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 Problem 2 |
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Toaster
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Dabei seit: 03.01.2003
Mitteilungen: 271
 |  Themenstart: 2003-04-10
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scorp
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Dabei seit: 07.10.2002
Mitteilungen: 4341
Wohnort: Karlsruhe
 | Beitrag No.1, eingetragen 2003-04-10
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Hallo Team,
ich glaube hier kommt man zum Ziel, wenn man die beiden Polynome umschreibt
x^4+ax^2+b = (x-x_0)(x-x_1)(x-x_2)(x-x_3)
bzw.
x^2+ax+b = (x-x_0)(x-x_1)
Grüße,
/Alex
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Siah
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Dabei seit: 19.05.2002
Mitteilungen: 3539
Wohnort: Trier
 | Beitrag No.2, eingetragen 2003-04-10
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Eine Polynomdivision könnte auch hilfreich sein :)
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scorp
Senior
Dabei seit: 07.10.2002
Mitteilungen: 4341
Wohnort: Karlsruhe
|  Beitrag No.3, eingetragen 2003-04-10
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Hi!
Ich hab mit der Polynomdivision angefangen - im dritten Schritt ist mir die Lust vergangen.
Seien x0, x1, x2, x3 die Nullstellen des ersten Polynoms. Dann kann man feststellen, dass jeweils zwei der vier Nullstellen Gegenzahlen sind, also zB x0=-x1 und x2=-x3.
Abschließend muss man jede dieser Nullstellen gleichsetzen mit jeder der Nullstellen des zweiten Polynoms. Das sollte machbar sein :)
Vielleicht geht es so ja einfacher.
Grüße,
/Alex
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Eckard
Senior 
Dabei seit: 14.10.2002
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Wohnort: Magdeburg
 | Beitrag No.4, eingetragen 2003-04-10
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Habe bis jetzt 4 Paare gefunden. Komischerweise sind mir mit scorps Vorschlag zwei Paare ins Netz gegangen, die ich mit Siahs Polynomdivision nicht gefunden hatte. Muss noch mal in Ruhe schauen...
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Friedel
Wenig Aktiv
Dabei seit: 09.05.2002
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Wohnort: Deutschland
 | Beitrag No.5, eingetragen 2003-04-10
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Ist eine reele Zahl eine Zahl die sich als Quotient darstellen lässt?
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Friedel
Wenig Aktiv
Dabei seit: 09.05.2002
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Wohnort: Deutschland
| Beitrag No.6, eingetragen 2003-04-10
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Mist. Das ist ne rationale Zahl. Was ist eine reelle Zahl? Wenn ich merke, was ich alles vergessen habe, fällt mir erst auf, was ich alles mal wußte *ggg*.
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scorp
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Dabei seit: 07.10.2002
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Wohnort: Karlsruhe
| Beitrag No.7, eingetragen 2003-04-10
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Hi Friedel!
Eine reelle Zahl lässt sich gerade _nicht_ ale Quotient zweier ganzer Zahlen darstellen. Beispiel: Ö2
Gruß,
/Alex
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Friedel
Wenig Aktiv
Dabei seit: 09.05.2002
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Wohnort: Deutschland
| Beitrag No.8, eingetragen 2003-04-10
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@scorp: Danke. Hat gereicht um mich zu erinnern. Alles klar soweit.
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Rodion
Senior
Dabei seit: 29.10.2002
Mitteilungen: 2050
 | Beitrag No.9, eingetragen 2003-04-10
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Habe mit Polynomdivision 5 Paare gefunden (die ich mittels nachrechnen auch verifiziert habe).
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Martin_Infinite
Senior
Dabei seit: 15.12.2002
Mitteilungen: 39133
Wohnort: Münster
 | Beitrag No.10, eingetragen 2003-04-10
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Hmmm - Ich habe auch diese Polynomdivision gemacht.
Da kommt ja ein heftiges Teil raus!
Bloß was ich dann tun soll, weiß ich nicht.
Wie soll ich denn überprüfen, ob dieses Teil ne natürliche Zahl ist?
Und dann noch a,b und x überall!
-----------------
[ Nachricht wurde editiert von Martin_Infinite am 2003-04-10 17:05 ]
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pendragon302
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Dabei seit: 29.06.2002
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Wohnort: Garbsen/Hannover
 | Beitrag No.11, eingetragen 2003-04-10
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Hm
irgendwie habe ich unendlich viele Lösungen *kopfkratz*
Was ist wenn b=0 ist?
