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| Autor |
  Bundeswettbewerb Mathematik 2006, 1. Runde |
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Ex_Senior
 |  Beitrag No.480, eingetragen 2006-09-08
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@smala: Naja, du hast immerhin einen Ansatz für die Aufgabe. 
Zur weiteren Vorgehensweise:
Durch die Funktionalgleichung hängen ja immer f(x); f(y); f(x+y) und f(x*y) voneinander ab. Sind drei davon gegeben, so ist das vierte eindeutig bestimmt.
Nun kennen wir ja f(1).
Starten wir also mit dem noch unbekannten f(p/q); und setzen x:=p/q und y:=1. Dadurch ergibt sich ein eindeutiger Zusammenhang zwischen f(p/q) und f(p/q + 1).
Analog können wir nun fortfahren: mit x:=p/q + 1 und y:=1 erhalten wir einen eindeutigen Zusammenhang zwischen f(p/q +1) und f(p/q + 2); und damit auch zwischen f(p/q) und f(p/q + 2).
Und so weiter...
So erhält man also auch eine Darstellung von f(p/q + q), welche nur von f(p/q) abhängt.
Aber nun gibt es noch einen weiteren Zusammenhang zwischen f(p/q) und f(p/q + q); nämlich den, der durch einsetzen von x:=p/q und y:=q in die Funktionalgleichung entsteht (den Wert für f(p) kennen wir ja schon). Damit erhalten wir ein Gleichungssystem, welches als Lösung f(p/q)=q^2/p^2 besitzt.
Viele Grüße, Cyrix
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Hanno
Senior 
Dabei seit: 24.03.2005
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Wohnort: Bonn
| Beitrag No.481, eingetragen 2006-09-08
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Hallo allerseits!
@ Herbert:
Meine Lösung kannst du dir hier ansehen.
Wenn ich das richtig sehe, stimmt meine Idee bei (2) mit der von Christian überein.
Leider ist meine Lösung zu (1) sehr unschön.
Liebe Grüße,
Hanno
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wolle_sim
Ehemals Aktiv 
Dabei seit: 17.12.2003
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 | Beitrag No.482, eingetragen 2006-09-08
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Hallo alle!
@cyrix: Mal ne andere Frage:
Wenn ich gezeigt habe, dass die Funktion die Bedingung f(x) = 1/x^2 erfüllt, ist dann noch unbedingt eine Probe erforderlich. Also ich meine, dass man überprüft, ob die Funktion die Gleichung erfüllt.
Gruß wolfgang
[ Nachricht wurde editiert von wolle_sim am 08.09.2006 16:28:56 ]
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Ex_Senior
| Beitrag No.483, eingetragen 2006-09-08
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@wolle:
So, wie ich dies sehe, hast du nur nachgewiesen, dass alle Funktionen, die die Funktionalgleichung erfüllen, von der Form f(x):=1/x^2 sein müssen. Dies reicht aber noch nicht aus, denn du hast nur ein notwendiges Kriterium hergeleitet, kein hinreichendes. Die hinreichende Bedingung kriegst du ja durch einfaches nachrechnen heraus, dass obiges f(x) auch die Funktionalgleichung erfüllt.
Und ja, dies muss man machen, da es eben auch möglich sein könnte, dass gar keine Funktion die Funktionalgleichung erfüllt (dies kann man allein aus der Notwendigkeitsbedingung für f noch nicht ablesen, dass es wirklich eine solche Funkion gibt)...
Viele Grüße, Cyrix
[ Nachricht wurde editiert von cyrix am 08.09.2006 16:36:54 ]
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Hanno
Senior
Dabei seit: 24.03.2005
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Wohnort: Bonn
| Beitrag No.484, eingetragen 2006-09-08
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Hallo.
Meines Erachtens ist dies unbedingt nötig, es sei denn du hast in Äquivalenzschritten aus der Funktionalgleichung die Gleichung f(x)=1/x^2 für alle x erhalten.
