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  Bundeswettbewerb Mathematik 2006, 1. Runde |
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Ehemaliges_Mitglied
 |  Beitrag No.280, vom Themenstarter, eingetragen 2006-05-29
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Okay, das macht Sinn ;)
Vielen Dank für deine Antwort, das sich der Begriff Hypotenuse nur auf rechtwinklige Dreiecke bezieht habe ich nicht bedacht. Mein Beweis war aber dennoch - abgesehen davon dass er etwas umständlich ist - für alle Dreiecke gültig.
Falls du Zeit und Lust hast, würde ich mich freuen, wenn du mir weitere Fehler bei diesem Beweis nennen könntest. Die Kommentare der Korrektoren sind leider sehr knapp gehalten!
Ich weiß, dass die Darstellung nicht besonders toll ist, in meiner Abgabeversion war dies aber nicht so...
\sourceon
Behauptung:
(1) a² + b² > 5c²
Beweis:
(2) Im Dreieck gilt: Die längste Seite muss kürzer als die beiden anderen Seiten zusammen sein.
Wir setzen a beliebig als längste Seite (Hypotenuse) fest, b und c sollen die beiden kürzeren Seiten sein.
somit gilt: a < b + c
(3) Aus (1) folgt: b < Wurzel(5c²-a²)
Somit wäre also das kleinste, anzunehmende b definiert. Um den Grenzfall zu untersuchen, setze ich (3) in (2) ein,
auch wenn b dadurch streng gesehen kleiner wird als es werden darf, denn b kann unendlich nah an Wurzel(5c²-a²) kommen,
dies aber nie genau erreichen. Dies wird den Beweis aber nicht verfälschen, da es später berücksichtigt wird.
(3a) Ich setze also b = Wurzel(5c²-a²) in (2) ein.
(4) aus (2) und (3a) a < Wurzel(5c²-a²) + c
Quadrieren, Substitution, Lösen einer quadratischen Gleichung, Ermitteln der "richtigen Werte" (keine negativen)
(möchte ich hier nich ausführlich hinschreiben, da hier kein Fehler vorhanden sein dürfte.
Daraus folgt: c < a < 2c
a ist also in jedem Fall größer als c.
(6) Anhand von (3a) kann man erkennen, dass b für das größtmöglichste a am kleinsten werden kann.
Das größtmöglichste a ist jedoch nach (5) kleiner als 2c. Hier setze ich a jedoch als genau 2c ein.
(7) (6) in (3) Nach Umformen (die Schritte lasse ich hier ebenfalls weg)
b=c
(8) Jetzt muss man aber berücksichtigen, dass in (3a) b kleiner gemacht wurde als eigentlich möglich
und in (7) a größer gesetzt wurde als eigentlich möglich. Diese beiden Umstände (einer würde aber auch ausreichen) führen dazu,
dass b nicht gleich, sondern größer c ist.
Auch wenn dies für den Beweis nicht wichtig ist, möchte ich der Vollständigkeit halber noch erklären,
dass aufgrund von (2) b per Definition nicht größer als a sein darf.
Auch nach oben hin ist die Länge von b also begrenzt.
a > b > c
Durch (5) und (8) gilt also: c < b < a ; a und b wären aber auch austauschbar,
je nachdem was man als Hypotenuse definiert. c ist aber in jedem Fall die kürzeste Seite.
\sourceoff
[ Nachricht wurde editiert von alex88 am 29.05.2006 14:17:40 ]
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teilnehmer
Senior 
Dabei seit: 12.10.2005
Mitteilungen: 573
 | Beitrag No.281, eingetragen 2006-05-29
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Ich habe mir den Beweis noch nicht zu Ende angeguckt, aber eine Ungereimtheit ist mir schon aufgefallen:
(1) a^2+b^2>5c^2 und (3) b5c^2 <=> b^2>5c^2-a^2 => b>sqrt(5c^2-a^2); allerdings zudem noch nur unter der Voraussetzung, dass die Wurzel aus 5c^2-a^2 überhaupt definiert ist, dass also a^2<=5c^2 gilt! Und wenn du etwa die Werte a=sqrt(26), b=6 und c=sqrt(5), für die sowohl die Dreiecksungleichung, als auch die Voraussetzung (1) gilt, überprüfst, siehst du, dass das nicht unbedingt der Fall sein muss.
