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| Autor |
  Bundeswettbewerb Mathematik 2006, 1. Runde |
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Ex_Senior
 |  Beitrag No.80, eingetragen 2006-02-04
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Hallo Wese!
Lasse dich doch nicht davon beeinflussen, wie schwer oder leicht andere die Aufgaben finden. Mach du dein Ding, und lass' die anderen ihres machen.
Wenn du die Richtigkeit deiner Lösung bewiesen hast (und das solltest du ja tun), dann ist sie richtig. 
Also schicke dann einfach deine Arbeit ein, und freue dich über das Ergebnis.
Viele Grüße, Cyrix
p.s.: Sogar unter den schon im Alter etwas fortgeschritteneren Korrektoren kommt jetzt LaTex stärker zum Einsatz: Zumindest wird es bei einem Korrektoren-Treffen demnächst noch einmal vorgestellt und dessen Vorzüge dargelegt *g*
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uganda
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| Beitrag No.81, eingetragen 2006-02-04
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Hallo!!
Ich hab mal noch ne Frage zu dem Wettbewerb:Angenommen, man ist Preisträger in der Ersten Runde.Bekommt man dann die Aufgaben für die Zweite Runde dann mit dem Preis zugeschickt oder kommen die erst etwas später?
MfG uganda
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Ex_Senior
| Beitrag No.82, eingetragen 2006-02-04
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Hallo uganda!
Du bekommst Anfang Juni mitgeteilt, wie deine Lösungen zur ersten Runde bewertet wurden. Bist du unter den preisträgern erhälst du eine Urkunde und die Aufgaben der zweiten Runde gleich mit zugeschickt.
In den letzten Jahren hat der BWM immer weitere sponsoren gefunden, die Preise für die Preisträger der ersten Runde gestiftet haben. Diese wurden meist etwas später verschickt, also nicht gleich mit der Mitteilung, dass man Preisträger sei. :-)
Viele Grüße, Cyrix
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uganda
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| Beitrag No.83, eingetragen 2006-02-04
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Achso, danke:)
Ich bin in der 11. Klase und hab keine Ahnung von solchen Wettbewerben. Weißt du vielleicht, wie ich mich evtl. auf die 2.Runde vorbereiten könnte (wenn ich es bis dahin schaffe)?
Uganda
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Ex_Senior
| Beitrag No.84, eingetragen 2006-02-04
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Hallo uganda!
Ich denke nicht, dass man sich gezielt auf die zweite Runde vorbereiten kann. Die Aufgaben lassen selten Standard-Lösungsstrategien zu (sollten sie zumindest). Um ein Gefühl für solche Aufgaben zu kriegen, muss man sie einfach machen. :-)
Aber nicht zurückschrekcken: Du hast für die 4 Aufgaben knapp 3 Monate Zeit zum Lösen.
Ganz wichtig ist aber auch, dass man sich nicht abschrecken lässt, wenn man trotz intensiever Versuche bisher nicht auf die Lösung gestoßen ist: Wenn 100 Versuche nicht klappen, dann vielleicht der Einhundertunderste! :-)
Viele Grüße, Cyrix
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uganda
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| Beitrag No.85, eingetragen 2006-02-04
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ok, danke. Das hab ich mir auch immer gedacht bei den Aufgaben der ersten Runde und es hat letztendlich doch geklappt (hoffe ich zumindest:))
Grüße, uganda
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Ehemaliges_Mitglied
| Beitrag No.86, vom Themenstarter, eingetragen 2006-02-05
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Ja, die Aufgaben der ersten Runde dieses Jahr sind aus meiner Sicht sehr human, bis auf die letzte kann man meines Erachtens alle recht schnell rausfinden.
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Ehemaliges_Mitglied
| Beitrag No.87, vom Themenstarter, eingetragen 2006-02-05
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also ich hab sehr lange an den Aufgaben gesessen, hoffe mal, das ist so richtig. Aber was mich gewundert hat ist, dass ich mir dann auch mal ein paar aufgaben aus 2002 (oder 2003?) angeguckt hab, wovon ich 3 nach 1,5 stunden raushatte...