Meist ist es so, dass man durch Implikationen eine Bedingung erhält, die zugleich eine und damit die einzige Lösung darstellt, aber das muss nicht so sein. Daher ist es notwendig, die Probe zu machen, oder wenigstens darauf hinzuweisen.
Liebe Grüße,
Hanno
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Martin_Infinite
Senior
Dabei seit: 15.12.2002
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 | Beitrag No.485, eingetragen 2006-09-08
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Hier mal meine Lösungen für 2 und 4:
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moep
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Dabei seit: 21.06.2006
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| Beitrag No.486, eingetragen 2006-09-08
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Hier meine Lösung zur Aufgabe 3:
\
Der Thales - Kreis über AP geht durch B' und C', da die Winkeln \measuredangle\AB'P und \measuredangle\AC'P beide rechte Winkel sind; die Strecke AP ist also auch der Durchmesser des Umkreises um AC'B'. Entsprechendes gilt auch bei den Kreisen über CP und BP, die ebenfalls jeweils durch B' und A' bzw. A' und C' gehen und jeweils den Durchmesser CP bzw. BP haben.
Die Strecke B'C' bildet eine gemeinsame Sehne der Umkreise um die Dreiecke AC'B' und A'B'C'. Da \measuredangle\C'AB'=\measuredangle\BAC=\measuredangle\B'A'C' gilt, und beide Winkel über der selben Strecke B'C' liegen, muss für sie der Umfangswinkelsatz gelten. D.h. lägen A und A' von der Strecke B'C' aus gesehen auf der selben Seite, so würden die Umkreise um AC'B' und A'B'C' identisch sein; da sie nun auf der jeweils gegenüberliegende Seite von B'C' liegen, sind beide Umkreise spiegelsymmetrisch zur Achse B'C'. Somit müssen beide Umkreise auch den selben Durchmesser haben. Analog lässt sich auch zeigen, dass die Umkreise vom Dreieck B'A'C und vom Dreieck C'BA' den gleichen Durchmesser wie der Umkreis um A'B'C' haben, somit haben alle vier Kreise den selben Durchmesser: AP^-=BP^-=CP^- , P kann somit also nur der Umkreismittepunkt des Dreiecks ABC sein.
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wolle_sim
Ehemals Aktiv
Dabei seit: 17.12.2003
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| Beitrag No.487, eingetragen 2006-09-08
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@cyrix
Ja mir ist der Fehler nun klar. Die Probe hab ich leider nicht gemacht.
Ich weiß du kannst das auch nicht so pauschal sagen, ohne die Arbeit ganz gelesen zu haben. Aber wie schwer ist denn dieser Fehler einzuschätzen. Denn eigentlich ist die Probe natürlich schon elementar für die Lösung der Aufgabe, wenn ich länger darüber nachdenke. Aber wie viele Stufen oder Preise würdest du die Arbeit mit dem Fehler tiefer einstufen?
Gruß wolfgang
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Hanno
Senior
Dabei seit: 24.03.2005
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Wohnort: Bonn
| Beitrag No.488, eingetragen 2006-09-08
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Hallo!
Ohne Cyrix vorgreifen zu wollen:
Wenn alles andere richtig ist, sollte es einen 2. Preis geben. Der Fehler ist meiner Meinung nach als "kleinerer Mangel" einzustufen, denke ich.
Liebe Grüße,
Hanno
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wolle_sim
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| Beitrag No.489, eingetragen 2006-09-08
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Hallo Hanno!
Danke. Naja in 2 Monaten weiß ich mehr.
Bin aber scho gespannt *g*.
Gruß wolfgang
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Ex_Senior
| Beitrag No.490, eingetragen 2006-09-08
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Also ohne jetzt die Musterlösungen, die "Hinweise zur Bewertung" oder überhaupt die Strenge der Bewertung in der zweiten Runde genau zu kennen:
Ich denke, dass Hanno die Situation schon richtig eingeschätzt hat.
