; y_1,2=(-28+-sqrt(28^2-4*7*17))/14=(-28+-sqrt(784-476))/14=(-28+-sqrt(308))/14=(-28+-2 sqrt(77))/14; da sqrt(77) irrational ist, existiert auch für diesen Fall keine Lösung im Bereich der ganzen Zahlen. Aus der Unmöglichkeit aller genannten Fälle folgt somit die Richtigkeit der Behauptung.
[ Nachricht wurde editiert von teilnehmer am 07.03.2006 20:07:42 ]
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uganda
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| Beitrag No.132, eingetragen 2006-03-07
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Hier meine Lösung zur Aufgabe 4:
Die kürzeste Anzahl an Schritten ist 1699.
Einen Schritt kann man auf 4 verschiedene Arten machen:
Man schneidet:
a) „eine Ecke ab“
b) durch 2 nicht aneinander liegende Seiten
c) durch 2 Eckpunkte
d) durch einen Eckpunkt und eine (nicht an den Eckpunkt liegende) Seite
Letztendlich müssen mindestens 100 Zwanzigecke auf dem Tisch liegen, wozu man Papierstücke mit mindestens 2000 Eckpunkten braucht.
Egal, welche Art man wählt, man braucht immer 99 Schnitte, um überhaupt 100 Stücke Papier zu erhalten, denn mit einem Schritt bekommt man immer ein Stück Papier mehr, als es vorher waren. Diese liefern bestenfalls ( mit b)
396 neue Eckpunkte (+ 4 alte) = 400 Eckpunkte. Die 396 Eckpunkte kommen zustande, da man pro Schritt durch 2 Seiten eines Papierstücks schneidet und damit 4 neue Eckpunkte erzeugt. Für 99 Schritte ergibt das
99 4 =396 Eckpunkte. Die Eckzahl eines Papierstückes zu erhöhen ist nur mit Methode a) möglich, d. h. pro Schnitt ein neuer Eckpunkt. Man braucht also noch mindestens 1600 neue Eckpunkte und somit mindestens 1600 Schnitte für 2000 Eckpunkte.
Folglich ist 1699 die kleinste Anzahl an Schritten, mit denen man erreichen kann, dass sich auf dem Tisch unter den Teilen mindestens 100 Zwanzigecke befinden.
Eine spezielle Schrittfolge von 1699 Schritten wäre:
Man schneidet aus dem ersten Viereck (mit b) in 99 Schritten 100 Vierecke und dann anschließend (mit a) in je 16 Schritten aus jedem der Vierecke ein Zwanzigeck. Für alle 100 Vierecke braucht man dann 16 100 Schritte. Zusammen mit den ersten 99 Schritten ergibt diese Schrittfolge die gewünschten 1699 Schritte.
Ich hoffe mal, das stimmt so.
@Herbert: Ich bin auch froh, dass Aufgabe 2 noch jemand (ungefähr)so gemacht hat wie ich.
Gruß, uganda
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sebi2k
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| Beitrag No.133, eingetragen 2006-03-07
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Ehemaliges_Mitglied
| Beitrag No.134, vom Themenstarter, eingetragen 2006-03-07
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also die 4 war bei mir so ne sache:
Also ich hab auch n_min=1699 Schritte raus, allerdings bin ich mir nicht ganz sicher, ob das so hinhaut mit meinem beweis ;)
und zwar hab ich halt zuerst einmal wieder die Unterscheidung, ob 2,3 oder 4 neue Ecken entstehen...
Es ist e_n=4(n+1), denn es kommen nur 4 Ecken dabei( weil man sonst "Ecken nicht kriegt" die man sonst "kriegen würde")
dann hab ich noch mit der Anzahl der Dreiecke und Zwanzigecke am Ende argumentiert. Es kann am Ende nur die 100 Zwanzigecke und sonst nur Dreiecke geben, da sonst "zu viele Schritte gemacht wurden"...
