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  DGL 11. Ordnung |
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Ehemaliges_Mitglied
 |  Themenstart: 2006-03-16
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Hallo,
bei folgender Aufgabe weiss ich nicht wie ich vorgehen soll:
Das charakteristische Polynom einer linearen DGL 11. Ordnung mit
reellen konstanten Koeffizienten habe unter anderem folgende Nullstellen:
n_1=2, n_2=n_3=3, n_4=n_5=n_6=n_7=-4, n_8=2-3*i, n_9=-6+4*i
(1) Bestimmen Sie alle Nullstellen des char. Polynoms.
(2) Geben Sie die allgemeine Lösung der zugehörigen homogenen linearen DGL an.
Für eure Hilfe wäre ich sehr dankbar.
Gruß Chris
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pendragon302
Senior 
Dabei seit: 29.06.2002
Mitteilungen: 2003
Wohnort: Garbsen/Hannover
 | Beitrag No.1, eingetragen 2006-03-16
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Hi
Hat ein Polynom eine komplexe Zahl als Nullstelle so ist auch ihre konjugiert komplexe Zahl eine NST.
Hilft dir das schon weiter?
Gruß
[ Nachricht wurde editiert von pendragon302 am 16.03.2006 14:02:41 ]
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Monkfish
Senior 
Dabei seit: 01.03.2006
Mitteilungen: 3550
Wohnort: Zürich
| Beitrag No.2, eingetragen 2006-03-16
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Hallo Chris,
Mein Tip:
\
Ist p ein Polynom mit reellen Koeffizienten, dann gilt
p(z)=0 <=> p(z^-)=0
Gruss
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Buri
Senior 
Dabei seit: 02.08.2003
Mitteilungen: 46890
Wohnort: Dresden
 | Beitrag No.3, eingetragen 2006-03-16
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Hi chris,
willkommen!
Dir fehlt doch nur noch die zehnte und die elfte Nullstelle.
Die bekommst du aber, wenn du bedenkst, daß das Polynom reell sein soll. Ferner muß ein Polynom n-ten Grades, von dem du alle Nullstellen a1, ..., an kennst (mehrfache Nullstellen müssen dabei auch mehrfach aufgezählt werden), unweigerlich die Form (x-a1)*...*(x-an) haben.
Gruß Buri
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Ehemaliges_Mitglied
| Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2006-03-17
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Hallo zusammen,
vielen Dank schon mal, also noch die konjugiert komplexen der 8. und 9.
Und wie erhalte ich daraus dann die DGL bzw. deren Lösung?
Gruß Chris
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Hasan
Senior
Dabei seit: 02.02.2003
Mitteilungen: 458
Wohnort: Darmstadt
 | Beitrag No.5, eingetragen 2006-03-17
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Okay, also du weißt, dass du eine lineare DGL 11. Ordnung hast mit konstanten reellen Koeffizienten, d.h.
y^(11) + a_(10) y^(10) + ... + a_2 y'' + a_1 y' + a_0 y = 0
Das Polynom p mit
p(\l) = l^11 + a_(10) \l^10 + ... + a_2 \l^2 + a_1 \l^1 + a_0
hat die Nullstellen
n_1=2, n_2=n_3=3, n_4=n_5=n_6=n_7=-4, n_8=2-3i, n_9=-6+4i, n_10=2+3i, n_11 = -6-4i
So, jetzt solltest du in der Vorlesung einen Satz gehabt haben, der dir ein Fundamentalsystem (eine Menge aus 11 Funktionen) der DGL gibt, d.h. die allgemeine Lösung der DGL ist eine Linearkombi dieser 11 Funktionen.
Ein Tipp: Die erste dieser 11 Funktionen ist
b_1(x)=e^2x
EDIT: Ich habe dieses Semester meinen Üblingen eine Folie zu diesem Problem erstellt; wenn du den passenden Satz in deinem Skript nicht findest, kannst du mal hier schauen 
[ Nachricht wurde editiert von Hasan am 17.03.2006 23:17:32 ]
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Ehemaliges_Mitglied
| Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2006-03-19
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Ehemaliges_Mitglied hat die Antworten auf ihre/seine Frage gesehen.
Ehemaliges_Mitglied hat selbst das Ok-Häkchen gesetzt. |
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