Viele Grüße, Cyrix
[ Nachricht wurde editiert von cyrix am 08.09.2006 17:53:13 ]
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Hanno
Senior
Dabei seit: 24.03.2005
Mitteilungen: 1082
Wohnort: Bonn
|  Beitrag No.491, eingetragen 2006-09-08
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Hallo Christian!
Ich heiße Hanno, nicht Hasso! ;)
Liebe Grüße,
Hanno
[ Nachricht wurde editiert von Hanno am 08.09.2006 18:50:02 ]
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Ex_Senior
| Beitrag No.492, eingetragen 2006-09-08
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Oh! Sorry, war nicht ganz bei der sache. Wird sofort ausgebessert.
Viele Grüße, Cyrix
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subdubito
Ehemals Aktiv
Dabei seit: 08.09.2006
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| Beitrag No.493, eingetragen 2006-09-08
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Hallo zusammen,
ich habe auch an der zweiten Runde teilgenommen und bin erleichtert hier zu lesen, dass meine Resultate bei Aufgabe 2 und 3 richtig zu sein scheinen. Ich hätte da aber noch eine Frage zu Aufgabe 4: Bei der Lösung dieser Aufgabe bin ich auf die von cyrix angegebene Sibeformel gestoßen (vermutlich aber mit einem recht umständlichen Ansatz)und habe mit dieser festgestellt, dass man auch 79 als obere Schranke verwenden kann. Das mag noch nichts Ungewöhnliches sein, aber ich habe dann aus Neugier nach einer "unteren Schranke" gesucht und dabei festgestellt, dass, wenn M alle ziffernreduzierten Zahlen kleiner als 10^66 enthält, die Summe der Kehrwerte aus M größer als 54 ist, was im Widerspruch zu dem Ergebnis von cyrix steht. Nun könnte ich mich verrechnet haben, aber unabhängig davon würde ich gerne wissen, wie groß die kleinste obere Schranke aller möglichen M aussieht, bzw. wie man dies herausfinden könnte.
Viele Grüße
subdubito
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egndgf
Senior 
Dabei seit: 06.01.2006
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Wohnort: Mindelheim
| Beitrag No.494, eingetragen 2006-09-08
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Bei der Funktionalgleichung hatte ich exakt dieselbe Idee wie Cyrix und Martin_Infinite. Das ist schon einmal gut so.
Aber @moe: Du hast bei der Aufgabe 3 ebenfalls nur den notwendigen Teil gezeigt, d.h. du hast gezeigt, dass P der Umkreismittelpunkt sein muss. Genau wie wolle_sim fehlt dir aber der hinreichende Teil, d.h. dass die Winkel so wie in der Angabe gefordert sind, wenn P als Umkreismittelpunkt gewählt wird.
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Martin_Infinite
Senior
Dabei seit: 15.12.2002
Mitteilungen: 39133
Wohnort: Münster
| Beitrag No.495, eingetragen 2006-09-08
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2006-09-08 18:00: subdubito schreibt:
unabhängig davon würde ich gerne wissen, wie groß die kleinste obere Schranke aller möglichen M aussieht, bzw. wie man dies herausfinden könnte.
Dito. Ich bin ja nur auf 101 und ein paar Zerquetschte gekommen.
@cyrix: Wie bist du genau auf deine ~ 50 gekommen?
PS: Die 4. Aufgabe war wegen dieses Threads die einfachste!  
[ Nachricht wurde editiert von Martin_Infinite am 08.09.2006 19:13:09 ]
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Ehemaliges_Mitglied
|  Beitrag No.496, vom Themenstarter, eingetragen 2006-09-08
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hey =)
Ich habe mich schon auf die erste Runde bezogen, da ja der Thread extra für die erste Runde ausgelegt ist; ergo beziehe ich mich auch auf Aufgabe 1.3
Die Aufgabe schließt natürlich a² + b² = k c² ( k = 5) aus; durch ein Brainstorming zur Lösung der Aufgabe kam ich eben auf dem Sachverhalt und erhielt darüber eine ähnliche Skizze wie in der Musterlösung der sechste ? Lösungsvorschlag anbietet.