Damit kann nicht die ninimale Schrittzahl erreicht werden.
d ist die Anzahl der Dreiecke...
Dann ist e_n_min=2000+3d
und: d=(20-4)z=16z=1600
Es folgt:
4(n+1)=2000+3d
n=(1996+3d)/4
und n=(1996+3*1600)/4=1699
Damit ist n_min=1699
hab dazu mal ne Frage: Meint ihr, dass allein die Ansätze hier shcon punkte bringen, auch wenns vllt nicht so gut ausformuliert ist? (viel besser ist es in meiner lösung nämlich auch nicht :/ )
[ Nachricht wurde editiert von Thom am 07.03.2006 20:29:00 ]
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Ex_Senior
| Beitrag No.135, eingetragen 2006-03-07
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@uganda: Aufgabe 4: Wieso sollte ich die vorhergehenden Sachen, wie mehr n-Ecke erzeugen, nicht mit der Operation "Ecke abschneiden" auch realisieren können? (Es geht nicht, aber wieso?)
@uganda: Aufgabe 3: Wieso gilt für c>=b auch 2bc< b*(b- c*cos alpha)? (Ich sehe es nur gerade nicht, aber wahrscheinlich ist es recht einfach *g*)
@teilnehmer: Aufgabe 2: Du solltest noch schreiben, dass x+y verschieden von Null ist
@ sebi2k: Aufgabe 2: Was meinst du mit "Eine primzahl lässt sich nicht in ganzzahlige Faktoren zerlegen"? Was ist mit p=1*p=(-1)*(-p)?
Ist nur das, was mir gerade aufgefallen ist. Das muss noch nichts bedeuten, es ging mir nur gerade beim Durchlesen der Lösungen durch den Kopf (und nein: Ich habe noch keine Korrekturhinweise bekommen... )
Viele Grüße, cyrix
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sebi2k
Ehemals Aktiv
Dabei seit: 15.02.2006
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| Beitrag No.136, eingetragen 2006-03-07
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2006-03-07 20:21: cyrix schreibt:
@ sebi2k: Aufgabe 2: Was meinst du mit "Eine primzahl lässt sich nicht in ganzzahlige Faktoren zerlegen"? Was ist mit p=1*p=(-1)*(-p)? :-)
Hm, den Hilfssatz habe ich aufgestellt, um (vereinfacht) bei z.B. xy=13 einfach auf diesen zeigen zu können. Gemeint ist, dass es keine ganzzahligen Faktoren x,y gibt, die als Produkt 13 übergeben.
Wie du ganz richtig gemerkt hast, ist mir Riesenrindvieh allerdings der Spezialfall x bzw y = 1, -1 entgangen. Ich hätte nicht über die Primzahlen abkürzen dürfen, sondern hätte konsequent nur mit Hilfssatz 1 (Faktoren, die ganze Zahlen sind, können nur ganze Produkte ergeben) argumentieren müssen.
Was meinst du, wie schlimm sich das auf die Wertung auswirken wird?
[ Nachricht wurde editiert von sebi2k am 07.03.2006 20:32:54 ]
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Ex_Senior
| Beitrag No.137, eingetragen 2006-03-07
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@ Aufgabe 4: Wieso sollten bei jedem Schnitt jeweils nur 2 bis 4 neue ecken hinzukommen?
Bei nichtkonvexen Figuren stimmt diese Aussage nämlich gar nicht. Und wieso kommen keine nichtkonvexen Figuren vor?
Viele Grüße, cyrix
(das sind alles relativ leichte Überlegungen, k.A. ob man sie aufschreiben muss... )
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Ex_Senior
| Beitrag No.138, eingetragen 2006-03-07
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2006-03-07 20:31: sebi2k schreibt:
Was meinst du, wie schlimm sich das auf die Wertung auswirken wird?
