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  DGL 4. Ordnung (AWP) |
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Dietrich_Grenz
Ehemals Aktiv 
Dabei seit: 06.06.2006
Mitteilungen: 65
 |  Themenstart: 2006-07-01
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Hallo Mathe-Forum,
ich muss das folgende Anfangswertproblem lösen:
y^(4) -2y^(3) -3y''=972x^2 mit
y(0)=-1, y'(0)=1, y''(0)=0, y^(3) (0)=0
Wie kann man das lösen?
Wäre nicht erstmal eine Reduktion der DGL auf die
Ordnung 3 notwendig? Wenn ja, wie geht das
Reduktionsverfahren?
ich würde mich auf Hilfe freuen.
viele Grüße, Dietrich.
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eule_cz
Ehemals Aktiv 
Dabei seit: 17.06.2006
Mitteilungen: 65
Wohnort: Darmstadt
| Beitrag No.1, eingetragen 2006-07-01
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Hi Dietrich,
Reduktion der Ordnung wäre hier unnötig.Es handelt sich hier um eine lineare DGL mit konstanten Koeffizienten.Mach erst mal den Ansatz für das charakteristische Polynom für die homogene Lösung.Von dem charakteristischen Polynom mußt du nur die Nullstellen berechnen.
Die partikuläre Lösung findest du über den Ansatz des Typen der rechten Seite.Ist auch ganz einfach und in jeder DGL Literatur erklärt.
Gruß Michael
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Dr_Sonnhard_Graubner
Senior
Dabei seit: 06.08.2003
Mitteilungen: 29301
Wohnort: Sachsen
 | Beitrag No.2, eingetragen 2006-07-01
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Hallo, für die Lösung der homogenen Gleichung macht man den Ansatz
y(x)=e^(\lambda*x). Um eine spezielle Lösung der inhomogenen
Gleichung zu finden, empfehle ich den Ansatz
y_p=A*x^4+B*x^3+C*x^2+D*x+E.
Viele Grüße,Sonnhard.
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Dietrich_Grenz
Ehemals Aktiv
Dabei seit: 06.06.2006
Mitteilungen: 65
| Beitrag No.3, vom Themenstarter, eingetragen 2006-07-01
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Danke für eure Vorschläge!
Ich habe die Lösung für die homogene Gleichung gefunden:
Hier kurz beschrieben, wie ich drauf komme:
y^(4) -2y^(3) -3y''=972x^2
durch Substitution von z=y'' ergibt sich:
z''-2yz'-3z=972x^2
Sonnhard's Ansatz: z(x)=exp(rx)
z'=r exp(rx), z''=r^2 exp(rx)
(r^2 +c_1 r+c_2) exp(rx)=0
r_(1,2) =1+-sqrt(5)
z_H =c_1 exp((1+sqrt(5))x)+c_2 exp((1-sqrt(5))x)
Sonnhard, ich verstehe nicht so ganz deinen Ansatz!
Wie könnte man die Aufgabe mit Varaition der Konstanten lösen?
mfg, Dietrich
[ Nachricht wurde editiert von fed am 01.07.2006 16:27:32 ]
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praeci
Senior
Dabei seit: 29.12.2005
Mitteilungen: 1194
Wohnort: Magdeburg, D
 | Beitrag No.4, eingetragen 2006-07-01
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Hi,
die Substitution ist nur von Nutzen, wenn du alle Ableitungen durch die neue Variable ausdrücken kannst. Dies ist bei dir nicht der Fall, da du den Term yz' übrig behälst. Geh am besten direkt mit Sonnhards Vorschlag auf die homogene Ausgangs-ODE los. du bekommst dann zwar ein Polynom 4. Grades, aber das sollte lösbar sein ...
Variation der Konstanten kann m. W. nur für die Bestimmung einer partikulären Lösung verwandt werden und setzt die Kenntnis der Lösung der homogenen Gleichung voraus.
--
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Dietrich_Grenz
Ehemals Aktiv
Dabei seit: 06.06.2006
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| Beitrag No.5, vom Themenstarter, eingetragen 2006-07-01
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praeci schreibt:
Variation der Konstanten kann m. W. nur für die Bestimmung einer partikulären Lösung verwandt werden und setzt die Kenntnis der Lösung der homogenen Gleichung voraus.
Das meine ich ja! Danke.
r^4 -2r^3-3r^2=0
Nullstellen: r_1 =0, r_2 =-1, r_3 =3, dh
y_H =C_1 exp(-x)+C_2 exp(3x)+C_3
Wie macht man das jetzt mit der Variation der
Konstanten zur Gewinnung der speziellen Lösung?
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Dr_Sonnhard_Graubner
Senior
Dabei seit: 06.08.2003
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Wohnort: Sachsen
| Beitrag No.6, eingetragen 2006-07-01
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Hallo, die partikuläre Lösung muß doch ein Polynom sein.
Überlege dir mal den maximalen Grad dazu.
Viele Grüße,Sonnhard.
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Dietrich_Grenz
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Mitteilungen: 65
| Beitrag No.7, vom Themenstarter, eingetragen 2006-07-02
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2006-07-01 23:54: Dr_Sonnhard_Graubner schreibt:
Hallo, die partikuläre Lösung muß doch ein Polynom sein.
