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 Problem 5 |
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Toaster
Senior 
Dabei seit: 03.01.2003
Mitteilungen: 271
 |  Themenstart: 2003-04-10
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Siah
Senior 
Dabei seit: 19.05.2002
Mitteilungen: 3539
Wohnort: Trier
 | Beitrag No.1, eingetragen 2003-04-10
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Eine Lösung hab ich, aber ob das die einzige ist?
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Martin_Infinite
Senior
Dabei seit: 15.12.2002
Mitteilungen: 39133
Wohnort: Münster
 | Beitrag No.2, eingetragen 2003-04-10
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Oje
Für welche x ...
und leider nicht
Für welches x ...
steht da.
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Eckard
Senior 
Dabei seit: 14.10.2002
Mitteilungen: 6828
Wohnort: Magdeburg
 | Beitrag No.3, eingetragen 2003-04-10
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@Siah: Mit Sicherheit nicht!
@Martin_Infinite: Das wäre ja schon zuviel verraten, wenn da stünde: "Für welches ..."
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Fabi
Senior 
Dabei seit: 03.03.2002
Mitteilungen: 4586
 | Beitrag No.4, eingetragen 2003-04-10
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Hi!
Man kann zeigen, das x sicher ganzzahlig sein muss, wenn x²+x und damit z ganzzahlig ist, indem man einfach die Gleichung x²+x = n, n Î N, löst und zeigt, dass die Lösung entweder ganz oder irrational ist. Das wäre doch schonmal eine große Hilfe.
Gruß
Fabi
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Fabi
Senior 
Dabei seit: 03.03.2002
Mitteilungen: 4586
| Beitrag No.5, eingetragen 2003-04-10
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Hi!
Verlasst euch jetzt nicht zu sehr darauf, aber ich denke, ich kann alle Lösungen angeben und zeigen, dass es die einzigen sind. Ich muss es aber nochmal durchrechnen.
Gruß
Fabi
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scorp
Senior
Dabei seit: 07.10.2002
Mitteilungen: 4341
Wohnort: Karlsruhe
 | Beitrag No.6, eingetragen 2003-04-10
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Hi Ihr,
hoffentlich hat sich kein Rechenfehler eingeschlichen, aber kann man das Problem dann nicht auch darauf zurück führen, für welche n der Ausdruck Ö(4n²-75) wieder eine natüliche Zahl liefert?
[ Nachricht wurde editiert von scorp am 2003-04-10 13:37 ]
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Martin_Infinite
Senior
Dabei seit: 15.12.2002
Mitteilungen: 39133
Wohnort: Münster
| Beitrag No.7, eingetragen 2003-04-10
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Das habe ich auch raus.
Man kann nun noch n² wieder durch das ursprüngliche z ersetzen.
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[ Nachricht wurde editiert von Martin_Infinite am 2003-04-10 13:40 ]
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scorp
Senior
Dabei seit: 07.10.2002
Mitteilungen: 4341
Wohnort: Karlsruhe
| Beitrag No.8, eingetragen 2003-04-10
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Vielleicht hilft es was, wenn man eine Quadratzahl als Summe ungerader Zahlen auffasst?!
n^2 = sum(2k+1,k=0,n-1)
Nur eine Idee, ohne sonderlich viele Hintergedanken...
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Ex_Mitglied_1790
 |  Beitrag No.9, eingetragen 2003-04-10
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Hallo Leute,
ich kann bestätigen, dass es zumindest mehr als eine Lösung gibt.
Grüße
Stefan
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Fabi
Senior
Dabei seit: 03.03.2002
Mitteilungen: 4586
| Beitrag No.10, eingetragen 2003-04-10
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Und ich denke, ich habe jetzt alle Lösungen gefunden.
Zur Kontrolle: Ich habe 6 Lösungen.
Gruß
Fabi
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Eckard
Senior
Dabei seit: 14.10.2002
Mitteilungen: 6828
Wohnort: Magdeburg
| Beitrag No.11, eingetragen 2003-04-10
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Oops, ich hab bisher nur drei Lösungen, aber das muss nichts heißen.