Da beim Satz des Pythagoras jedoch eine ähnliche geometrische Deutung herauskommt, habe ich mir eben Gedanken über eine Verallgemeinerung gemacht.
Wenn jemand hier Literatur dazu kennt, würde ich mich freuen, ein paar Tips zu bekommen.
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Tonar
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Mitteilungen: 792
 | Beitrag No.497, eingetragen 2006-09-08
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Die 4 wird schon etwas erschwert, wenn man nicht durch das Integral abschätzt und keinen Taschenrechner zum abschätzen verwendet.
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Ex_Senior
| Beitrag No.498, eingetragen 2006-09-08
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ok, ihr könnt ja mal mit schauen, ob sich a) ein Fehler in die Überelgungen oder b) in die Berechnungen eingeschlichen hat.
\
Also los geht es:
Als erstes betrachten wir die erste Teilsumme, nämlich über alle maximal 9 stelligen Zahlen:
H_(10^9-1)=sum(1/k,k=1,10^9-1)=10^9 ziffernred.)=sum(sum(1/k,10^n<=k<10^(n+1) zifernred.),n>=9).
Nun wird ein Term für die innere Summe gesucht, und es ergibt sich die übliche Potenzreihe, wie in der abgegebenen Lösung.
Also lasst uns die innere Summe bestimmen. Dazu zerlegen wir diese wieder, und zwar in Abhängigkeit der ersten s Stellen \(also in 9*10^(s-1) Teilsummen\), wobei wir uns s fest vorgeben \(ich habe mit s=7 gerechnet, aber s=5 oder ähnliches bringt auch schon ganz gute Werte\).
sum(1/k,10^n<=k<10^(n+1) zifernred.) = sum(sum(1/k,t*10^(n+1-s)<=k<(t+1)*10^(n+1-s) ziffernred.),t=10^(s-1),10^s-1).
Und auch hier betrachten wir erstmal wieder nur die innere Summe:
sum(1/k,t*10^(n+1-s)<=k<(t+1)*10^(n+1-s))
Erstmal wieder jeden Summanden durch den größten im entsprechenden Intervall abschätzen:
sum(1/k,t*10^(n+1-s)<=k<(t+1)*10^(n+1-s))<= 1/(t*10^(n+1-s)) * "Anzahl ziffernreduzierter Zahlen im entspr. Intervall"
Und wie viele sind dies?
Naja, die Ziffern, die in t vorkommen \(sei mal die Anzahl der verschiedenen in t vorkommenden Ziffern mit z bezeichnet\), kommen ja auch in jeder der Zahlen vor. Also bleiben noch 10-z Möglichkeiten, eine Ziffer auszuwählen, welche in den Zahlen nicht vorkommen sollen. Für die übrigen n+1-s Stellen der Zahlen gibt es pro Stelle dann 9 mögliche Ziffern; also insgesamt (10-z)*9^(n+1-s) zahlen.
Aber Vorsicht: zahlen, bei denen mehrere Ziffern nicht vorkommen, haben wir nun auch mehrfach gezählt. Diese müssen wir wieder abziehen.
Aha, hier könnte mein Fehler stecken, also schaut mal genau nach!
Also alle Zahlen mit höchstens 8 Ziffern haben wir mindestens zweimal gezählt (die mit genau 8 Ziffern genau zweimal), also müssen wir diese jetzt wieder abziehen.
Analoge gedanken, wie oben liefern: In dem betrachteten Intervall liegen (10-z;2)*8^(n+1-s) solche Zahlen mit höchstens 8 Ziffern.
Aber nun haben wir die Zahlen mit höchstens 7 Ziffern zu viel abgezogen: Am Anfang haben wir sie (3;1) mal gezählt, nun (3;2) mal abgezogen, also müssen wir sie wieder einmal addieren!
Analoge Überlegungen liefern: Im betrachteten Intervall liegen (10-z;3)*7^(n+1-s) solche Zahlen mit höchstens 7 Ziffern.
usw. usf. \(Prinzip von Inklusion und Exklusion\).
