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| Autor |
 Potenzreihenansatz bei Differentialgleichung |
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hai
Ehemals Aktiv 
Dabei seit: 03.05.2006
Mitteilungen: 32
 |  Themenstart: 2006-06-21
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Hallo, ich komme bei folgender Aufgabe einfach nicht bis zur Lösung.
Bestimmen sie mittels eines Potenzreihenansatzes um t = 0
eine Lösung y der Differentialgleichung
y'''(t) - 4y''(t) = 5
Ich habe soweit schon folgendes gemacht:
y(t) = sum(a_i t^i,i=0,\inf)
y'(t) = sum(a_i i t^(i-1),i=1,\inf)
y''(t) = sum(a_i i (i-1) t^(i-2),i=2,\inf)
y'''(t) = sum(a_i i (i-1)(i-2) t^(i-3),i=3,\inf)
Einsetzen in Differentialgleichung:
sum(a_i i (i-1) t^(i-2),i=2,\inf) - 4 sum(a_i i (i-1)(i-2) t^(i-3),i=3,\inf) = 5
Dann verändere ich bei beiden Summen den Startwert für die Laufvariable so, dass in der Summe t^i steht. Ich erhalte:
sum(a_(i+2) (i+2) (i+1) t^i,i=0,\inf) - 4 sum(a_(i+3)(i+3)(i+2)(i+1) t^i,i=0,\inf) = 5
also:
sum(a_(i+2) (i+2) (i+1) t^i - 4(a_(i+3)(i+3)(i+2)(i+1) t^i) ,i=0,\inf) = 5
Für den Fall i = 0, wird t^0 = 1, und damit kann ich (weil i jetzt nicht allein dasteht) den Fall i aus der Summe herausschreiben.
Somit gilt:
2a_2 - 24a_3 + sum(a_(i+2) (i+2) (i+1) t^i - 4(a_(i+3)(i+3)(i+2)(i+1) t^i) ,i=1,\inf) = 5
Hab ich nun bis hierher schon Fehler gemacht ?
Und wie kann ich hier weiter machen ?
Danke für eure Hilfe
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 Profil
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SchuBi
Senior 
Dabei seit: 13.03.2003
Mitteilungen: 19409
Wohnort: NRW
 |  Beitrag No.1, eingetragen 2006-06-21
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Hallo, hai!
Du setzt nicht i=0, sondern t=0.
y(t)=sum(a_i*t^i,i=0,\inf)
y'(t)=sum(a_i*i*t^(i-1),i=1,\inf)
y''(t)=sum(a_i*i(i-1)*t^(i-2),i=2,\inf)
y'''(t)=sum(a_i*i(i-1)(i-2)*t^(i-3),i=3,\inf)
Einsetzen in Differentialgleichung:
sum(a_i*i (i-1)*t^(i-2),i=2,\inf)-4*sum(a_i*i(i-1)(i-2)*t^(i-3),i=3,\inf)=5
Dann verändere ich bei beiden Summen den Startwert für die Laufvariable so, dass in der Summe t^i steht. Ich erhalte:
sum(a_(i+2)*(i+2)(i+1)*t^i,i=0,\inf)-4*sum(a_(i+3)*(i+3)(i+2)(i+1)*t^i,i=0,\inf)=5
also:
sum((a_(i+2)*(i+2) (i+1)-4*a_(i+3)*(i+3)(i+2)(i+1))*t^i,i=0,\inf)=5
\red Für den Fall i = 0, wird t^0 = 1, und damit kann ich (weil i jetzt nicht allein dasteht) den Fall i aus der Summe herausschreiben.
Du machst folgendes
\blue du setzt t=0, denn i ist ein Index
2*a_2-24a_3+sum((a_(i+2) (i+2) (i+1)-4a_(i+3)(i+3)(i+2)(i+1))*0^i ,i=1,\inf)=5
=>2*a_2-24*a_3=5, weil 0^1=0 für i>=1
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hai
Ehemals Aktiv
Dabei seit: 03.05.2006
Mitteilungen: 32
| Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2006-06-21
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Ich versteh nicht was du meinst, ich meine doch nur, dass wenn ich die Summe von 1 aus zähle, und nicht von 0, dass ich dann
2*a_2-24*a_3
aus der Summe herausschreiben kann.
Aber wie kann ich nun weiter machen, von da an ?
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