Überlege dir mal den maximalen Grad dazu.
Der muss jawohl 4 sein.
[ Nachricht wurde editiert von Dietrich_Grenz am 02.07.2006 11:08:25 ]
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Dr_Sonnhard_Graubner
Senior
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| Beitrag No.8, eingetragen 2006-07-02
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Hallo, stimmt, dann mach mal den Ansatz:
y_p=A*x^4+B*x^3+C*x^2+D*x+E .
Viele Grüße,Sonnhard.
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Dietrich_Grenz
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| Beitrag No.9, vom Themenstarter, eingetragen 2006-07-02
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2006-07-02 11:10: Dr_Sonnhard_Graubner schreibt:
Hallo, stimmt, dann mach mal den Ansatz:
y_p=A*x^4+B*x^3+C*x^2+D*x+E .
Viele Grüße,Sonnhard.
Ich habe mit Polynomen noch nie gearbeitet.
Was muss ich denn da jetzt machen?
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Dr_Sonnhard_Graubner
Senior
Dabei seit: 06.08.2003
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| Beitrag No.10, eingetragen 2006-07-02
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Hallo, Ableiten, in die Differentialgleichung einsetzen und Koeffizientenvergleich machen.
Viele Grüße,Sonnhard.
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Dietrich_Grenz
Ehemals Aktiv
Dabei seit: 06.06.2006
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| Beitrag No.11, vom Themenstarter, eingetragen 2006-07-02
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Danke Sonnhard.
p(x)=ax^4+bx^3+cx^2+dx+c
p'(x)=4ax^3+3bx^2+2cx+d
p''(x)=12ax^2+6bx+2c
p'''(x)=24ax+6b
p''''(x)=24a
-36ax^2-48ax-18bx+24a-12b-6c=972x^2
I: -36ax^2=972x^2 => \red\ \stress\ a=-27
II: -48ax-18bx=0 => \red\ \stress\ b=-72
III: 24a-12b-6c=0 => \red\ \stress\ c=-252
Wie muss ich jetzt weiterfortfahren, also wie baue ich
aus den Koeffizienten die spezielle Lösung zusammen?
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praeci
Senior
Dabei seit: 29.12.2005
Mitteilungen: 1194
Wohnort: Magdeburg, D
| Beitrag No.12, eingetragen 2006-07-02
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Hi,
setze die bestimmten Koeffizienten in deinen Ansatz p(x) ein, und schon hast du eine spezielle Lösung. (Zur Schreibweise: Im Ansatz für p(x) taucht zweimal der Koeffizient 'c' auf, hier musst du unterschiedliche Bezeichnungen verwenden).
--
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Dietrich_Grenz
Ehemals Aktiv
Dabei seit: 06.06.2006
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| Beitrag No.13, vom Themenstarter, eingetragen 2006-07-02
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Upps, Schreibfehler!
p(x)=27x^4-72x^3-252x^2+dx+e
Woher bekomme ich jetzt d und e?
Allgemeine Lösung:
y=y_h+p(x)
y=(C_1 exp(-x)+C_2 exp(3x)+C_3)+(-27x^4+72x^3-252x^2+dx+e)
d.h: N=e+C_3,
y=K*exp(-x)+L*exp(3x)-27*x^4+72*x^3-252*x^2+M*x+N
[ Nachricht wurde editiert von Dietrich_Grenz am 02.07.2006 17:58:25 ]
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Dr_Sonnhard_Graubner
Senior
Dabei seit: 06.08.2003
Mitteilungen: 29301
Wohnort: Sachsen
| Beitrag No.14, eingetragen 2006-07-02
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Hallo, M und N sind ja dann beliebige reelle Zahlen, die zum Beispiel auch Null gesetzt werden können.
Viele Grüße,Sonnhard.
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CamKnight
Ehemals Aktiv
Dabei seit: 01.02.2006
Mitteilungen: 89
Wohnort: Delitzsch
 | Beitrag No.15, eingetragen 2006-07-04
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Hallo,
Aber warum denn? Am Ende hat man doch vier Gleichungen und vier Variablen... Passt doch oder ?
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Wally
Senior 
Dabei seit: 02.11.2004
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Wohnort: Dortmund, Old Europe
 | Beitrag No.16, eingetragen 2006-07-04
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Hallo, an alle Beteiligten:
Bitte beachtet, dass r=0 doppelte Nullstelle des charakteristischen Polynoms ist, und daher die allegemeine Lösung der homogenen Gleichung lautet
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y_H =C_1 exp(-x)+C_2 exp(3x)+C_3+C_4 x
Wally
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Dr_Sonnhard_Graubner
Senior
Dabei seit: 06.08.2003
Mitteilungen: 29301
Wohnort: Sachsen
| Beitrag No.17, eingetragen 2006-07-04
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Hallo, ja richtig, die allgemeine Lösung lautet:
y(x)=C_1*e^(-x)+C_2*e^(3*x)+C_3*x+C_4-27*x^4+72*x^3-252*x^2, was
auch seiner Lösung entspricht.
Viele Grüße,Sonnhard.
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