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| Autor |
  Gruppen der Ordnung p*q*r |
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fido68
Ehemals Aktiv 
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Herkunft: Hamburg
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Hallo!
Im Raum steht die Frage nach der Klassifikation aller Gruppen der Ordnung p*q*r mit p,q,r jeweils verschiedene Primzahlen.
Ich habe das Forum schon weitestgehend durchwälzt, bin aber noch nicht
wirklich fündig geworden:
Klar ist (mit Hilfe von Martin_Infinites Artikel) der Fall p*q
mit der Fallunterscheidung p teilt (q-1) (oBdA p>q) oder p teilt
(q-1) nicht. Lässt sich diese Regel auf eine dritte Primzahl
fortführen? Also wenn meinethalben für p<q<r gilt
p teilt nicht (q-1), p teilt nicht (r-1) und q teilt nicht (r-1),
weiß ich dann, dass es keine nicht-abelschen Gruppen gibt
und kann über die Zahl der Partitionen die Anzahl der Isomorphieklassen
bestimmen?
Gruß, fido68
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fido68
Ehemals Aktiv 
Dabei seit: 27.06.2006
Mitteilungen: 36
Herkunft: Hamburg
|      Beitrag No.1, vom Themenstarter, eingetragen 2006-07-07
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OK, also selbst erkannt habe ich soweit, dass in dem Fall p \teiltnicht (q-1), p\teiltnicht (r-1) und q \teiltnicht (r-1) es jeweils nur eine P-Sylow, eine Q-Sylow und eine R-Sylow geben kann. Diese sind dann jeweils normal in G. Kann ich jetzt schon folgern, dass \IZ_(pqr) die einzige Isomorphieklasse ist? Also folgt daraus, dass es keine nicht-abelschen Gruppen geben kann? Gruß!
[ Nachricht wurde editiert von fido68 am 07.07.2006 16:20:57 ]
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Gockel
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 | Beitrag No.2, eingetragen 2006-07-07
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Hi.
Es kann ohne Problem nichtabelsche Gruppen dieser Ordnung geben, denn wenn es eine nichtablesche Gruppe G der Ordnung pq gibt, dann kannst du durch G x Z/rZ eine nichtabelsche Gruppe der Ordnung pqr erhalten.
Zu deiner eigentlichen Frage: Ja die Gruppen lassen sich klassifizieren, sogar verdammt gut. Leider kenne ich den dazu notwendigen Beweis nicht vollständig, die ganz grobe Beweisführung (ich machs in einer allgemeineren Variante, obs in diesem Spezialfall einfacher geht, weiß ich nicht) sieht so aus:
Man zeigt, dass alle Gruppen quadratfreier Ordnung auflösbar sind.
Man zeigt, dass die Auflösbarkeiststufe 2 ist.
Daraus schlussfolgert man, dass jede Gruppe quadratfreier Ordnung ein semidirektes Produkt von zwei zyklischen Gruppen ist.
Den Beweis für den ersten Schritt hab ich drauf, den zweiten Schritt habe ich bisher nicht gehen können, der dritte ist im Vergleich zu den anderen beiden wieder einfach, wenn man die richtigen Werkzeuge hat.
Alles in allem ist der Beweis aus dem Nichts verdammt schwer. Wenn du allerdings viele Vorkenntnisse hast, ist es machbar.
mfg Gockel.
[ Nachricht wurde editiert von Gockel am 07.07.2006 16:33:31 ]
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fido68
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| Beitrag No.3, vom Themenstarter, eingetragen 2006-07-07
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Vielen Dank schonmal Gockel,
ich denke da wage ich mich lieber mal nicht dran! :-)
Aber zurück zur Frage / Deinem Einwand:
Du sagtest, es könne nichtabelsche Gruppen der Ordnung pqr geben,
wenn es eine ncihtabelsche der Ordnung pq gibt.
Meine Frage bezog sich aber auf die von mir gegebenen Voraussetzungen:
p \teiltnicht (q-1), p \teiltnicht (r-1), q \teiltnicht (r-1)
In diesem Fall könnte es doch keine nichtabelsche Gruppe der
Ordnungen pq, pr, sowie qr geben, da doch die jeweiligen Sylows
immer die einzigen und damit normal wären
und damit dann jede P-,Q- oder R-Sylow zyklisch wäre, ein beliebiges
Produkt ebenfalls zyklisch und das ganz Ding also abelsch!
Oder???
MfG, fido68
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Gockel
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| Beitrag No.4, eingetragen 2006-07-07
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Ich versuchs nochmal... vielleicht hat die Hitze mir ja doch ein einen guten Gedanken gelassen.