Nu, wie gesagt: Ich habe noch keinerlei Korrektur-hinweise erhalten. Aber ich denke mir (ohne Gewähr! ), dass dies nicht allzuviel "kostet", es immernoch das Prädikat "ohne wesentliche Beanstandung" für deine Lösung geben könnte.
Außerdem ist es egal, ob man einen ersten, zweiten oder dritten Preis erhält (in der ersten Runde ), da sich diese durch nichts voneinander unterscheiden, als durch die Zahl auf der Urkunde...
Viele Grüße, Cyrix
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sebi2k
Ehemals Aktiv
Dabei seit: 15.02.2006
Mitteilungen: 39
| Beitrag No.139, eingetragen 2006-03-07
|
Hast du eine Beispiels-Schnittfolge auf Lager, für die bei irgendeinem Schnitt nicht 2-4 neue Ecken dazukommen?
Edit:
Danke für die Info. Aber bisschen Ehrgeiz ist halt auch dabei 
[ Nachricht wurde editiert von sebi2k am 07.03.2006 20:39:41 ]
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Ex_Senior
| Beitrag No.140, eingetragen 2006-03-07
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2006-03-07 20:37: sebi2k schreibt:
Hast du eine Beispiels-Schnittfolge auf Lager, für die bei irgendeinem Schnitt nicht 2-4 neue Ecken dazukommen?
Nein, weil es keine gibt. Aber warum? *g*
Edit: Wieso sollte nicht irgendwann mal z.B. ein nichtkonvexes 4-eck entstehen, welchem ich mit einem Schnitt die "Spitzen" abschneide ==> in einem Schnitt 8 neue Ecken... ?
Viele Grüße, cyrix
[ Nachricht wurde editiert von cyrix am 07.03.2006 20:41:00 ]
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Adlernest
Junior
Dabei seit: 01.03.2006
Mitteilungen: 12
Wohnort: Bayern
| Beitrag No.141, eingetragen 2006-03-07
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Hallo
Ich hab mir jetzt eure Lösungen der Aufgaben 1 und 4 angesehen und bin schon ein bisserl unsicher geworden. Ich habe das ganze in Worten erklärt, wie ich auf das Ergebnis auf den verschiedensten Wegen gekommen bin und warum. Aber so komplizierte Formeln und Fachausdrücke hab ich nicht. Hoffentlich fällt das dann nicht wegen Schwaffelei durch.
Gruß
Adlernest
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sebi2k
Ehemals Aktiv
Dabei seit: 15.02.2006
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| Beitrag No.142, eingetragen 2006-03-07
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2006-03-07 20:38: cyrix schreibt:
Nein, weil es keine gibt. Aber warum? *g*
Viele Grüße, cyrix
Achso, jetzt versteh ich dich. Dachte am Beweis soll was nicht stimmen, dabei isses dir bloß zu ungenau.
Ich hätte gedacht, dass ich, indem ich alle 3 möglichen Fälle für einen Schnitt (durch 2 Ecken, 1 Ecke, keine Ecke) aufgezeigt habe, bereits erklärt hätte, wie viele Ecken maximal und minimal dazukommen. Ist dir das wirklich zu ungenau? 
Edit:
Das schließt die Aufgabenstellung doch eigentlich schon aus:
"Bei jedem Schritt wird ein Teil vom Tisch genommen und durch einen geraden Schnitt in zwei Teile zerlegt."
[ Nachricht wurde editiert von sebi2k am 07.03.2006 20:47:54 ]
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Ex_Senior
| Beitrag No.143, eingetragen 2006-03-07
|
Hallo Adlernest und willkommen auf dem Matheplaneten!
