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| Autor |
  Asymptote einer ln-Funktion |
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druckgott
Junior 
Dabei seit: 20.02.2006
Mitteilungen: 19
 |  Themenstart: 2006-04-12
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Hallo ich habe diese Funktion
ln(16/(e^x)+1)
Laut Lösung ist die Asymptote y=ln16
Woher weiß ich jetzt das ich die Funktion nach + bzw - unendlich streben lassen muss?
mfg
druckgott
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kepzky606
Senior 
Dabei seit: 01.11.2004
Mitteilungen: 772
Wohnort: Wedemark
 | Beitrag No.1, eingetragen 2006-04-12
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\
Du meinst sicher:
f(x)=ln(16/(exp(x)+1))
Eine Asymptote bestimmst du indem du die Grenzwerte für +- \inf\ bildest.
Überlegung:
Was passiert mit dem Term exp(x) wenn x gegen +- \inf\ läuft?
lg
Erik
[ Nachricht wurde editiert von kepzky606 am 12.04.2006 15:44:45 ]
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Wauzi
Senior 
Dabei seit: 03.06.2004
Mitteilungen: 11599
Wohnort: Bayern
 | Beitrag No.2, eingetragen 2006-04-12
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Hallo druckgott, ist Deine Funktion wirklich
ln(16/exp(x)+1)
Dann stimmt das nämlich nicht.
Ist die 1 im Nenner, dann teste einfach mal x gegen +/- unendlich.
Gruß Wauzi
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druckgott
Junior
Dabei seit: 20.02.2006
Mitteilungen: 19
| Beitrag No.3, vom Themenstarter, eingetragen 2006-04-12
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2006-04-12 15:38: kepzky606 schreibt:
\
Du meinst sicher:
f(x)=ln(16/(exp(x)+1))
Eine Asymptote bestimmst du indem du die Grenzwerte für +- \inf\ bildest.
jo stimmt!!
muss ich beim ln dann einfach immer gegne + und - unendlich laufen lassen, wenn ich die Asymptote will?
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druckgott
Junior
Dabei seit: 20.02.2006
Mitteilungen: 19
| Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2006-04-12
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kepzky606
Senior
Dabei seit: 01.11.2004
Mitteilungen: 772
Wohnort: Wedemark
| Beitrag No.5, eingetragen 2006-04-12
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Ein Asymptote ist eine Kurve gegen die der Graph einer Funktion läuft (anschmiegt).
In der Regel prüft man das Verhalten für x gegen +- unendlich.
Das ist so ein Punkt aus der guten alten Kurvendiskussion.
lg
Erik
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fru
Senior
Dabei seit: 03.01.2005
Mitteilungen: 21456
Wohnort: Wien
 | Beitrag No.6, eingetragen 2006-04-12
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\
Hallo, Druckgott!
Das hat nichts speziell mit dem ln zu tun, es gilt allgemein:
Eine Asymptote ist eine Gerade, es gibt nur 2 Möglichkeiten:
(1) Wenn sie parallel zur y\-Achse liegt,
dann ist an der Stelle x_0, wo sie die x\-Achse schneidet,
die Funktion y=f(x) nicht definiert.
Untersuche alle eventuell vorhandenen Definitionslücken oder
Definitionsränder x_0 von f, ob dort der Grenzwert lim(x->x_0,f(x))
existiert oder nicht.
Wenn er nicht existiert, aber abs(f(x))->\inf aus x->x_0 folgt,
dann ist die Gerade mit der Gleichung x=x_0 eine Asymptote.
(2) Wenn sie nicht parallel zur y\-Achse verläuft,
dann hat sie eine Gleichung der Form y=a*x+b.
Untersuche, ob es eine reelle Zahl a gibt, sodaß der Grenzwert
lim(x->\inf,(f(x)-a*x)) oder__ lim(x->-\inf,(f(x)-a*x)) existiert.
\(Im Falle der Existenz beider Grenzwerte für ein relles a sind diese
automatisch gleich.)
Berechne für jedes a diesen Grenzwert, falls er existiert und
bezeichne ihn mit b.
y=a*x+b ist dann die Gleichung einer Asymptote.
Wenn wir das auf Deine Funktion anwenden, ergibt sich:
(1) f ist für alle x\el\IR definiert,
daher kann es keine zur y\-Achse parallele Asymptoten geben.
(2) Für a=0 ist f(x)-a*x=f(x) und b:=lim(x->-\inf,f(x))=16
Daher ist y=0*x+16 oder y=16 die Gleichung einer Asymptote.
Um zu beweisen, daß es keine weitere Asymptote mehr gibt,
zeige, daß für alle a!=0 keiner der beiden Grenzwerte
lim(x->+-\inf,(16/(exp(x)+1)-a*x))
existiert.
Liebe Grüße, Franz
[ Nachricht wurde editiert von fed am 12.04.2006 16:17:56 ]
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