Ist das wirklich so extreme Übungssache(weil wenn man bedenkt, dass ich für die aufgaben dieses jahres eher 1,5 monate gebraucht hab, ist das schon ein gewaltiger unterschied) oder liegt das einfach dran dass einem eine solche Art von Aufgaben einfach schwieriger fällt?
Und noch eine Frage: Muss man Äquivalenzzeichen hinschreiben, wenn man Äquivalenzumformungen macht?(Dann müsste ich den Umschlag nämlich wieder aufmachen :/ )
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Ehemaliges_Mitglied
| Beitrag No.88, vom Themenstarter, eingetragen 2006-02-06
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Sagt mal, ganz unverbindlich. Kann es hilfreich sein, sich wirklich bei der vierten Aufgabe mit Schere und Papier hinzusetzen. Kommt man so leichter auf die Lösung oder verzweifelt man eher noch mehr beim Schneiden?
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teilnehmer
Senior
Dabei seit: 12.10.2005
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 | Beitrag No.89, eingetragen 2006-02-06
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hmm... ich habe Aufgabe 4 im Kopf gemacht und erst dann mit dem Aufschreiben begonnen, als ich die Lösungsidee bereits hatte. Also, wenn man ein gutes Vorstellungsvermögen hat, denke ich, kann man sich das Schneiden auch im Kopf vorstellen.
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Naphthalin
Senior 
Dabei seit: 19.11.2005
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Wohnort: Dresden
 | Beitrag No.90, eingetragen 2006-02-07
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der meinung bin ich auch. ich habs auch im kopf gemacht, ansonsten wünsche ich dir viel spaß! 
naphthalin
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Ehemaliges_Mitglied
| Beitrag No.91, vom Themenstarter, eingetragen 2006-02-07
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Gut, meine jetzt auch eine Lösung zu haben, aber der Beweis der Richtigkeit dieser Lösung ist noch ein hartes Stück. Naja, egal. Gibt es eigentlich ein Programm, mal von der TEX-Familie abgesehen, mit dem man relativ leicht solche Aufgaben wettbewerbsreif verfassen kann, also sprich so eine Art Formeleditor, wozu man vielleicht nicht soviel Quelltext braucht, wie für LaTEX, so etwa wie der Matheplanet-FED, der kommt ohne viel Tam-Tam aus.
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Ex_Senior
| Beitrag No.92, eingetragen 2006-02-07
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Aber der Fed kann eben bei weitem nicht alles, was LaTeX kann (z.B. ist LaTeX Turing-mächtig *g*) :-)
Wenn man sich einmal in LaTeX eingearbeitet hat, ist es einfacher damit Texte zu schreiben, als mit what-you-see-is-what-you-get-Systemem alle M$-Word o.ä. Außerdem sehen mit LaTeX erstellte Dokumente einfach besser aus. :-)
Viele Grüße, Cyrix
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Ehemaliges_Mitglied
| Beitrag No.93, vom Themenstarter, eingetragen 2006-02-07
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Naja, ich komme mit Latex, oder Miktex(wie das mittlerweile heißt), nicht klar. Ich weiß gar nicht, welche anderen zusätzlichen Programme ich noch dazu brauche.
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Ex_Senior
| Beitrag No.94, eingetragen 2006-02-08
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Siehe die Links, die dazu gegeben wurden...
Viele Grüße, Cyrix
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Ehemaliges_Mitglied
|  Beitrag No.95, vom Themenstarter, eingetragen 2006-02-26
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Hallo,
da es ja jetzt Endspurt ist(ich fang immer so spät an ) :-) muss ich ncoh 2 Fragen loswerden. Es steht ja drin das man bei zu allgemeiner ausführung minuspunkte bekommt.
Zu 1. Aufgabe:
Muss man nur die 2 Zahlen angeben, überprüfen passt und fertig oder muss man auch den Weg angeben wie man zu solchen Zhaln kommt?
Zu 4. Aufageb:
Ich hab die min. Schnittanzahl. Nun muss man ja uch zeigen das es mit der Anzahl geht. Kann ich einen "Konstruktionsplan" schreiben ohne hinzuschrieben wie ich auf die Werte(z.B. 10 mal Viereck halbieren) komme?
cu
tf
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matroid
Senior 
Dabei seit: 12.03.2001
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Wohnort: Solingen
 |  Beitrag No.96, eingetragen 2006-02-26
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Hi tobif,
man kann das hier nicht speziell beantworten.