Gruß
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Rodion
Senior
Dabei seit: 29.10.2002
Mitteilungen: 2050
| Beitrag No.12, eingetragen 2003-04-10
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Ich fand die Polynomdivision eigentlich recht harmlos? *auchamkopfkratz*
Wenn b = 0 ist, dann bedeutet das aber noch nicht, daß die Division aufgeht. Z.B. sind
x^4 + x^2\
und
x^2 + x
nicht ohne Rest teilbar.
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pendragon302
Senior
Dabei seit: 29.06.2002
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Wohnort: Garbsen/Hannover
| Beitrag No.13, eingetragen 2003-04-10
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Ja jetzt sehe ich meinen Denkfehler
als ich aus
x^4+a*x^2
x^2 ausgeklammert habe, habe ich
x^2*(x+a)
rausbekommen.
Kleiner Fehler :-D
Gruß
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viertel
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Dabei seit: 04.03.2003
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Wohnort: Hessen
 | Beitrag No.14, eingetragen 2003-04-10
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Ich bin jetzt auch bei 6 Lösungen angekommen. Und ich denke auch, das ist alles.
Dietmar
***Korrektur (hatte falsch hingeguckt): 5 und eine mit "Nebenbedingung" ***
[ Nachricht wurde editiert von viertel am 2003-04-10 18:08 ]
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Martin_Infinite
Senior
Dabei seit: 15.12.2002
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Wohnort: Münster
| Beitrag No.15, eingetragen 2003-04-10
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Ich verstehe das nicht - Habt ihr denn auch so ein riesiges Teil raus?
Wie macht ihr das???
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Rodion
Senior
Dabei seit: 29.10.2002
Mitteilungen: 2050
| Beitrag No.16, eingetragen 2003-04-10
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Also so als Hinweis: In der entstehenden Formel treten keine höheren Potenzen als 3 auf (egal ob von a, b oder x) und eigentlich sind es nur Potenzen kleinergleich 2.
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Martin_Infinite
Senior
Dabei seit: 15.12.2002
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| Beitrag No.17, eingetragen 2003-04-10
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Das ist klar. Trotzdem habe ich keinen Ansatz, wie man
dann die Paare (a,b) findet.
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Friedel
Wenig Aktiv
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| Beitrag No.18, eingetragen 2003-04-11
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Eckard
Senior 
Dabei seit: 14.10.2002
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Wohnort: Magdeburg
| Beitrag No.19, eingetragen 2003-04-13
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Hi Leute,
hier das Gleichungssystem, welches sich nach Polynomdivision ergibt:
a^3 + a^2 = 2 a b,
b (a^2 + a - b - 1) = 0.
Daraus erhält man folgende Lösungspaare (a, b):
1) (0, 0),
2) (-1, 0),
3) (1, 1),
4) (-2, 1),
5) (0, -1).
Habe ich welche übersehen?
Gruß Eckard
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Martin_Infinite
Senior
Dabei seit: 15.12.2002
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Wohnort: Münster
| Beitrag No.20, eingetragen 2003-04-13
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Wie kommst du auf das Gleichungssystem?
Nach der Polynomdivision habe ich:
x^2-ax+a^2+a-b-ax(a^2+a-2b)/(x^2+ax+b)-b(a^2+a-b-1)/(x^2+ax+b)
Und nu?
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viertel
Senior 
Dabei seit: 04.03.2003
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| Beitrag No.21, eingetragen 2003-04-14
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@MartinI: ist die Frage ernst gemeint? Für 'ne ganze Zahl müssen die beiden Brüche verschwinden, also deren Zähler =0 sein. Und dann steht doch (bis auf winzigste Umformungen) das da, was Eckard geschrieben hat (daß er x unterschlagen hat macht ja bei der Bestimmung von a und b nix).
Dietmar
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Eckard
Senior
Dabei seit: 14.10.2002
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Wohnort: Magdeburg
| Beitrag No.22, eingetragen 2003-04-14
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Danke Dietmar :-)
Es müsste nur jemand noch einmal überprüfen, dass nicht eventuell einige Lösungen durch die Lappen gegangen sind.
Gruß Eckard
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Martin_Infinite
Senior
Dabei seit: 15.12.2002
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| Beitrag No.23, eingetragen 2003-04-14
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@1/4:Die Frage ist ernst.