Bemerkung: Man definiere (n;k) mit n
sum(1/k,k>=10^9 ziffernred.)=sum(sum(1/k,10^n<=k<10^(n+1) zifernred.),n>=9)
<= A(9) * sum((9/10)^(n-s+1),n>=9) - A(8) * sum((8/10)^(n-s+1),n>=9) +-...
Diese Summen sind geometrische Reihen, welche man einfach berechnen kann.
Soweit meine Idee zum ausrechnen. Kann mal jemand das genannte a) auf Richtigkeit überprüfen und b) nachrechnen (also im wesentlichen die Summen A(x) )?
Vieler Grüße, Cyrix
[ Nachricht wurde editiert von cyrix am 08.09.2006 23:13:22 ]
[ Nachricht wurde editiert von cyrix am 09.09.2006 13:56:57 ]
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Ex_Senior
| Beitrag No.499, eingetragen 2006-09-08
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Bemerkungen zur Abschätzung des Fehlers in meiner Lösung:
\
Zuerst mache ich nur Angaben zu "inhaltlichen" Fehlern, gehe also von numerisch exakter Berechnung aus.
In der ersten Summe \(der harmonischen Teilsumme bis 10^9 \) ist der Fehler ja schon mit 10^(-6) nach oben abgeschätzt.
Aber wie sieht es im zweiten Teil aus?
Die einzigen Fehler, die wir da gemacht haben, war alle Zahlen 1/k mit k aus dem Intervall [t*10^(n-s+1); (t+1)*10^(n-s+1)) durch 1/(t*10^(n-s+1)) abzuschätzen.
Also machen wir für jede dieser Zahlen einen Fehler, der < 1/(t*10^(n-s+1))-1/((t+1)*10^(n-s+1))=1/10^(n-s+1) * (1/t-1/(t+1)) ist.
Bei <10*9^(n-s+1) ziffernreduzierten Zahlen in dem Bereich ist also der Gesamtfehler hier <10*(9/10)^(n-s+1)*(1/t-1/(t+1)).
Summiert man dies über alle t von 10^(s-1) bis 10^s-1, so erhält man für jede "Stellenanzahl" n einen Gesamtfehler von < 10*(9/10)^(n-s+1)*1/10^(s-1)= 10*9^(-s+1) * (9/10)^(-n).
Dies aufaddiert über alle zu betrachtenden n>=9 ergibt einen Gesamtfehler von
< 10*9^(-s+1)* sum((9/10)^n,n>=9) = 10*9^(-s+1) * (9/10)^9 * 10.
Für s=5 ist dies also kleiner als 6*10^(-3); für s=7 auch <7,3*10^(-5).
Viele Grüße, Cyrix
[ Nachricht wurde editiert von cyrix am 08.09.2006 23:19:16 ]
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Martin_Infinite
Senior
Dabei seit: 15.12.2002
Mitteilungen: 39133
Wohnort: Münster
| Beitrag No.500, eingetragen 2006-09-08
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Diese Stelle hier verstehe ich leider schon mal überhaupt nicht ...
2006-09-08 20:00: cyrix schreibt:
\
Also lasst uns die innere Summe bestimmen. Dazu zerlegen wir diese wieder, und zwar in Abhängigkeit der ersten s Stellen \(also in 10^s-1 Teilsummen\), wobei wir uns s fest vorgeben \(ich habe mit s=7 gerechnet, aber s=5 oder ähnliches bringt auch schon ganz gute Werte\).
sum(1/k,10^n<=k<=10^(n+1) zifernred.) = sum(sum(1/k,t*10^(n-s)<=k<(t+1)*10^(n-s) ziffernred.),t=1,10^s-1).
[ Nachricht wurde editiert von Martin_Infinite am 08.09.2006 21:16:06 ]
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Ex_Senior
| Beitrag No.501, eingetragen 2006-09-08
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Hallo!