[ Nachricht wurde editiert von teilnehmer am 29.05.2006 17:46:45 ]
EDIT: Fehler korrigiert
[ Nachricht wurde editiert von teilnehmer am 30.05.2006 17:06:37 ]
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smile
Junior 
Dabei seit: 26.05.2006
Mitteilungen: 6
| Beitrag No.282, eingetragen 2006-05-29
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hallo
Ich habe die Aufgabe 3 ausführlich behandelt. Jetzt habe ich eine Frage, da bei mir als Bemerkung steht "Die Fallunterscheidung ist nicht vollständig. Das Dreieck könnte bei A stumpfwinklig sein (Und warum kann es nicht bei C stumpfwinklig sein?)"
Ich habe das Dreieck so bewiesen dass es bei c alle Winkel annehmen kann und für b und c habe ich es so gemacht, dass einmal a spitzwinklig und c stumpfwinklig ist, da ist es doch klar dass diese ausgetauscht werden können. Hätte es gereicht wenn ich das am Ende geschrieben hätte? Bekommt man dafür schon Lücken? Ist das nicht nur "kleinere Mängel"?
Ich wollte fragen ob sich vll jemand das genauer anschauen kann. Ich bin sehr enttäuscht. Wäre auch bereit für jemand anderen es anzuschauen!
liebe Grüße
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Naphthalin
Senior
Dabei seit: 19.11.2005
Mitteilungen: 2217
Wohnort: Dresden
 | Beitrag No.283, eingetragen 2006-05-30
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bei mir wurde an der 4. aufgabe auch irgendwas bemängelt, was ich noch nicht verstanden habe... egal, 2. preis ist auch was!
Naphthalin
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Ehemaliges_Mitglied
| Beitrag No.284, vom Themenstarter, eingetragen 2006-05-30
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@teilnehmer
Erstmal Danke fürs Durchlesen!
b > sqrt(5c^2 - a^2)
Ist natürlich richtig, das kleiner/größer war nur ein Tippfehler von mir, in der Lösung hatte ich es richtig...
Den anderen Punkt kann ich leider nicht ganz nachvollziehen. Meines Erachtens gibt es keine Werte, die die Bedingung a² <= 5c² nicht erfüllen und gleichzeitig die Dreiecksungleichung erfüllen.
Selbst die von dir genannten Werte a = sqrt(24) und c = sqrt(5)
ergeben, wenn man sie in deine Gleichung einsetzt 24 < 25.
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teilnehmer
Senior
Dabei seit: 12.10.2005
Mitteilungen: 573
| Beitrag No.285, eingetragen 2006-05-30
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Das war ein Flüchtigkeitsfehler, probiere es mal mit der Wurzzel aus 26 aus.
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Ehemaliges_Mitglied
| Beitrag No.286, vom Themenstarter, eingetragen 2006-05-30
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Okay, das stimmt, du hast hier aber b größer als a gewählt, was nach meiner Definition NICHT sein darf.
\sourceon
Wir setzen a beliebig als längste Seite (Hypotenuse) fest, b und c sollen
die beiden kürzeren Seiten sein.
\sourceoff
Somit dürfte dieser Fall, dass die Wurzel negativ wird, bei mir gar nicht eintreten.
Ich kann den Fehler also leider immer noch nicht erkennen...
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Andrej182
Ehemals Aktiv
Dabei seit: 01.06.2006
Mitteilungen: 59
| Beitrag No.287, eingetragen 2006-06-01
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Hallo zusammen,
auf der Suche nach neuen Matheaufgaben bin ich auf dieses Forum gestoßen und ich finde es ganz gut.
Auch ich bin unter der glücklichen, die die zweite Runde des BWM erreicht haben. Falls es erlaubt ist habe ich eine kleine Frage zu Aufgabe 4: ....
[editiert von Matroid, siehe hier]
[ Nachricht wurde editiert von matroid am 01.06.2006 20:10:48 ]
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TimTim
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Dabei seit: 03.03.2006
Mitteilungen: 31
Wohnort: Weingarten, BW
| Beitrag No.288, eingetragen 2006-06-01
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hi Andrej,
...