Allgemein gilt: wenn man eine Lösung gefunden hat, muß man sagen, wie man sie finden kann, ansonsten könnte es ja reines Glück sein. Gewöhnlich sind die Fragen auch so formuliert, daß eine vollständige Antwort nicht nur aus ein oder zwei Zahlen bestehen kann.
Gruß
Matroid
[ Nachricht wurde editiert von matroid am 26.02.2006 20:42:19 ]
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Martin_Infinite
Senior
Dabei seit: 15.12.2002
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 | Beitrag No.97, eingetragen 2006-02-26
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Hi,
2006-02-04 17:36: WeSe schreibt:
Martin hast echt Aufg. 4 aufgegeben, fand die im Grunde am einfachsten durch bissle überlegen ohne nur einmal eine Schere in die Hand zu nehmen...
Ja ich habe die aufgegeben. Ich habe zwar auch relativ schnell eine für mich optimal aussehende Anzahl gefunden, aber wieso sollte es wirklich die optimale sein, und nicht nur eine sehr gute?
2006-02-04 17:36: WeSe schreibt:
Aber wenn grade du das jetz sagst frag ich mich, ob ich da nicht vielleicht irgend einen Fehler drin hab... :-(
Solche Unsicherheiten dürfen nicht bestehen, wenn man eine Aufgabe gelöst hat, sondern nur während des Lösens. Zumal eine ausformulierte Lösung beim Leser keine Zweifel an der Richtigkeit aufkommen lassen sollte. Naja, du hast ja noch ein paar Tage Zeit, um dir alles genau zu überlegen ;)
Gruß
Martin
[ Nachricht wurde editiert von Martin_Infinite am 26.02.2006 20:52:58 ]
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Ehemaliges_Mitglied
| Beitrag No.98, vom Themenstarter, eingetragen 2006-02-27
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ok, dann las ich die Herleitung der zahlen drinn.
danke
cu
tf
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Martin_Infinite
Senior
Dabei seit: 15.12.2002
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| Beitrag No.99, eingetragen 2006-02-27
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Hi tobif,
1. Man kann zwar die Zahlen hinschreiben, und einfach begründen, dass sie die Bedingung erfüllen. Mehr ist in der Aufgabenstellung nicht verlangt! Aber eine Herleitung ist offenbar erwünscht, weil die Zahlen sonst aus dem Himmel fallen.
2. Welche Werte meinst du?
Gruß
Martin
[ Nachricht wurde editiert von Martin_Infinite am 27.02.2006 00:28:43 ]
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Ehemaliges_Mitglied
| Beitrag No.100, vom Themenstarter, eingetragen 2006-02-27
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hi,
Ich mein z.B. x mal ein n-Eck von Qudrat abschneiden, dann aus dem Rest y mal ein k-Eck abschneiden und schon hat mal alles... So ähnlich mein ich dass. Muss ich schreiben wie ich auf x,y,n,k komme oder nur bewiesen dass dann die geforderten 100 20-Ecke rauskommen?
cu
tf
[ Nachricht wurde editiert von ZetaX am 27.02.2006 14:31:51 ]
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Ex_Senior
| Beitrag No.101, eingetragen 2006-02-27
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Hallo!
Ihr sollt in eigenständiger Arbeit sowohl die Aufgaben lösen, als auch aufschreiben!
Man kann allgemeine Hinweise zum Aufschreiben geben (z.B., dass alles allgemeinverständlich sein soll), aber keine aufgabenspezifische!
Viele Grüße, Cyrix
p.s.: Ich beziehe hier mich auf keinen persönlich, dies ist eine allgemeine Feststellung.
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isotomion
Senior
Dabei seit: 23.08.2004
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Wohnort: Karlsruhe/Minneapolis
| Beitrag No.102, eingetragen 2006-02-27
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Mal ein Versuch, die Unklarheiten zu beseitigen:
Axiom 1. Eine Lösung einer Aufgabe muß eine Beantwortung der in der Aufgabe gestellten Frage enthalten.
Axiom 2. Jede Aussage, die in der Lösung einer Aufgabe gemacht wird, muß in der Lösung auch bewiesen werden (es sei denn, sie ist trivial oder im Schulstoff enthalten).
