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| Autor |
  Lösung einer DGL höherer Ordnung |
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floar
Ehemals Aktiv 
Dabei seit: 27.01.2005
Mitteilungen: 597
Wohnort: bayern
 |  Themenstart: 2006-04-05
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Hi,
ich bin gerade dabei das Thema DGLen höherer Ordnung /Systeme von DGLen zu bearbeiten.
Nun würde ich ganz gerne die DGL
y^´´´-y=sin(x) auf 2 Arten lösen.
Also kommen wir erst mal zur homogenen DGL:
char. Pol.: \lambda^3-1=0
=> \lambda_1=1 n_1=3
=> Fundamentalsystem: (e^x;x*e^x;x^2*e^x)
so, nun zur 2. Methode:
Ich möchte das ganze nun mit einem linearen System lösen. Also
y^>:=(y;y^´;.....;y^([n-1]))
=>y^>´=(0,1,0;0,0,1;1,0,0)*y^>+(0;0;sin(x))
.
Nun zur homogenen DGL:
det(A-\lambda*E)=\lambda^3-1
=>\lambda_1=1 n_1=3
Ich würde jetzt ganz gerne das Fundamentalsystem mittels der Matrix-Exponentialfunktion bestimmen
Wir haben im Skript die Matrix-Exponentialfunktion folgendermassen definiert
e^(A*x)=sum(e^(\lambda_j*x)*sum(x^v/(v!)*(A-\lambda_j*E)^v*C_j,k=0,n_j-1),j=1,k) ,
wobei C_j die Frobeniuschen Kovarianten darstellen.
So, nun stellt sich die Frage, darf ich diese Formel für mein Problem verwenden, bzw. ist die Formel und überhaupt das ganze über ein System zu lösen richtig?
Als Ergebnis erhalte ich:
e^x*(1,0,0;0,1,0;0,0,1)+x*e^x*(-1,1,0;0,-1,1;0,0,-1)+x^2/2*e^x*(1,-2,1;0,1,-2;0,0,1)
Stimmt das Ergebnis? Wenn ja, wie erhalte ich dann aus diesem bzw. dem obigen die homogene Lösung. So, wenn wir diese Fragen geklärt haben können wir ja noch über die part.Lösung sprechen.
Danke für Hilfe!
EDIT: alls jmd. nicht weiss, was die C_j (Frobeniusche Kovarianten) darstellen.
Es ist C_J=B_j*B, wobei
B_J:=produkt((A-\lambda_v*E)^(n_v),v=1 v!=j,k)
B:=sum(B_j,j=1,k)
(Das Polynom von B_j soll natürl. das char. Polynom, wobei der j-te Faktor nicht multipliziert wird, darstellen (mit A eingesetzt)
Gruss!
[ Nachricht wurde editiert von floar am 05.04.2006 23:57:12 ]
[ Nachricht wurde editiert von floar am 06.04.2006 00:40:30 ]
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olivier
Senior 
Dabei seit: 24.11.2002
Mitteilungen: 1693
Wohnort: Berlin
 | Beitrag No.1, eingetragen 2006-04-06
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Hi floar,
der Ansatz die lineare DGL über ein System von linearen DGL 1. Ordnung zu lösen ist richtig. Die Lösung des Systems ist auch die Matrixexponentialfunktion y^> (x) = e^(Ax)*c^>.
Dabei ist c^> \in \IC^n (oder \IR^n). Falls ein Anfangswertproblem vorliegt, ist c^> der Vektor mit den Anfangswertne für die verscheidenen Ableitungen: c^> = y^> (0) . Im allgemeinen ist c^> nicht festgelegt.
Die von dir angegebne Darstellung der Matrxiexponentialfunktion ist mir nicht bekannt (ich kenne es nur über die Jordannormalform).
Am Ende bekommt man die Lösung der ursprünglichen DGL einfach als erste Komponente von y^> (x).
Dann kann man testen, ob die Lösung richtig ist.
Edit: Bin grad am nachrechnen: kann es sein, dass du dich mit den Nullstellen des char. Polynoms verrechnet hast ? Da müssten doch die dritten Einheitswurzel herauskomen.
Viele Grüße,
Olivier
[ Nachricht wurde editiert von olivier am 06.04.2006 00:26:12 ]
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floar
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Wohnort: bayern
| Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2006-04-06
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Hi,
also die Darstellung der Matrixexp.fkt. nach der Herleitung im Skript ist mir jedenfalls plausibel und müsste eigentlich stimmen. Also müsste meine Rechnung, mal ausgenommen dass ich mich bei den Eigenwerten verrechnet habe, stimmen . Was meinst du eigtl. mit "die ersten Komponente liefert die Lösung"? Die erste Spalte . Ist mein erster Lösungsweg eigtl. auch richtig?
edit:
ich geh jetzt ins Bett, danke für deine Antwort, ich mach dann morgen weiter, gute Nacht!
Gruss
[ Nachricht wurde editiert von floar am 06.04.2006 00:53:01 ]
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olivier
Senior
Dabei seit: 24.11.2002
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| Beitrag No.3, eingetragen 2006-04-06
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Hi,
bei deinem ersten Lösungsweg musst du noch die Elemente des Fundamentalsystems (\=: FS) linear kombinieren. Die Lösung der DGL wäre (wenn das FS stimmen würde) y(x) = c_1 e^x + c_2 xe^x + c_3 x^2 e^x , c_1 , c_2 , c_3 \in \IC (bzw. \IR).
Schließlich ist ja eine Lösungsfunktion gesucht.
Bei dem zweiten Lösungsweg ist die Lösung des Systems
y^> ' = A y^>
eine Abbildung von I \subset \IR \to \IC^n (bzw. \IR^n). Die Lösung ist durch y^> (x) = e^(Ax)*c^> mit c^> \in \IC^n (bzw. \IR^n) gegeben.
Du musst also noch das e^(Ax) mit einem Spaltenvektor multiplizieren. Dann ist y^> (x) auch ein Spaltenvektor, nämlich y^>(x) = ( y(x) ; y'(x); ... ; y^[n-1](x) )
Die erste Komponente ist die Lösungsfunktion der ursprünglichen DGL y'''-y=sin(x) .
Viele Grüße,
Olivier
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floar hat die Antworten auf ihre/seine Frage gesehen.
floar hat selbst das Ok-Häkchen gesetzt. |
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