[editiert von Matroid, siehe hier]
so long 
[ Nachricht wurde editiert von matroid am 01.06.2006 20:11:11 ]
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ZetaX
Senior
Dabei seit: 24.01.2005
Mitteilungen: 2804
Wohnort: Wenzenbach
| Beitrag No.289, eingetragen 2006-06-01
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Ich weiß nichtmal ob es erlaubt ist dass jetzt zusagen...:
...
[editiert von Matroid, siehe hier]
[ Nachricht wurde editiert von matroid am 01.06.2006 20:11:40 ]
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Ehemaliges_Mitglied
| Beitrag No.290, vom Themenstarter, eingetragen 2006-06-01
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Korrekt, dann hab ich die 3 raus :D Hab mich auch an so nen paar Formulierungen gestört.
edit: Natürlich nur, wenn es erlaubt ist, dann hätte ich noch eine Frage:
...
[editiert von Matroid, siehe hier]
[ Nachricht wurde editiert von Thom am 01.06.2006 15:43:58 ]
[ Nachricht wurde editiert von matroid am 01.06.2006 20:12:06 ]
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Martin_Infinite
Senior
Dabei seit: 15.12.2002
Mitteilungen: 39133
Wohnort: Münster
 | Beitrag No.291, eingetragen 2006-06-01
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Hi Thom,
...
[editiert von Matroid, siehe hier]
Gruß
Martin
[ Nachricht wurde editiert von Martin_Infinite am 01.06.2006 16:11:43 ]
[ Nachricht wurde editiert von matroid am 01.06.2006 20:12:27 ]
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Ehemaliges_Mitglied
| Beitrag No.292, vom Themenstarter, eingetragen 2006-06-01
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Ex_Senior
| Beitrag No.293, eingetragen 2006-06-01
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edit: Bitte keine Ratschläge zu den Aufgaben; auch nicht zur Interpretation der Aufgabentexte! Man sollte die Aufgaben für sich allein im stillen Kämmerlein lösen, und nicht mit Hilfe eines Forums (auch, wenn es nur um das Verstehen der Aufgaben geht)...
Viele Grüße, Cyrix
[ Nachricht wurde editiert von cyrix am 01.06.2006 20:21:48 ]
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kostja
Senior
Dabei seit: 29.12.2004
Mitteilungen: 5432
Wohnort: Stuttgart
 | Beitrag No.294, eingetragen 2006-06-01
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HAllo Cyrix. Die erste Runde ist doch vorbei und man kann die Lösungen sogar von der offiziellen Homepage runterladen. Wo ist denn das Problem?
MfG Konstantin
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Ehemaliges_Mitglied
| Beitrag No.295, vom Themenstarter, eingetragen 2006-06-01
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Hallo, ich kann deinen leichten Groll ja verstehen. Die Einhaltung der Regeln hat oberste Priorität, aber ich denke nicht, dass man nun krass regelwidrig handelt, wenn man sich um das Verständnis der Aufgabenstellung bemüht. Es wurde ja schließlich kein wirklich lösungsessentielles Detail preisgegeben. Es sollte doch im Sinne des Wettbewerbs liegen, wenn jeder zumindest die Aufgabenstellung versteht, sodass er sich nicht durch das Lösen einer falschen Aufgabe jegliche Chancen verbaut. Aber dennoch hast du natürlich grundsätzlich recht, dass sie vertraulich zu behandeln sind.
[ Nachricht wurde editiert von HerbertPrax am 01.06.2006 19:00:49 ]
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Ehemaliges_Mitglied
| Beitrag No.296, vom Themenstarter, eingetragen 2006-06-01
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2006-06-01 18:59: kostja schreibt:
HAllo Cyrix. Die erste Runde ist doch vorbei und man kann die Lösungen sogar von der offiziellen Homepage runterladen. Wo ist denn das Problem?
MfG Konstantin
Sein Problem liegt darin, dass es hier um das Verständnis der neuen Aufgaben geht, der der 2.Runde also.
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Martin_Infinite
Senior
Dabei seit: 15.12.2002
Mitteilungen: 39133
Wohnort: Münster
| Beitrag No.297, eingetragen 2006-06-01
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@Cyrix: Du übertreibst. Ich habe Thom mit bestem Gewissen geantwortet,
um ihm eine Formulierung in der Aufgabenstellung zu erläutern,
die nun im Vertrauen wirklich etwas missverständlich ist. Die Aufgabe
ist nach wie vor geheim, und wurde hier nicht preisgegeben.