Schön dich wiederzusehen! :-)
Es kommt immernoch das Alter ins Spiel, und bei dir bin ich mir sicher, dass dies auf keinen Fall negativ für dich ausgelegt wird, wenn du mal keine Fach-Ausdrücke verwendest! :-)
Viele Grüße, Cyrix
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Ehemaliges_Mitglied
| Beitrag No.144, vom Themenstarter, eingetragen 2006-03-07
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2006-03-07 20:08: uganda schreibt:
Hier meine Lösung zur Aufgabe 4:
Die kürzeste Anzahl an Schritten ist 1699.
Einen Schritt kann man auf 4 verschiedene Arten machen:
Man schneidet:
a) „eine Ecke ab“
b) durch 2 nicht aneinander liegende Seiten
c) durch 2 Eckpunkte
d) durch einen Eckpunkt und eine (nicht an den Eckpunkt liegende) Seite
Wenn ich mich nicht täusche, dann gibt es nur drei Schnittfälle:
(1) Ecke-Kante
(2) Ecke-Ecke
(3) Kante-Kante
Bei dir fallen meines Erachtens (a) und (b) zusammen, sofern ich mich nicht irre.
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franzlst
Ehemals Aktiv
Dabei seit: 10.02.2005
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Wohnort: Himmelstadt, Deutschland
| Beitrag No.145, eingetragen 2006-03-07
|
Also auf ein neues meine Aufgaben:
www.roboshow.de/BWM
Sind teils auch ähnlich zu den hier geposteten, nur schön ausführlich...
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Ex_Senior
| Beitrag No.146, eingetragen 2006-03-07
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2006-03-07 20:42: sebi2k schreibt:
Ist dir das wirklich zu ungenau? :-o
Habe oben (vor 3 oder 4 Beiträgen; edit: jetzt sind es ein paar mehr *g*) noch editiert. Schau dir dies mal an :)
Viele Grüße, cyrix
[ Nachricht wurde editiert von cyrix am 07.03.2006 20:48:33 ]
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sebi2k
Ehemals Aktiv
Dabei seit: 15.02.2006
Mitteilungen: 39
| Beitrag No.147, eingetragen 2006-03-07
|
2006-03-07 20:46: cyrix schreibt:
Habe oben (vor 3 oder 4 Beiträgen; edit: jetzt sind es ein paar mehr *g*) noch editiert. Schau dir dies mal an :)
Viele Grüße, cyrix
[ Nachricht wurde editiert von cyrix am 07.03.2006 20:48:33 ]
Edit-War *grins*
Habe meine auch nochmal editiert.
Ich glaube allerdings, dass du recht hast. Es ist zwar eigentlich doch implizit aus der Aufgabenstellung klar, wenn man sich das "Schnipseln" vorstellt, aber das reicht wohl nicht.
[ Nachricht wurde editiert von sebi2k am 07.03.2006 20:53:49 ]
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Adlernest
Junior
Dabei seit: 01.03.2006
Mitteilungen: 12
Wohnort: Bayern
| Beitrag No.148, eingetragen 2006-03-07
|
Hallo Cyrix,
freue mich auch, ein bekannten Namen hier zu treffen.
Leider habe ich mir an den Aufgaben 2 und 3 die Zähne ausgebissen, obwohl du mir sooo gut zugeredet hast, es zu versuchen. Aber da fehlt halt doch noch das Basiswissen.
Jetzt hoff ich halt ganz fest auf eine Anerkennung, das wäre die erste an meiner Schule für meine klassenstufe :-)
Wie meinst du das? wie sollte man mit geraden Schnitte ein Viereck schneiden können, bei dem man mit einem weiteren Schnitt 2 Ecken abschneiden kann. das ist doch gar nicht möglich.
Liebe Grüße
Adlernest
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Ex_Senior
| Beitrag No.149, eingetragen 2006-03-07
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2006-03-07 20:42: sebi2k schreibt:
Edit:
Das schließt die Aufgabenstellung doch eigentlich schon aus:
"Bei jedem Schritt wird ein Teil vom Tisch genommen und durch einen geraden Schnitt in zwei Teile zerlegt."