Nun, viele unterteilen die Summe nach der ersten Ziffer von "k"; also in
\
sum(sum(1/k,k=t*10^n,(t+1)*10^n-1),t=1,9).
(Dann macht man nämlich nicht so einen großen Fehler, wenn man 1/k nach oben durch 1/"untere Intervallgrenze" abschätzt)
Hier ist diese Idee nur verallgemeinert: Man schaut auf die ersten s Stellen, und nicht nur auf die erste.
Viele Grüße, Cyrix
[ Nachricht wurde editiert von cyrix am 08.09.2006 21:26:56 ]
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Ex_Senior
| Beitrag No.502, eingetragen 2006-09-08
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Aha, ersten Fehler gefunden: (allerdings wieder nur in der Schreibweise...):
Wenn ich die ersten s Ziffern betrachten will, so muss das t, welches diese ersten s Ziffern beschreiben soll, selbst eben genau s Ziffern lang sein (d.h. erst bei 10^(s-1) beginnen und bei 10^s-1 enden...)
edit: Ist oben behoben.
Viel Grüße, Cyrix
[ Nachricht wurde editiert von cyrix am 08.09.2006 22:12:30 ]
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fru
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 | Beitrag No.503, eingetragen 2006-09-08
|
Hi Martin \(\_I)!
Im Beitrag No. 485 hast Du bei Aufgabe 2, Aussage \ref(5),
"n" statt "x" geschrieben und in der darauffolgenden
Formelzeile fehlt im mittleren Term eine schließende Klammer.
Du brauchst Dir aber deswegen sicher keine Sorgen zu machen,
da es sich offensichtlich nur um Tippfehler handelt und sonst
natürlich alles in Ordnung ist.
Liebe Grüße, Franz
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subdubito
Ehemals Aktiv
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| Beitrag No.504, eingetragen 2006-09-08
|
Hallo,
für die von mir aufgestellten Behauptungen ist die Richtigkeit folgender Annahme elementar:
\
C(n)=-sum((9;\mue)(-1)^\mue*(10-\mue)^n,\mue=1,9)
Hier bedeutet C(n) die Anzahl der (n+1)-stelligen ziffernreduzierten Zahlen, die mit einer festen Ziffer m beginnen (n nicht negativ und ganz und m=1,2,3..,9). Ist jemand auf denselben Ausdruck gestoßen und kann mir diesen bestätigen? (Ich selber finde in meinem Beweis nach mehrmaligen Überprüfen keinen Fehler). Im Übrigen finde ich in den Ausführungen von cyrix keinen Fehler, wobei ich hier aber auch noch nicht ganz durchblicke.
Viele Grüße
subdubito
[ Nachricht wurde editiert von subdubito am 10.11.2006 20:00:26 ]
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Ex_Senior
| Beitrag No.505, eingetragen 2006-09-08
|
Hallo subdito!
Für n=9 erhalte ich mit deiner Formel C(9)=999637120=10^9-362880.
Die Zahl n+1 wäre hier 10, also betrachten wir alle 10-stelligen Zahlen, d.h. das Intervall [10^9; 10^10-1[ . In diesem Intervall liegen 9*10^9 natürliche Zahlen.
Von diesen sind genau die nicht ziffernreduziert, welche alle 10 Ziffern enthalten. Dies sind aber 9*9! viele (an der ersten Stelle darf keine Null stehen, daher dort nur 9 Auswahlmöglichkeiten, während dann alle anderen 9 Ziffern beliebig permutiert werden können).
Nun ist aber 9*9!=3265920 und die Anzahl aller ziffernreduzierter 10-stelliger Zahlen gleich 9*10^9-9*9!=8996734080...
Also irgendwo scheint da ein Fehler (bei mir, oder bei dir)...