@Fabi: Hast du auch nichtganze x?
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Eckard
Senior 
Dabei seit: 14.10.2002
Mitteilungen: 6828
Wohnort: Magdeburg
| Beitrag No.12, eingetragen 2003-04-10
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Fabi, give me five: Hab jetzt auch sechs Lösungen!
Nichtganze x sind wohl nicht möglich, wie du oben schon schriebst.
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Fabi
Senior
Dabei seit: 03.03.2002
Mitteilungen: 4586
| Beitrag No.13, eingetragen 2003-04-10
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Na, sehr schön. Dann sieht es ja so aus, als könnten wir schonmal 9 Punkte auf unser Konto verbuchen.
Bei Gelegenheit (vermutlich erst nächste Woche  ) poste ich die Lösungen und den Beweis, dass es die einzigen sind.
Gruß
Fabi
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Eckard
Senior
Dabei seit: 14.10.2002
Mitteilungen: 6828
Wohnort: Magdeburg
| Beitrag No.14, eingetragen 2003-04-10
|
Prima, bloß beweisen, dass es die einzigen sind, kann ich im Moment nicht (dass es auf einmal doppelt so viel waren, schon :-) Bin gespannt auf den Beweis.
Gruß Eckard
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MutenRoshi
Ehemals Aktiv
Dabei seit: 26.12.2001
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Wohnort: Osnabrück
 | Beitrag No.15, eingetragen 2003-04-10
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2003-04-10 13:35: scorp schreibt:
Hi Ihr,
hoffentlich hat sich kein Rechenfehler eingeschlichen, aber kann man das Problem dann nicht auch darauf zurück führen, für welche n der Ausdruck Ö(4n²-75) wieder eine natüliche Zahl liefert?
[ Nachricht wurde editiert von scorp am 2003-04-10 13:37 ]
Soweit bin ich auch gekommen, nur wie kann man ohne "Try and Error" herausfinden, für welche n der Term eine natürliche Zahl liefert. Da bin ich irgendwie stecken geblieben.
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Siah
Senior
Dabei seit: 19.05.2002
Mitteilungen: 3539
Wohnort: Trier
| Beitrag No.16, eingetragen 2003-04-10
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Ich sehe meinen Fehler nicht:
Der Ansatz ist doch
x^2+x+19 = n^2
Alle Quadratzahlen n^2 liegen auf der Funktion x^2, also kann man doch die Schnittpunkte der Funktionen f(x)= x^2+x+19 und g(x)=x^2 suchen, und dann schauen, an welchem dieser Schnittpunkte eine Quadratzahl einer natürlichen Zahl vorliegt. Damit komme ich aber nur auf eine...
*kopfkratz*
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Martin_Infinite
Senior
Dabei seit: 15.12.2002
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Wohnort: Münster
| Beitrag No.17, eingetragen 2003-04-10
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Fabi
Senior
Dabei seit: 03.03.2002
Mitteilungen: 4586
| Beitrag No.18, eingetragen 2003-04-10
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Hi!
@siah: Damit findest du nur den einen, für den z = x gilt. Aber es gibt noch welche, bei denen z und x ungleich sind.
Gruß
Fabi
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Siah
Senior
Dabei seit: 19.05.2002
Mitteilungen: 3539
Wohnort: Trier
| Beitrag No.19, eingetragen 2003-04-10
|
Ja, ich finde trotzdem keinen Weg die anderen konstruktiv zu berechnen...mal schauen...
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Rodion
Senior
Dabei seit: 29.10.2002
Mitteilungen: 2050
 | Beitrag No.20, eingetragen 2003-04-10
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Demzufolge wäre gälte ja auch:
Für welche rationalen x ist z = x eine Quadratzahl?
Deine Lösung benützte den Ansatz x = x2, also x=0 oder x=1 (Ahem!).