[ Nachricht wurde editiert von Martin_Infinite am 01.06.2006 19:45:33 ]
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Ex_Senior
| Beitrag No.298, eingetragen 2006-06-01
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Hallo Martin!
Die Bestimmung im Wettbewerb sind nun einmal ziemlich genau geregelt und die Aufgaben klar formuliert.
Wenn zugelassen wird, dass die Leute sich über die Formulierungen unterhalten, wie willst du dann sicherstellen, dass sich dabei nicht auch über die Aufgaben unterhalten wird?
M.E. ist es auch ein Teil des Wettbewebs die Aufgaben zu verstehen.
Zum veröffentlichen der Aufgabe: Der Beitrag von Andrej182 gibt schon ziemlich tiefe Einblicke. Nun lasse noch einen anderen bei der Aufgabe etwas anderes nachfragen, und schon steht sie da.
Alles, was ich möchte, ist, dass sich hier keine Diskussion zu den Aufgaben entwickelt. Ihr unterschreibt nicht umsonst Eigenständigkeitserklärungen...
Viele Grüße, Cyrix
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matroid
Senior 
Dabei seit: 12.03.2001
Mitteilungen: 14628
Wohnort: Solingen
 |  Beitrag No.299, eingetragen 2006-06-01
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Ja, ich finde auch, daß die Diskussion zu offen geführt wird.
Solange der Thread dem Austausch über die eigenen Lösungen und die Ergebnisse der Runde 1 diente, war alles ok. Über die Aufgaben der Runde 1 konnte man aber auch erst offen reden, als die Runde 1 vorbei war.
Nun läuft die Runde 2 und darum ist zu Aufgaben der Runde 2 bitte absolute Funkstille einzuhalten.
Den Beitrag von Andrej werde ich editieren, ebenso die Antworten darauf.
Gruß
Matroid
[ Nachricht wurde editiert von matroid am 01.06.2006 20:13:09 ]
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matroid
Senior 
Dabei seit: 12.03.2001
Mitteilungen: 14628
Wohnort: Solingen
|  Beitrag No.300, eingetragen 2006-06-01
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Noch etwas dazu: Schaut euch mal an, wieviele Suchmaschinentreffer dieser Thread hat (unter dem letzten Beitrag). Alles was wir hier bereden und herauslassen, weiß anschließend fast jeder Teilnehmer am Wettbewerb.
Darum redet nicht über laufende Aufgaben!
Es ist ja auch im eigenen Interesse, denn wer möchte schon für andere alles optimal vorbereiten bzw. den Weg ebnen? Den muß jeder selbst finden.
Gruß
Matroid
[ Nachricht wurde editiert von matroid am 01.06.2006 20:19:31 ]
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Ehemaliges_Mitglied
| Beitrag No.301, vom Themenstarter, eingetragen 2006-06-01
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Kann mir niemand sagen, woran es bei mir in der Aufgabe 3 gescheitert ist?
In Runde 1 natürlich ;)
[ Nachricht wurde editiert von alex88 am 01.06.2006 21:22:26 ]
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smile
Junior
Dabei seit: 26.05.2006
Mitteilungen: 6
| Beitrag No.302, eingetragen 2006-06-01
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[ Nachricht wurde editiert von smile am 02.06.2006 13:52:30 ]
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Ehemaliges_Mitglied
| Beitrag No.303, vom Themenstarter, eingetragen 2006-06-01
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Sorry, aber bei deinem Posting komme ich leider überhaupt nicht mit ;)
\sourceon
Im Dreieck gilt: Die längste Seite muss kürzer als die beiden anderen Seiten zusammen sein.
\sourceoff
\sourceon
Das stimmt nicht es gibt auch Dreiecke bei denen zum Beispiel a= 7 ist(die längste Seite),
b=5 und c=4. Hier ist a nicht größer als die Summe von b und c.
\sourceoff
a als längste Seite kann nicht größer als b + c sein,
das Dreieck wird dadurch unkonstruierbar. Deshalb habe ich auch geschrieben, dass die längste Seite KÜRZER als b + c sein muss...