Und wiso sollte da nie ein nicht-konvexes rauskommen?
Ich glaube, es ist mittlerweile klar geworde, was ich meine.
Viele grüße, Cyrix
(zu beweisen, dass durch einen geraden Schnitt eine konvexe Figur immer nur in konvexe Teilfiguren zerlegt wird, ist relativ leicht. Aber die agnze Aufgabe ist es auch, insofern kann ichschlecht einschätzen, was als notwendig angesehen wird, und was nicht... )
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Ehemaliges_Mitglied
| Beitrag No.150, vom Themenstarter, eingetragen 2006-03-07
|
Wenn ich mir nun die ganzen Lösungen so angucke, fällt mir auf, dass bei Aufgabe 1 viele Leute einfach nur zwei Zahlen hingeschrieben haben, und dann kurz gezeigt haben, dass beide aufeinanderfolgen und dass ihre beiden Quersummen durch 2006 teilbar sind.
War dort kein expliziter Lösungsweg erforderlich?
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sebi2k
Ehemals Aktiv
Dabei seit: 15.02.2006
Mitteilungen: 39
| Beitrag No.151, eingetragen 2006-03-07
|
@Herbert
Soweit ich das verstanden habe, sind die an Lösungswegen nicht interessiert.
Ist nur etwas schwierig, die Zahlen zu "beweisen", da sie, einmal gefunden, sich ja eigentlich "selbst beweisen", ihre Quersummen braucht man ja nur zu überprüfen.
In welcher Jahrgangsstufe bist du eigentlich?
[ Nachricht wurde editiert von sebi2k am 07.03.2006 21:32:00 ]
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Ex_Senior
| Beitrag No.152, eingetragen 2006-03-07
|
2006-03-07 20:56: HerbertPrax schreibt:
War dort kein expliziter Lösungsweg erforderlich?
Ne, sobald du bewiesen hast, dass deine angegebenen Zahlen (welche du finden solltest) die Bedingungen der Aufgabenstellung erfüllen, bist du fertig.
Viele Grüße, cyrix
[ Nachricht wurde editiert von cyrix am 07.03.2006 21:02:21 ]
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Adlernest
Junior
Dabei seit: 01.03.2006
Mitteilungen: 12
Wohnort: Bayern
| Beitrag No.153, eingetragen 2006-03-07
|
Ich hätte nur die gefundenen Zahlen hinschreiben müssen???
Und ich hab mir den Kopf zerbrochen, wie ich sinnvoll erklär, wie man diese Zahlen findet. Und damit niemand glaubt, die zahlen wären nur abgeschrieben...
na, dafür kann ich jetzt zu jeder Quersumme eine passende Zahl finden ;-)
Adlernest
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WeSe
Ehemals Aktiv
Dabei seit: 19.12.2005
Mitteilungen: 117
| Beitrag No.154, eingetragen 2006-03-07
|
Cyrix wärst du so lieb und würdest mir erklären, wie man beim zerschneiden eines konkaven Vierecks in genau ZWEI Teile (Aufgabenstellung) mehr als maximal vier neue Ecken erzeugen kann?
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ZetaX
Senior
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Wohnort: Wenzenbach
| Beitrag No.155, eingetragen 2006-03-07
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Hallo Adlernest, lange nicht gesehen
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Ex_Senior
| Beitrag No.156, eingetragen 2006-03-07
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2006-03-07 22:07: WeSe schreibt:
Cyrix wärst du so lieb und würdest mir erklären, wie man beim zerschneiden eines konkaven Vierecks in genau ZWEI Teile (Aufgabenstellung) mehr als maximal vier neue Ecken erzeugen kann?