Aus diesen zwei Axiomen folgt z. B., daß eine Lösung der Aufgabe 4 die Antwort auf die Frage nach der minimalen Anzahl enthalten muß, und daß diese Antwort bewiesen sein muß, d. h. es muß ein Beweis, daß diese Zahl erreicht wird und wirklich minimal ist, enthalten sein. Wie man (heuristisch) auf die Zahl gekommen ist (d. h. ob man stundenlang an Papierfetzen rumgeschnitten hat oder einem die gesuchte Zahl samt dem Beweis im Traum oder durch göttliche Erleuchtung klargeworden ist), ist unwesentlich und soll, wenn überhaupt, dann in einem "Anhang" zur eigentlichen Lösung erwähnt sein.
Grüße,
Darij
[ Nachricht wurde editiert von isotomion am 27.02.2006 14:28:48 ]
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Ehemaliges_Mitglied
|  Beitrag No.103, vom Themenstarter, eingetragen 2006-02-27
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ok, dann ist jetzt alles klar.
Aber die Lösung zu der Aufgabe kam mir wirklich im (fast) Schlaf...woher wusstest du das? :-D
Ich bin mir durchaus bewusst das solche Fragen immer etwas heikel sind.
PS: wie kann man mit Latex(ich hab vor 2 Tagen damit angefangen) wenn man
\usepackage[a5paper,
left=6.0cm, right=2.1cm,
top=1.2cm, bottom=2.3cm]{geometry}
den Rand einstellt auf den Rand noch was schreiben(meinen Namen oben rechts).
cu
tf
[ Nachricht wurde editiert von tobif am 27.02.2006 14:49:28 ]
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franzlst
Ehemals Aktiv
Dabei seit: 10.02.2005
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Wohnort: Himmelstadt, Deutschland
| Beitrag No.104, eingetragen 2006-03-02
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So, gestern war Einsendeschluss, d.h. wir müssten nun die Ergebnisse austauschen dürfen.
Hier sind meine:
[Link gelöscht von \zeta X ]
Bin auf weitere gespannt!
[ Nachricht wurde editiert von ZetaX am 02.03.2006 00:33:59 ]
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ZetaX
Senior
Dabei seit: 24.01.2005
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Wohnort: Wenzenbach
| Beitrag No.105, eingetragen 2006-03-02
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@alle: bitte das hier (3. Post von unten) beachten, danke.
@franzlst: habe aus obigem Grund den Link erst einmal entfernt.
[ Nachricht wurde editiert von ZetaX am 02.03.2006 00:36:32 ]
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Naphthalin
Senior
Dabei seit: 19.11.2005
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Wohnort: Dresden
| Beitrag No.106, eingetragen 2006-03-07
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ab wann dürfen wir hier diskutieren?
Naphthalin
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TimTim
Ehemals Aktiv
Dabei seit: 03.03.2006
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Wohnort: Weingarten, BW
| Beitrag No.107, eingetragen 2006-03-07
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Würde mal sagen ab 24 Uhr heut abend, weiss es aber nicht  Würd mich aber auch mal interessieren 
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Eckard
Senior 
Dabei seit: 14.10.2002
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Wohnort: Magdeburg
 | Beitrag No.108, eingetragen 2006-03-07
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Also, im letzten Jahr habe ich selber am 1. oder 2. März (müsste nachschauen) etwas zu den Lösungen gepostet. Da wurde gesagt, das wäre etwas knapp von wegen Poststempel aus Hawaii und so. ;-)
Ich denke, heute am 7.3. wird sicherlich nichts mehr an Lösungen offiziell angenommen, wenn der 1.3. der Einsendeschluss war. Es kann losgehen.
Gruß Eckard
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Ehemaliges_Mitglied
| Beitrag No.109, vom Themenstarter, eingetragen 2006-03-07
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na dann poste ich schon mal die aufgaben für die die die nicht kennen ;) :
Aufgabe 1:
Man finde zwei aufeinander folgende positive ganze Zahlen, deren Quersummen beide durch 2006 teilbar sind.
Aufgabe 2:
Man beweise, dass es keine ganzen Zahlen x und y gibt, für die die Gleichung x^3+x^3=4((x^2)y+x(y^2)+1) gilt.