[ Nachricht wurde editiert von alex88 am 01.06.2006 23:36:19 ]
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Martin_Infinite
Senior
Dabei seit: 15.12.2002
Mitteilungen: 39133
Wohnort: Münster
| Beitrag No.304, eingetragen 2006-06-02
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@matroid & cyrix: Anstatt mich zu wiederholen, sag ich nur: So ein Unsinn ......
[ Nachricht wurde editiert von Martin_Infinite am 02.06.2006 03:48:39 ]
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Ehemaliges_Mitglied
| Beitrag No.305, vom Themenstarter, eingetragen 2006-06-02
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Ich gebe dir prinzipiell Recht, momentan wir hier mit Kanonen auf Spatzen geschossen, aber nunja, man muss beide Meinungen berücksichtigen. Ich bin immer noch der Meinung, dass hier niemand ungemein bevorteilt wurde, denn fürs Lesen von Aufgaben gibt es (noch)keine Punkte. Von daher finde ich die Maßnahmen wie gesagt etwas überzogen, muss aber auch anerkennen, dass es Regeln gibt, an die man sich halten sollte.
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smala
Ehemals Aktiv
Dabei seit: 15.03.2006
Mitteilungen: 27
| Beitrag No.306, eingetragen 2006-06-02
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hi alex88! ich würd dir ja gerne helfen deinen fehler zu finden, aber es is etwas schwierig deinem beweis zu folgen, wenn du das was deiner meinung nach klar und ohne fehler ist, weglässt. (ich merk auserdem grad, es is gar nich so leicht sich in gedankengänge von anderen reinzuversetzen.) was hast du denn für ne bewertung darauf gekriegt?
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Ehemaliges_Mitglied
| Beitrag No.307, vom Themenstarter, eingetragen 2006-06-02
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Erhebliche Fehler oder sowas.
Da wo ich hingeschrieben habe, dass das klar ist, wird nichts weltbewegendes durchgeführt. Das sind reine Umformschritte, bei denen ich sicher keinen Fehler gemacht habe.
Das mit dem Nachvollziehen fremder Gedankengänge kann ich absolut bestätigen ;)
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Ex_Senior
| Beitrag No.308, eingetragen 2006-06-02
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Hallo alex88 !
Ich habe oben schon geschrieben, dass du die zusätzliche Annahme machst, dass c nicht die längste Seite sein kann. Wenn du etwas bewiesen hast, dann nur, dass c eine längste oder eine kürzeste Seite ist.
Du solltest aber zeigen, dass c eine kürzeste Sete ist.
\
Ansonsten kann man folgendes sagen:
Du hast für b eine untere Schranke in Form von b>\sqrt(5*c^2-a) gefunden. Nun setzt du dies in die Dreiecksungleichung a0. Dann erfüllen b_1=1,5*c und a_1=2*c die Dreiecksungleichung; aber auch b_2=1,2*c und a_2=2,1*c. Es ist b_1> b_2 aber a_1< a_2...
Deine Argumentation ist also keinesfalls stichhaltig...
[ Nachricht wurde editiert von cyrix am 02.06.2006 17:37:36 ]
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smala
Ehemals Aktiv
Dabei seit: 15.03.2006
Mitteilungen: 27
| Beitrag No.309, eingetragen 2006-06-03
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Kann es sein, dass bei den offiziellen Lösungen der ersten runde noch welche dazu gekommen sind, seit die kurz nach dem einsendeschluss veröffentlicht wurden? mir is damals nämlich glaub ich aufgefallen, dass mein lösungsweg von der 4ten aufgabe nich dabei is... jetzt schon :-)
[ Nachricht wurde editiert von smala am 03.06.2006 19:57:41 ]
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Ex_Senior
| Beitrag No.310, eingetragen 2006-06-03
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Hallo smala!
Ja, das kann sein. 
Die direkt nach Wettbewerbsende veröffentlichten Lösungen sind vorläufig. Sie enthalten die Lösungsvorschläge, welche von der Aufgabenkommission kommen. Meist werden dann noch schöne Lösungswege, welche von Schülern aber eben nicht von der Aufgabenkommission gesehen wurden, hinzugenommen.