Hallo WeSe,
ok, mehr als vier geht nicht mehr (wenn man diese Zwei aus der Aufgabenstellung mitliest, die ich so nicht mehr in erinnerung hatte ), dafür gehen aber andere lustige Sachen, die so nicht beachtet wurden :
1) zwei Dreiecke, welche sich nur in einem gemeinsamen Eckpunkt berühren:
Schneidet man hier entlang einer Geraden durch den gemeinsamen Eckpunkt, welche aber sonst beide Dreiecke nicht weiter schneidet, so wird aus dem 5-Eck durch den Schnitt zwei 3-Ecke ==> nur genau eine Ecke hinzugekommen
2) zwei Dreiecke, wobei zwei der Eckpunkte des zweiten dreiecks außerhalb des ersten Dreiecks liegen, und der dritte Eckpunkt "echt" auf einer Seite des ersten (also kein Eckpunkt des ersten):
Hier liegt ein 6-eck vor, welches durch einen Schnitt entlang der Seite des ersten Dreiecks, auf welchem der dritte Eckpunkt des zweiten Dreiecks liegt, in zwei Dreiecke zerfällt ==> kein Eckpunkt hinzugekommen.
edit: es geht doch ein Fall zu konstruieren, bei dem mehr als 4 ecken dazu kommen (nämlich beliebig viele *g*):
3) Man betrachte zwei "Sägezahn"-"Reihen" (also hintereinander gereihte Sägezähne), welche sich gerade in Ihren Spitzen jeweils berühren; also z.B. Reihe A oben und Reihe B unten, wobei die Zähne der Reihe B nach oben und die der Reihe A nach unten zeigen.
Dabei sollen die "Zahnspitzen" alle auf einer Geraden liegn, und diese Gerade keine weiteren Punkte mit der Figur haben.
Durch einen Schnitt entlang der Geraden zerfällt diese Figur in die zwei einzelnen Sägezahnreihen. Dabei kommt für jeden Zahn ein Eckpunkt hinzu (da er nun doppelt zählt; für die obere und die untere Reihe).
Bestehen also die Sägezahnreiehen aus n>4 Zähnen, so kommen durch den Schnitt auch n>4 neue Eckpunkte hinzu.
Natürlich sind diese Fälle konstruiert, und können so nicht auftreten (da man ganz leicht ihre Unmöglichkeit beweisen kann); aber man sollte m.E. wenigstens angeben, weshalb sie nicht auftreten.
Viele Grüße, cyrix
[ Nachricht wurde editiert von cyrix am 07.03.2006 23:51:13 ]
[ Nachricht wurde editiert von cyrix am 08.03.2006 00:28:03 ]
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WeSe
Ehemals Aktiv
Dabei seit: 19.12.2005
Mitteilungen: 117
| Beitrag No.157, eingetragen 2006-03-08
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Ich weiß aber nicht ob so etwas bei einer so "Praxisbezogenen" Aufgabe verlangt ist, naja zerbrechen wir uns nicht weiter den Kopf darüber, wir sehen ja wenn wir die Musterlösungen erhalten wie sich die Wettbewerbskommission das vorgestellt hat, ich denke aber wir können uns darauf einigen, dass 1699 die richtige Lösung ist.
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| Beitrag No.158, vom Themenstarter, eingetragen 2006-03-08
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wann kommen denn die Musterlösungen? mit den ergebnissen Anfang Juni?
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| Beitrag No.159, eingetragen 2006-03-08
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2006-03-08 10:24: Thom schreibt:
wann kommen denn die Musterlösungen? mit den ergebnissen Anfang Juni?
Ja. Genauer gesagt: Jeder Teilnehmer bekommt mit den Ergebnissen ein Exemplar zugesand. Sie werden aber auch irgendwann mal demnächst (keine Ahnung wann, kann also auch noch ein paar Wochen dauern ) ins Netz gestellt (bzw. die vorläufigen Musterlösungen, in die endgültigen werden ev. noch besonders schöne Schüler-Lösungen aufgenommen, die den Aufgabenautoren nicht vorher schon aufgefallen waren)
Viele Grüße, Cyrix
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