Aufgabe 3:
Für die Seitenlängen a,b und c eines Dreiecks gelte die Beziehung a^2+b^2>5c^2.
Man beweise, dass dann c die Länge der kürzesten Seite ist.
Aufgabe 4:
Ein quadratisches Blatt Papier liegt auf dem Tisch. Es wird schrittweise in mehrere Teile zerschnitten: Bei jedem Schritt
wird ein Teil vom Tisch genommen und durch einen geraden Schnitt in zwei Teile zerlegt; diese beiden Teile werden auf den Tisch zurückgelegt.
Man bestimme die kleinste Anzahl an Schritten, mit denen man erreichen kann, dass sich auf dem Tisch unter den Teilen wenigstens 100 Zwanzigecke befinden.
Anmerkung: In den Aufgaben 1 und 4 ist die Richtigkeit der Resultate zu beweisen.
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isotomion
Senior
Dabei seit: 23.08.2004
Mitteilungen: 315
Wohnort: Karlsruhe/Minneapolis
| Beitrag No.110, eingetragen 2006-03-07
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teilnehmer
Senior
Dabei seit: 12.10.2005
Mitteilungen: 573
| Beitrag No.111, eingetragen 2006-03-07
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Wie ich sehe, bin ich anscheinend der einzige, der sich die Mühe gemacht hat, in Aufgabe 1 eine halbwegs elegante Formel zu finden und nicht bloß die Ziffern aneinander zu kleben.^^
meine Zahl lautet jedenfalls: (10^402-1)*5/9*10^223+10^224-1 mit der Quersumme 5*401+9*223=4012 und dem Nachfolger mit der Quersumme 2006.
[ Nachricht wurde editiert von teilnehmer am 07.03.2006 18:52:00 ]
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Ehemaliges_Mitglied
| Beitrag No.112, vom Themenstarter, eingetragen 2006-03-07
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Wie bist du denn auf diese hübsche Zahl gekommen?
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teilnehmer
Senior
Dabei seit: 12.10.2005
Mitteilungen: 573
| Beitrag No.113, eingetragen 2006-03-07
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dazu habe ich eine diophantische Gleichung aufgelöst. Aber welche das genau war, das müsste ich mal nachsehen.
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Ehemaliges_Mitglied
| Beitrag No.114, vom Themenstarter, eingetragen 2006-03-07
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@isotomion: Schöne Lösungen... vor allem die zur 2 gefällt mir ;)
Hab keinen Webspace, deshalb poste ich mal nur meine Lösung zur 2:
Angenommen, es gibt ein oder mehrere solcher Paare (x,y), bei denen x,y\el\ \IZ gilt.
Durch Umformungen ergibt sich:
x^3+y^3=4((x^2)y+x(y^2)+1)
x(x^2-4(y^2))+y(y^2-4(x^2))-4=0
x(x^2-y^2-3y^2)+y(y^2-x^2-3x^2)-4=0
x(x+y)(x-y)-3xy^2-3(x^2)y+y(x+y)(y-x)-4=0
x(x+y)(x-y)-3xy^2-3(x^2)y-y(x+y)(x-y)-4=0
(x-y)(x-y)(x+y)-3xy(x+y)-4=0
(x-y)(x-y)-3xy-(4/(x+y))=0
z:=x+y
Es kann also nur ganzzahlige Lösungstupel geben für z|4.
Dies ergibt die Fälle z=-4,-2,-1,1,2,4. Ausgeschlossen werden können außerdem die Fälle
z=-1 und z=1(aufgrund der Paritäten auf den beiden Seiten der Ausgangsgleichung.
Es ergibt sich:
(z-2y)^2-3(z-y)y-4/z=0
z^2-4yz+4y^2-3yz+3y^2-4/z=0
7y^2-7yz+z^2-4/z=0
y^2-yz+(z^2-4/z)/7=0
Es muss also (z^2-4/z)/7 ganzzahlig sein.