Viele Grüße, Cyrix
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Martin_Infinite
Senior
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| Beitrag No.506, eingetragen 2006-09-08
|
@Cyrix: Jetzt steht da
sum(1/k,10^n<=k<=10^(n+1) zifernred.) = sum(sum(1/k,t*10^(n-s)<=k<(t+1)*10^(n-s) ziffernred.),t=10^(s-1),10^s-1)
Ich glaube, es müsste so lauten, oder?
makro(blau,\blue\%1 \black)
sum(1/k,10^n<=k blau(<)10^(n+1) zifernred.) = sum( array( ) sum(1/k,t*10^(n blau(+1)\-s)<=k<(t+1)*10^(n blau(+1)\-s) ziffernred.),t=10^(s-1),10^s-1)
[ Nachricht wurde editiert von fed am 08.09.2006 23:06:24 ]
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Ex_Senior
| Beitrag No.507, eingetragen 2006-09-08
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Ja, du hast recht!
Sorry, dass muss ich ausbessern...
Viele Grüße, Cyrix
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subdubito
Ehemals Aktiv
Dabei seit: 08.09.2006
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| Beitrag No.508, eingetragen 2006-09-08
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Hallo Cyrix,
deine Rechnungen sind richtig, das Problem liegt darin, dass C(n) die Anzahl aller (n+1)-stelligen ziffernreduzierten Zahlen bedeuten soll, die mit einer festen Zahl m (m=1,2,3..,9)beginnen, dass es also C(n) (n+1)-stellige Zahlen gibt, die mit der Ziffer 1 beginnen und ebenfalls C(n)(n+1)-stellige Zahlen, die mit der 2 beginnen usw.
Viele Grüße
subdubito ((nicht subdito))
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Ex_Senior
| Beitrag No.509, eingetragen 2006-09-08
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Hallo subdubito!
Ok, dann stimmt zuumindest der Fall n=9.
edit: n=10 stimmt auch.
Viele Grüße, Cyrix
[ Nachricht wurde editiert von cyrix am 08.09.2006 23:25:55 ]
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Martin_Infinite
Senior
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Wohnort: Münster
| Beitrag No.510, eingetragen 2006-09-09
|
Hi cyrix,
ich komme mit dem Verstehen kaum voran :/.
Für die übrigen n-1-s Stellen der Zahlen gibt es pro Stelle dann 9 mögliche Ziffern; also insgesamt (10-z)*9^(n-1-s) zahlen.
Hier müsste es jeweils n-(s-1)=n+1-s lauten, oder? Denn t hat ja s-1 Stellen.
Tut mir Leid, dass ich hier Erbsen zähle ... dein Vorgehen wird ja richtig sein.
Gruß
Martin
[ Nachricht wurde editiert von Martin_Infinite am 09.09.2006 05:02:40 ]
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subdubito
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| Beitrag No.511, eingetragen 2006-09-09
|
Hallo,
@cyrix: Ich verstehe leider nicht, wie du
\
A(x):=sum((10-z;10-x)/t,t=10^(s-1),10^s-1)
berechnest. Hast du hier für jedes einzelne t zunächst z bestimmt (das sieht für mich zumindest nach einer Menge Arbeit aus)? Weiterhin verstehe ich das Prinzip der Exklusion und Inklusion noch nicht ganz (für neun, acht und sieben Ziffern hast du es ja hingeschrieben, aber warum es auch sonst noch gilt, leuchtet mir ohne Weiteres nicht ein).
Meine Formel C(n) gilt übrigens auch für n=0,1,2...,8 und wenn ich mich nicht täusche, ist diese doch mit deinem Ergebnis für s=1 identisch, oder?
@Martin_Infinite: Ich glaube du hast damit, dass es an den angegebenen Stellen (und an einigen anderen) n+1-s lauten müsste, recht.
Viele Grüße
subdubito
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sLy
Ehemals Aktiv
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| Beitrag No.512, eingetragen 2006-09-09
|
Hi,
nur mal ne kurze frage, in was für einer Bildungseinrichtung seid ihr alle, um so eine Aufgabe zu lösen
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moep
Senior 
Dabei seit: 21.06.2006
Mitteilungen: 1807
| Beitrag No.513, eingetragen 2006-09-09
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:D ganz normale Gymnasien glaub ich
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Ex_Senior
| Beitrag No.514, eingetragen 2006-09-09
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Hier rächt sich, dass ich die Aufgabe noch nie vorher sauber aufgeschrieben habe...
