| |
| Autor |
  Fundamentalsystem und Wronski-Determinante |
|
Chrissie512
Ehemals Aktiv 
Dabei seit: 28.11.2005
Mitteilungen: 97
Wohnort: Greifswald
 |  Themenstart: 2006-06-08
|
Hallo,
habe folgende Differentialgleichung gegeben: y^(4)-y=0
Dazu soll ich jetzt ein Fundamentalsystem berechnen und den Wert der zugehörigen Wronski-Determinante.
Für das Fundamentalsytem habe ich erstmal die Nullstellen berechnet.
Die wären dann \lambda_1=0, \lambda_2=1 und \lambda_(3,4)=-1/2+-1/2*sqrt(3)i
Daraus folgt dann das Fundamentalsystem:
1, e^x, cos(1/2*sqrt(3)x)e^(-1/2*x), sin(1/2*sqrt(3)x)e^(-1/2*x)
Hoffe bis hierhin stimmt meine Rechnung. Als nächstes müsste ich ja dann die Wronski-Determinante bestimmen:
w(x)=det (y_1,y_2,y_3,y_4;y'_1,y'_2,y'_3,y'_4;..,..,..,..;y'''_1,..,..,y'''_4)
Für y_1=1 sind die Ableitungen ja leicht zu bestimmen, auch für y_2=e^x kein Problem.
Für y_3 und y_4 jedoch sind sie ja um einiges schwieriger, deshalb stellt sich mir die Frage ob es da nicht irgendeinen Trick oder eine Hilfe zur Berechnung gibt.
Vielleicht kann man den Aufwand ja irgendwie minimieren.
Vielleicht hat ja jemand eine Idee.
Danke Chrissie
|
 Profil
|
kamil
Senior 
Dabei seit: 14.07.2003
Mitteilungen: 795
Wohnort: Bochum
 | Beitrag No.1, eingetragen 2006-06-08
|
Hallo, es wäre vielleicht günstiger, wenn du alles in der Exponentialfunktion lässt und es nicht noch mit einem Cosinus oder Sinus verbindest, so sparst du dir die Produktableitung.
Grüße, Kamil
|
Profil
|
Cookie
Ehemals Aktiv
Dabei seit: 30.05.2006
Mitteilungen: 52
| Beitrag No.2, eingetragen 2006-06-08
|
Hallo Chrissie,
ich würde auch gerne helfen, aber ich weiß nicht, wie du auf die Nullstellen kommst.
Mfg
Cookie
[ Nachricht wurde editiert von Cookie am 08.06.2006 11:17:29 ]
|
Profil
|
kamil
Senior
Dabei seit: 14.07.2003
Mitteilungen: 795
Wohnort: Bochum
| Beitrag No.3, eingetragen 2006-06-08
|
Stimmt, Cookie hat recht. Das hab ich erst gar nicht gesehen.
Überprüfe deine Nullstellen nochmal.
Grüße, Kamil
|
Profil
|
Cookie
Ehemals Aktiv
Dabei seit: 30.05.2006
Mitteilungen: 52
| Beitrag No.4, eingetragen 2006-06-08
|
Profil
|
Chrissie512
Ehemals Aktiv
Dabei seit: 28.11.2005
Mitteilungen: 97
Wohnort: Greifswald
| Beitrag No.5, vom Themenstarter, eingetragen 2006-06-08
|
Also so weit ich weiß berechnet man die Nullstellen, indem man erstmal das charakteristische Polynom zur Differentialgleichung bildet.
In meinem Fall ist das P(\lambda)=\lambda^4-\lambda=0.
Zu diesem Polynom muss man dann die Nullstellen bestimmen und die sind nach meiner Rechnung genau die oben genannten.
Zumindest habe ich das in meiner Vorlesung so verstanden.
Wie berechnet ihr denn die Nullstellen???
Chrissie
|
Profil
|
Cookie
Ehemals Aktiv
Dabei seit: 30.05.2006
Mitteilungen: 52
| Beitrag No.6, eingetragen 2006-06-08
|
Hi Chrissie,
das ist leider nicht ganz richtig 
Deine char. Gleichung muss lauten:
\lambda^4-1=0
Zusatz:
setze als Lösungsansatz y=e^(\lambda*x)
vier Mal differenziert y^(4)=\lambda^4*e^(\lambda*x)
das gibt dann \lambda^4*e^(\lambda*x)-e^(\lambda*x)=0
teilst du nun durch e^(\lambda*x) bleibt \lambda^4-1=0 übrig.
mfg
Cookie
wie schreibt man denn zwei Zeichen in den Exponenten  - edit - gefunden 
[ Nachricht wurde editiert von Cookie am 08.06.2006 12:56:13 ]
|
Profil
|
Chrissie512
Ehemals Aktiv
Dabei seit: 28.11.2005
Mitteilungen: 97
Wohnort: Greifswald
| Beitrag No.7, vom Themenstarter, eingetragen 2006-06-08
|
Danke Cookie,
habe meinen Denkfehler gefunden. Mit den Werten ist die Wronski-Determinante dann ja auch leichter zu berechnen.
Chrissie
|
Profil
|
Cookie
Ehemals Aktiv
Dabei seit: 30.05.2006
Mitteilungen: 52
| Beitrag No.8, eingetragen 2006-06-08
|
na dann mal los
mfg
Cookie
|
Profil
|
Chrissie512 hat die Antworten auf ihre/seine Frage gesehen.
Chrissie512 hat selbst das Ok-Häkchen gesetzt. |
|
All logos and trademarks in this site are property of their respective owner. The comments are property of their posters, all the rest © 2001-2023 by Matroids Matheplanet
This web site was originally made with PHP-Nuke, a former web portal system written in PHP that seems no longer to be maintained nor supported. PHP-Nuke is Free Software released under the GNU/GPL license.
Ich distanziere mich von rechtswidrigen oder anstößigen Inhalten, die sich trotz aufmerksamer Prüfung hinter hier verwendeten Links verbergen mögen.
Lesen Sie die
Nutzungsbedingungen,
die Distanzierung,
die Datenschutzerklärung und das Impressum.
[Seitenanfang]
|
Home / Seite ohne Frame
Wie unterstütze ich den Matheplaneten mit Geld?