Okay, sei also p<q<r mit deinen Vorraussetzungen. Irgendeine der Sylowgruppen S muss normal sein \(das folgt z.B. durch Elementezählen\). Die beiden übrigen Sylowgruppen bilden zusammen eine Untergruppe U. Dann ist abs(S)=p,q oder r und abs(U) entsprechend =qr,pr bzw. pq Insbesondere ist G=S\ltimes\ U. Nach deinen Vorraussetzungen und der bereits erfolgten Klassifizierung der pq-Gruppen muss U isomorph zu etwas zyklischem sein. Jetzt ist Aut(S) auch zyklisch und zwar von Ordnung abs(S)-1. Da nach Vorraussetzung keiner der beiden Primfaktoren von abs(U) ein Teiler von abs(S)-1 ist, kann es nur den trivialen Homomorphismus U->Aut(S) geben, also muss G=S\ltimes\ U=S\oplus\ U sein. Da S und U zyklisch sind, muss es auch G sein.
mfg Gockel, der hofft, dass ihm die Hitze nicht noch einen Streich spielt.
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fido68
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| Beitrag No.5, vom Themenstarter, eingetragen 2006-07-07
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Sorry, Gockel, vielleicht ist es auch für mich zu heiß.
Ich bin mir immernoch nciht sicher, ob ich das ganze durchdrungen habe...
2006-07-07 17:33: Gockel schreibt:
Okay, sei also p<q<r mit deinen Vorraussetzungen. Irgendeine der Sylowgruppen S muss normal sein \(das folgt z.B. durch Elementezählen\). \stress\ Wegen der nicht-teilbarkeits-Voraussetzungen \stress\ (aus denen folgt, dass es jeweils nur genau eine P-,Q-, \stress\ R-Sylow geben kann) dacht ich, müssten alle normal sein! Die beiden übrigen Sylowgruppen bilden zusammen eine Untergruppe U. Dann ist abs(S)=p,q oder r und abs(U) entsprechend =qr,pr bzw. pq Insbesondere ist G=S\ltimes\ U. Nach deinen Vorraussetzungen und der bereits erfolgten Klassifizierung der pq-Gruppen muss U isomorph zu etwas zyklischem sein. Jetzt ist Aut(S) auch zyklisch und zwar von Ordnung abs(S)-1. Da nach Vorraussetzung keiner der beiden Primfaktoren von abs(U) ein Teiler von abs(S)-1 ist, kann es nur den trivialen Homomorphismus U->Aut(S) geben, also muss G=S\ltimes\ U=S\oplus\ U sein. Da S und U zyklisch sind, muss es auch G sein. \stress\ und wenn G zyklisch ist, ist sie doch auch abelsch!? \stress\ Und dann brauch ich doch nicht mehr nach ncihtabelschen \stress\ zu suchen!??
mfg Gockel, der hofft, dass ihm die Hitze nicht noch einen Streich spielt.
Oder wo liegt jetzt hier genau der Gegenbeweis,
dass es doch ncihabelsche G gibt?
LG und schönen Freitag abend schonmal!
[ Nachricht wurde editiert von fido68 am 07.07.2006 19:21:01 ]
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Gockel
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| Beitrag No.6, eingetragen 2006-07-07
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Hi.
Deine Bedingung reichen aus, damit es keine nichtabelsche Gruppen der Ordnung pqr und deinen Bedingungen gibt. Das folgt aber nicht direkt aus den Sylowsätzen, sondern bedarf ausgedehnterer Argumentation, denn du hast z.B. nur vorausgesetzt, dass q!==1 (mod p) und r!==1 (mod p) Es könnte aber immer noch qr==1 (mod p) sein. Und das wird auch durch deine dritte Bedingung r!==1 (mod q) nicht ausgeschlossen, wie man z.B. bei p=3, q=5, r=17 erkennt.
Dass trotzdem alle Sylowgruppen normal sind, ist zwar korrekt, aber die Begründung liegt nicht in den Sylowsätzen, aus denen kann man nur folgern, dass mindestens eine der Sylowgruppen normal sein muss. Über die anderen beiden schweigen sich die Sylowsätze aus. (Es sei denn du findest da ein Zählargument, das ich übersehen habe)
Und ja, G zyklisch impliziert G abelsch. Deshalb kann es keine nichtabelschen Gruppen mit deinen Bedingungen geben. Genau das war doch auch zu zeigen...
Da ist nirgendwo ein Gegenbeiweis, es ist ein Beweis deiner Vermutung (hätt ich vielleicht dazuschreiben sollen, da ich vorher anderer Meinung war, okay...)
mfg Gockel.
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| Beitrag No.7, vom Themenstarter, eingetragen 2006-07-07
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