Es werden nun die 4 Fälle z=-4,-2,2,4 untersucht:
Fall 1: z=-4:
(z^2-4/z)/7=(16+1)/7=17/7\notel\ \IZ
Fall 2: z=-2:
(z^2-4/z)/7=(4+2)/7=6/7\notel\ \IZ
Fall 3: z=2:
(z^2-4/z)/7=2/7\notel\ \IZ
Fall 4: z=4:
(z^2-4/z)/7=15/7\notel\ \IZ
Damit ist die Behauptung bewiesen.
Ich hoffe jetzt mal ganz fest, dass die nicht falsch ist :/
edit: Ups, das war ne ältere Version... in der neueren hab ich noch beim Teilen durch x+y die Division durch 0 ausgeschlossen.
Nummer 3(per Dreiecksungleichung):
Es gilt a^2+b^2>5c^2
Dreiecksungleichung: b0:
a^2+(a+c)^2>5c^2
2a^2+2ac>4c^2
a^2+2ac>2c^2+ac
a(2c+a)>c(2c+a)
Also ist c c ist die kürzeste Seite.
[ Nachricht wurde editiert von Thom am 07.03.2006 19:15:00 ]
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sebi2k
Ehemals Aktiv
Dabei seit: 15.02.2006
Mitteilungen: 39
| Beitrag No.115, eingetragen 2006-03-07
|
Für Aufgabe 3 gibt es eine wunderbar einfache Lösung (die ich leider nicht einsenden konnte, weil sie jemand aus meiner Schule vor mir fand und ich kein Risiko wegen Betrugsversuch eingehen wollte):
Laut Aufgabenstellung: a^2+b^2 > 5c^2 (1)
Dreiecksungleichung: a 5c^2;
2cb+2b^2 > 4c^2;
b^2+cb > 2c^2;
(b+0,5c)^2-0,25c^2 > 2c^2;
(b+0,5c)^2 > 2,25c^2;
b+0,5c > 1,5c;
b > c; q.e.d.
Analog a!
[ Nachricht wurde editiert von sebi2k am 07.03.2006 19:13:42 ]
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Ehemaliges_Mitglied
| Beitrag No.116, vom Themenstarter, eingetragen 2006-03-07
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hehe... ich kannte die Dreiecksungleichung gar nicht, bevor ich da zufällig drauf gestoßen bin :) . Vorher hatte ich nen Beweis mit dem Kosinussatz, das ging auch. (Kann mich aber nicht mehr so genau dran erinnern)
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Ex_Senior
| Beitrag No.117, eingetragen 2006-03-07
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Hallo!
zu 3.: es geht auch kürzer :
\
o.B.d.A.: a <= b.
indirekter beweis der Aufgabe: Annahme: c ist nicht kürzeste Seite
=> a 5c^2 < a^2+b^2 < c^2+b^2 => 4c^2 < b^2 => 2c < b => a+c < b; Widerspruch zur Dreiecksungl.
Ich weiß, es sind alles nur Nuancen...
Viele Grüße, Cyrix
[ Nachricht wurde editiert von cyrix am 07.03.2006 19:20:45 ]
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TimTim
Ehemals Aktiv
Dabei seit: 03.03.2006
Mitteilungen: 31
Wohnort: Weingarten, BW
| Beitrag No.118, eingetragen 2006-03-07
|
sebi, das ist Aufgabe 3 ;-)
Hi,
schöne Lösungen ;) Ich poste mangels Webspace auch mal nur meine zur 2:
\sourceon
Aufgabe 2
Allen ganzen Zahlen lässt sich wie folgt ein Wert r zwischen 0 und 6 zuordnen:
Die ganze Zahl wird durch 7 dividiert, das Ergebnis ganzzahlig nach unten abgerundet
und dann wieder mit 7 multipliziert, die Differenz bestimmt den Wert r der Zahl (Division mit Rest).
Alle ganzen Zahlen lassen sich schreiben in der Form 7x + r (0 < = r < = 6; x Element von Z).
Quadriert man diese Zahl, so entsteht nach der 1. binomischen Formel:
49x² + 14xr + r²
Und für (7x + r)³:
343x³ + 147x²r + 21xr² + r³
Da die ersten 3 Summanden dieser Zahl durch 7 teilbar sind,
ergeben sie bei der Division durch 7 einen Rest von 0.
Der Rest z, der entsteht bei der Division von r³ durch 7 ist also gleichzeitig
der Rest des gesamten Terms.