Sorry. :)
@Martin: Ich finde es toll, dass du alles versuchst genau zu verstehen, denn dann findet man nämlich alle diesen kleinen Fehlerchen (und eventuell auch was größeres; musst mal schauen... :) )
Hm. Ich habe t so eingerichtet, dass es eigentlich s Stellen haben sollte (es solle ja zwischen 10^(s-1) und 10^s-1 sich bewegen). Also verbleiben noch (n+1)-s zu besetzende Stellen (die Zahlen selbst liegen ja zwischen 10^n und 10^(n+1)-1; und besitzen damit n+1 Stellen). Richtig, oder habe ich hier wieder einen Fehler?
@subdubito: Ja, für die A(x) kommt der Rechner (genauer: in meinem Fall Maple) ins Spiel. :) Und ja, für jedes t werden erst die Anzahl der vorkommenden Ziffern gezählt, dann der entspr. Binomialkoeffizient berechnet, dieser durch t geteilt, und schließlich alles aufsummiert. :)
Natürlich ist das keine Lösung, die beim BWM akzeptiert würde (für s=1 kann man das aber alles noch schön von Hand machen ;) ). Aber uns geht es ja um eine möglichst genaue Schranke für die Reihe... :)
Viele Grüße, Cyrix
[ Nachricht wurde editiert von cyrix am 09.09.2006 13:09:02 ]
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Tonar
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| Beitrag No.515, eingetragen 2006-09-09
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Ich denke das hat mit Gymnasium nichts mehr zu tun. Die Notation und alles lernt man dort nicht (zu mindestens nicht in meinem ehemaligen). Das meiste ist aus Seminaren, Bücher erlernt oder aus einem Forum wie diesem.
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moep
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| Beitrag No.516, eingetragen 2006-09-09
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2006-08-29 17:52: Martin_Infinite schreibt:
Aufg. 1 eine Seite, Aufg. 2 drei Seiten, Aufg. 3 keine Ahnung/Lust, Aufg. 4 zwei Seiten. Was schreibt ihr euch nur zusammen *g*. Ich schicke aber (wegen 3) nix ab.
Hallo Martin,
kannst du deine Lösung zur Aufgabe 1 posten? Ich bin sehr neugierig darüber, wie du nur eine Seite gebraucht hast.
Gruß,
moep
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ZetaX
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| Beitrag No.517, eingetragen 2006-09-09
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Ex_Senior
| Beitrag No.518, eingetragen 2006-09-09
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Aha: Bei dem "knapp unter 50"-Ergebnis habe ich offenbar die ersten 10^9 Zahlen (bzw. deren Kehrwerte vergessen.
Mit oben beschriebener Methode erhalte ich für s=6 folgende Werte:
A(9) := 12.25266972
A(8) := 27.24120469
A(7) := 32.66930770
A(6) := 22.73476417
A(5) := 9.171716435
A(4) := 2.015116047
A(3) := 0.206898813
A(2) := 0.006940848
A(1) := 0.000025461
Setze ich dies in die Formel ein, so erhalte ich eine Abschätzung für die Summe der Reziproken der Ziffernreduzierten Zahlen >=10^9, zu:
<44.44291766
Addiert man dann noch den Spaß der ersten 10^9 Zahlen hinzu, ergibt sich: Reihe < 65.74489908 <65,75.
Viele Grüße, Cyrix
p.s.: die gemachten Fehler liegen irgendwo im Bereich <1/100...
(wenn kein Fehler mehr enthalten ist  ).
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Ehemaliges_Mitglied
| Beitrag No.519, vom Themenstarter, eingetragen 2006-09-09
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Hi zusammen,
Durfte man bei der 3. wohl verwenden, dass der UKM der Schnittpunkt der Mittelsenkrechten des Dreiecks ist??
MfG, Thom
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