Aber a,b und x sind doch reell. Wenn die Brüche verschwinden,
können immer noch reelle Zahlen dastehen. Außerdem kann
der Zähler ein Vielfaches des Nenners sein, sodass der Bruch auch
ganzzahlig sein kann!
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Siah
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Dabei seit: 19.05.2002
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| Beitrag No.24, eingetragen 2003-04-14
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Nein, der Bruch ist doch echt-gebrochenrational, dh der Grad des Nenners ist grösser wie der Grad des Zählerpolynoms. Wie soll dann der Zähler ein Vielfaches vom Nenner werden?
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specage
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Dabei seit: 02.04.2003
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 | Beitrag No.25, eingetragen 2003-04-14
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Hallo Scorp, ne Korrektur zu den reellen Zahlen:
Ö2 ist irrational aber auch reell.
Reelle Zahlen beinhalten alle Zahlen die nicht komplex sind, also auch die rationalen Zahlen.
Habe bei der Polynomdivision den Restbruch
((2ab-2a^2)x-2ab+b^2+b)/(x^2+ax+b)
erhalten. Da der Zähler vom Grad her um eins niedriger ist als der Nenner muss der Zähler 0 sein.
Damit komme ich beim Koeffizientenvergleich auf das Gleichungssystem:
(2ab-2a^2=0,-2ab+b^2+b=0)
Daraus folgt:
2a²=b²+b
Hab ich mich bis hierher evtl. in der Polynomdivision verrechnet?
Weiter bin ich bisher jedenfalls nicht gekommen.
Vielleicht gehts dann auch mit dem Ansatz, dass die rechte Seite gerade sein muss. Damit wäre dann entweder b² und b gerade oder b² und b ungerade.
[ Nachricht wurde editiert von specage am 2003-04-14 14:32 ]
[ Nachricht wurde editiert von specage am 2003-04-14 14:42 ]
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Rodion
Senior
Dabei seit: 29.10.2002
Mitteilungen: 2050
| Beitrag No.26, eingetragen 2003-04-14
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@Martin: Hast du auch berücksichtigt, daß x nicht fest ist, sondern eine Variable, die Gleichung also für alle x gelten muß?
Das ist natürlich letztendlich dasselbe Argument wie mit Grad, aber ich glaube, hier liegt dein Verständnisfehler, kann das sein?
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Martin_Infinite
Senior
Dabei seit: 15.12.2002
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Wohnort: Münster
| Beitrag No.27, eingetragen 2003-04-14
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Das war's dann wohl ... : \/
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scorp
Senior
Dabei seit: 07.10.2002
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Wohnort: Karlsruhe
| Beitrag No.28, eingetragen 2003-04-14
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Hi specage!
Du hast Recht, ist mir im Nachhinein auch aufgefallen. Da es aber offensichtlich niemand gestört hat, hab ichs halt mal stehen lassen.
Friedel hat es dennoch geholfen :)
Gruß,
/Alex
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Eckard
Senior
Dabei seit: 14.10.2002
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Wohnort: Magdeburg
| Beitrag No.29, eingetragen 2003-04-14
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Hi specage,
mein Gleichungssystem sieht anders aus, vgl. mein obiges posting. Es ist dasselbe wie Martin_Infinite es auch heraus hat. Das heißt, wir müssen noch "in Kongruenz" kommen. Du musst es wohl noch einmal rechnen.
Gruß Eckard
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specage
Junior
Dabei seit: 02.04.2003
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Wohnort: Kassel, Hessen
|  Beitrag No.30, eingetragen 2003-04-15
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Hi, ich gehe in Kongruenz mit euch. Ich hasse es, wenn ich unter Stress Buchstaben verliere. 
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specage
Junior
Dabei seit: 02.04.2003
Mitteilungen: 6
Wohnort: Kassel, Hessen
| Beitrag No.31, eingetragen 2003-04-15
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@Eckard
Nachem ich endlich Muße hatte und mich mal nicht verrechnet hab, bin ich auch auf deine 5 Lösungen gekommen. Mehr dürften es wohl nicht sein.
Gruß specage
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Toaster
Senior
Dabei seit: 03.01.2003
Mitteilungen: 271
| Beitrag No.32, vom Themenstarter, eingetragen 2003-04-20
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3 Eier für das Team.
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