Viele Grüße, Cyrix
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smala
Ehemals Aktiv
Dabei seit: 15.03.2006
Mitteilungen: 27
|  Beitrag No.311, eingetragen 2006-06-05
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ich weiß man darf dich über die 2te runde reden... aber irgendwo muss ich mal meine begeisterung loswerden 
hab grad n großen teil von aufgabe 4 geschafft (ich hoffe zumindest das ich auf dem richtigen weg bin)
hab zwar keine ahnung wie ich das irgendwie als lösung formuliern soll aber immerhin schon mal n anfang
hoffe das war jetzt nicht gegen die geheimhaltung 
sry für den uninformativen beitrag, aber wie gesagt das musste halt irgendwo hin
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Martin_Infinite
Senior
Dabei seit: 15.12.2002
Mitteilungen: 39133
Wohnort: Münster
| Beitrag No.312, eingetragen 2006-06-05
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Schön :). Ich habe da noch gar nix ... 
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Ehemaliges_Mitglied
| Beitrag No.313, vom Themenstarter, eingetragen 2006-06-07
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Wie lange darf man eigentlich am BWM teilnehmen? Denn wenn ich zur Zeit der 1. Runde in der 13 bin, kann ich dann noch an der 2. Runde teilnehmen, wenn ich doch schon gar nicht mehr in der Schule bin? In den Statistiken auf der HP vom BWM stehen immer maximal 13-Klässler.
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Hanno
Senior
Dabei seit: 24.03.2005
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Wohnort: Bonn
| Beitrag No.314, eingetragen 2006-06-07
|
Hallo Thom.
Das ist ok. 13.Klässler dürfen am Wettbewerb teilnehmen, auch wenn sie zur Zeit der 2. und 3. Runde bereits im Studium sind.
Allerdings berechtigt der Erfolg der 2. Runde dann nicht mehr zur Teilnahme an den Auswahlklausuren zur IMO - dafür ist es dann zu spät.
Sollte ich falsch liegen, korrigiert mich bitte.
Liebe Grüße,
Hanno
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Ex_Senior
| Beitrag No.315, eingetragen 2006-06-07
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Hallo Thom!
Hanno hat in allem Recht, was er schreibt. Was in den Statistiken jeweils angegeben ist, ist die Klassenstufe der Teilnehmer, welche sie zum 1.3. des entspr. Jahres besuchten.
Also keine Sorge, ejder der an der ersten Runde teilnehmen durfte, darf auch an der zweiten teilnehmen (so er in der ersten Runde eben einen Preis errungen hat).
Viele Grüße, Cyrix
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mondmann
Junior
Dabei seit: 10.06.2006
Mitteilungen: 18
| Beitrag No.316, eingetragen 2006-06-10
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Hallo!
Ich muss sagen, dass ich die Aufgaben der 2. Runde richtig einfach (ja, fast schon lächerlich) finde im Vergleich zu den Aufgaben der letzten Jahre. Ich glaube Lösungen zu den Aufgaben 1, 3 und 4 zu haben. Bei der Aufgabe 2 habe ich einen Teil. Geht es euch genau so?
Aufgabe 2 finde ich nicht schlecht...
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Tonar
Ehemals Aktiv
Dabei seit: 17.03.2005
Mitteilungen: 792
 | Beitrag No.317, eingetragen 2006-06-10
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Nunja, man verbessert sich ja auch über die Jahre.
Außerdem finde ich es manchmal eigenartig, wenn man schon vor den Korrekturergebnissen etwas lächerlich findet. Außerdem stößt man doch ein bisschen die Leute vor den Kopf, die da noch ziemlich knabbern.
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fru
Senior 
Dabei seit: 03.01.2005
Mitteilungen: 21456
Wohnort: Wien
 | Beitrag No.318, eingetragen 2006-06-10
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Herzlich Willkommen, Mondmann !
So leicht können die Aufgaben nicht sein,
wenn Du nur glaubst, die Lösungen zu haben.
Bei einer wirklich leichten Aufgabe weiß man doch,
daß man die Lösung hat .
Liebe Grüße, Franz
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Ehemaliges_Mitglied
| Beitrag No.319, vom Themenstarter, eingetragen 2006-06-10
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Home / Seite ohne Frame
2023-12-08 22:11 !
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