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Universität/Hochschule J Poissonschen Grenzwertsatz anwenden
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2006-01-29


Hallo

Folgendes Modell:
Bei einer Veranstaltung gibt es 500 Plätze, jeder Gast sagt mit W. 4% ab.
Es soll jetzt mit Hilfe des Poissonschen Grenzwertsatzes berechnet werden, wie viele Karten (natürlich keine Platzkarten) maximal verkauft werden können, so das mit maximal W. 5% mehr als 500 Leute mit Karten kommen.

Was mich dabei wundert:
In den Voraussetzungen des Poissonschen Grenzwertsatzes steht, dass X_i eine Folge von Zufallsvariblen sei, die Binomial-verteilt sind mit Paramater (n,p_n) für X_n.
Dabei ist n*p_n konstant.

Ich sehe noch nicht, wie ich bei dieser Aufgabe den Satz anwenden soll, denn der p_n Parameter ist doch mit 0.04 konstant, also ist n*p_n folglich *nicht* konstant.

Kann mir jemand helfen, wie ich in dem Modell die Voraussetzungen des Satzes bekommen kann?



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Kleine_Meerjungfrau
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2006-01-29


Hallo Peter_Silie,

der Poissonsche Grenzwertsatz sagt mir nichts, zumindest unter dem Namen. So wie sich das in deinem Post aber liest, geht es darum, dass man die Binomialverteilung durch die Poissonverteilung annähern kann. Dabei gilt dann, dass fed-Code einblenden , wobei fed-Code einblenden der Parameter der Poissonverteilung ist. Vielleicht kannst du ja den Satz mal aufschreiben.
Deine Aufgabe gibt es übrigens auch mit dem Sachverhalt einer Flugzeugüberbuchen.

Gruß
kleine Meerjungfrau



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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2006-01-29


Hi,

in der Vorlesung hatten wir den Satz auch noch nicht, wird wohl in der nächsten drankommen.
Google spuckt relativ wenig aus dazu, ich habe in diesem Skript:
www.cx.unibe.ch/~ilya/teaching/handouts/wk.pdf
was dazu gefunden, auf Seite 49.
Oder hab ich den Satz falsch verstanden?



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Kleine_Meerjungfrau
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2006-01-29


Nein, das ist schon das, was ich vermutet habe: die Poisson-Approximation der Binomialverteilung. Für große n und kleine p kannst du die Binomialverteilung der Poissonverteilung annähern. Dieser Satz sagt genau das. Wie dir vielleicht aufgefallen ist, wird auch der Beweis mit der Binomialverteilung angesetzt.
Nun gut, in dem Satz steht ja schon, dass fed-Code einblenden . n ist 500 und p=4%. Du musst dir jetzt nur überlegen, wie du die Wahrscheinlichkeit ansetzt. Du hast sie ja nun schon gegeben, dafür musst du noch die andere Variable der Poissonverteilung berechnen (manchmal k, manchmal auch was anderes).

Gruß
kleine Meerjungfrau



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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2006-01-29


Hmm, aber da steht doch n*p_n = lambda für alle n aus den natürlichen Zahlen.
Dann müssten die p_n doch alle unterschiedlich groß sein. (?)



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Kleine_Meerjungfrau
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, eingetragen 2006-01-29


Du hast doch nur ein n. Also du hast n unabhängige, binomialverteilte Zufallsvariablen mit Parameter p=p_n. Das heißt, in dem von dir verlinkten Satz ist nur X_n binomialverteilt. Außerdem ist X poissonverteilt. In deiner Aufgabe spielen die X_i gar keine Rolle, nur X. Der Satz gibt dir quasi an, wie du die Binomialverteilung, die du eigentlich verwenden würdest, mit der Poissonverteilung approximieren kannst. Du darfst nicht n mit einer Laufvariablen verwechseln. In der Binomialverteilung hättest du n verschiedene X und X_n wäre dann =X_500.

Gruß
kleine Meerjungfrau



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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2006-01-29


2006-01-29 20:22: Kleine_Meerjungfrau schreibt:
Du hast doch nur ein n.


In dem Satz stand aber, dass es für jedes n aus den natürlichen Zahlen gelten muss, also nicht nur für eines.
Naja, die Bedeutung des Satzes ist mir klar geworden glaube ich, aber ich finde er ist in dem von mir zitierten Skript nicht gut formuliert.

Es wird aber eine ziemliche Rechnerei bei der Aufgabe, oder? Ich glaub, ich werd mal ein Matlab-Programm schreiben. Oder gibt es da einen eleganten Weg?



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Kleine_Meerjungfrau
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.7, eingetragen 2006-01-29


Ja schon für jedes n aber du hast für jede Rechnung nur eines. n ist keine Laufvariable. Ich finde es in dem Skript eigentlich so sooo schlecht formuliert...
Nun, so eine arge Rechnerei wird das doch gar nicht. Du musst eben mit der Poissonverteilung ansetzen und dann nach der Variablen auflösen. Nun ja, du hast große Zahlen. Also Teile musst du vielleicht mit nem CAS rechnen aber es lohnt sich nicht, da ein Programm zu schreiben.

Gruß
kleine Meerjungfrau



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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.8, vom Themenstarter, eingetragen 2006-01-29


2006-01-29 21:01: Kleine_Meerjungfrau schreibt:
Nun, so eine arge Rechnerei wird das doch gar nicht. Du musst eben mit der Poissonverteilung ansetzen und dann nach der Variablen auflösen.


Naja, es sieht etwa so aus:

Es werden 500+n Karten verkauft und es soll gelten:
P(zu viele Leute kommen)<=0.05

Also:
P(es sagen weniger als n Leute ab)<=0.05
P(es sagen 0,1,2,3...oder n-1 Leute ab)<=0.05
P(Vereinigung von k=1 bis n-1){es sagen genau k Leute ab}<=0.05
fed-Code einblenden
fed-Code einblenden

Also schön finde ich das nicht zum nach n auflösen...



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Kleine_Meerjungfrau
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.9, eingetragen 2006-01-29


Hm, ich sagte doch schon, dass n=500. Du musst nach k auflösen.



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Ehemaliges_Mitglied
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.10, vom Themenstarter, eingetragen 2006-01-29


n ist doch die Anzahl der Karten, die eigentlich zu viel verkauft wurden. Insgesamt werden also (500+n) Karten verkauft. Dieses n ist sicherlich nicht 500.



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Kleine_Meerjungfrau
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.11, eingetragen 2006-01-29


Ich dachte zwar an was anders bei n aber das hat auch nicht ganz gestimmt, sorry. Also sagen wir, n ist die Anzahl der Leute, die zuviel kommen. Dann sagen wir, X sei die Anzahl der Gäste die kommen. Wir müssen dann berechnen
fed-Code einblenden
Somit ist fed-Code einblenden . n ist ja nun was anderes als das n in der Formel.
Wie gesagt: ich weiß nicht, ob es nötig ist, ein Programm zu schreiben, du musst ja bestimmt auch nen Lösungsweg dazu angeben...

Gruß
kleine Meerjungfrau



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