Somit ist bewiesen, dass der Rest z des Kubiks einer Zahl 7x + r bei Division durch 7
gleich dem Rest des Kubiks von r ist.
r ist bekanntlich eine ganze Zahl 0 < = r < = 6:
r = 0 r³ = 0 z = 0
r = 1 r³ = 1 z = 1
r = 2 r³ = 8 z = 1
r = 3 r³ = 27 z = 6
r = 4 r³ = 64 z = 1
r = 5 r³ = 125 z = 6
r = 6 r³ = 216 z = 6
Wie zu sehen ist, ergeben alle Kubikzahlen der Form x³ bei der Division durch 7 einen Rest z
von 0, 1 oder 6.
Um von dieser Erkenntnis Gebrauch machen zu können, muss die rechte Seite der Aufgabengleichung
zunächst ausmultipliziert werden, anschließend wird zu beiden Seiten 3x²y + 3xy² addiert:
x³ + y³ = 4 (x²y + xy² + 1)
x³ + y³ = 4x²y + 4xy² + 4
x³ + 3x²y + 3xy² + y³ = 7x²y + 7xy² + 4
Der Term auf der linken Seite der Gleichung entspricht nun dem Ausdruck (x + y)³:
(x + y)³ = 7x²y + 7xy² + 4
Da laut Aufgabenbedingung x und y ganze Zahlen sind, ist auch x + y eine ganze Zahl.
Wie oben bewiesen, ergibt das Kubik einer ganzen Zahl bei der Division durch 7 einen Rest von 0, 1 oder 6.
Also bleibt nach Division durch 7 auf der linken Seite ein Rest r von 0, 1 oder 6.
Auf der rechten Seite der Gleichung sind die ersten beiden Summanden durch 7 teilbar,
also entspricht die Zahl 4 dem Rest.
Nach Division durch 7 bleibt auf der rechten Seite ein Rest r von 4.
Da beide Seiten verschiedene Reste aufweisen, kann die Gleichung für ganze Zahlen x und y nicht gelten.
q. e. d.
\sourceoff
mfg & toitoi allen
[ Nachricht wurde editiert von TimTim am 07.03.2006 19:33:35 ]
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Ehemaliges_Mitglied
| Beitrag No.119, vom Themenstarter, eingetragen 2006-03-07
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Hallo, ich hatte eine andere Lösungsmöglichkeit des Sachverhalts:
x^3+y^3=4*(x^2*y+xy^2+1)
<=>x^3+y^3=4x^2*y+4xy^2+4
<=>x^3-4x^2*y-4xy^2+y^3=4
Nun kann man -4x^2*y (bzw. -4xy^2) jeweils aufspalten in -7x^2*y+3x^2*y (bzw. -7xy^2+3xy^2) und erhält:
<=>x^3+3x^2*y+3xy^2+y^3-7x^2*y-7xy^2=4
Nun kann man aus den ersten 4 Gliedern eine vollständige dritte Potenz absplaten und in den anderen beiden Gliedern jeweils noch -7xy ausklammern, dann erhält man:
<=>(x+y)^3-7xy(x+y)=4
<=>(x+y)*[(x+y)^2-7xy]=4
Nun nimmt man an, es gäbe ein Lösungspaar [x;y] mit x,y \el Z, dann wären auch (x+y) und [(x+y)^2-7xy] ganzzahlig, da die Operationen Addition, Subtraktion und Multiplikation(wozu dann natürlich im weiteren Sinne auch das Quadrieren gehört) im Bereich der ganzen Zahlen unbeschränkt ausführbar sind. (Ich hoffe, das ist richtig formuliert!)
Man hat also vereinfacht die Gleichung:
a*b=4 (mit a,b \el Z) zu lösen.
Dafür kommen 6 Fälle in Frage:
[a;b]=[4;1]=[1;4]=[2;2]=[-2;-2]=[-4;-1]=[-1;-4]
Nachdem man die dadurch enstehenden 6 Gleichungssysteme gelöst hat, erhält man den Widerspruch zur Annahme, da stets reelle Lösungen für x und y, einmal sogar komplexe Lösungen entstehen.
Damit dürfte das Problem gelöst sein, nicht wahr!
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2023-12-08 22:11 !
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