Die Lösung sind aber alle natürlichen Quadrate überhaupt.
[ Nachricht wurde editiert von Rodion am 2003-04-10 20:00 ]
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Eckard
Senior
Dabei seit: 14.10.2002
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Wohnort: Magdeburg
| Beitrag No.21, eingetragen 2003-04-11
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Hab jetzt vermutlich denselben Beweis wie Fabi, dass es nur 6 sechs Lösungen geben kann. Stichwort: dritte binomische Formel plus Teilbarkeit. Stimmt's Fabi?
Gruß Eckard
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Fabi
Senior
Dabei seit: 03.03.2002
Mitteilungen: 4586
| Beitrag No.22, eingetragen 2003-04-11
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Naja, mit Binomischen Formeln hat es was zu tun, aber mit Teilbarkeit nicht.
Es ist mehr so ein "Haudrauf-Beweis": Ich schränke die möglichen x stark ein und probiere durch.
Gruß
Fabi
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DaMenge
Senior
Dabei seit: 24.07.2001
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Wohnort: Bonn
 | Beitrag No.23, eingetragen 2003-04-11
|
@fabi+eckhard : Ich hab es gestern auch raus (6 Lösungen), aber nur teilweise bewiesen gehabt.
Wenn es nur ganzzahlige x geben kann (dies hatte ich nicht bewiesen.) ,
dann kann man leicht zeigen, dass :
x <= 19 und
x >= -19
Und dann ist der Rest ja nur noch eine Anzahl von Versuchen..
MfG
DaMenge
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Ex_Mitglied_1790
| Beitrag No.24, eingetragen 2003-04-11
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Hallo an alle,
ich hab auch sechs Lösungen (hab anfangs nur drei gefunden, bin aber dann auf was drauf gekommen..) und ebenfalls bewiesen, dass es nicht mehr geben kann.
Grüße
Stefan
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Eckard
Senior
Dabei seit: 14.10.2002
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Wohnort: Magdeburg
| Beitrag No.25, eingetragen 2003-04-13
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Poste mal kurz meinen Beweis, unter der Annahme x ganzzahlig (dies zu zeigen dürfte nicht schwer sein): z wird umgeschrieben als:
z = 1/4 * [(2x+1)^2 + 75].
Dieser Ausdruck soll nun eine Quadratzahl sein. Daher muss der Zähler durch 4 teilbar und selbst eine Quadratzahl sein, also
z = 1/4 * [(2x+1)^2 + 75] = 4 k^2 / 4 = k^2.
Umstellen und Anwendung der 3. binomischen Formel liefert:
4 k^2 - (2 x + 1)^2 = (2k - 2x - 1) * (2k + 2x + 1) = 75 = 3 * 5 * 5.
Die 75 kann nur wie folgt in zwei Faktoren zerlegt werden: 1*75, 75*1, 3*25, 25*3, 5*15 und 15*5. Das ergibt sechs Fälle:
1) 2k - 2x - 1 = 1, 2k + 2x + 1 = 75 ==> k = 19, x = 18
2) usw.
So gelangt man zu den sechs Werten
x = -19, -6, -3, 2, 5, 18.
Dass nichtganze x nicht in Frage kommen, bleibt noch zu zeigen.
Gruß Eckard
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viertel
Senior
Dabei seit: 04.03.2003
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Wohnort: Hessen
 | Beitrag No.26, eingetragen 2003-04-14
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Ich hab auch die 6 Zahlen. Fabi hat ja schon angedeutet, daß es keine nicht-ganzen Zahlen geben kann, dem schließe ich mich an. Und daß es nicht mehr als 6 sind:
Wenn mir jemand auf die Sprünge helfen könnte, daß es für
sqrt(4n^2-75)
nur 3 verschiedene n gibt, so daß die Wurzel ganzzahlig ist (evtl. über pythagoräische Zahlentripel?), dann hab ich's.
Dietmar
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Eckard
Senior
Dabei seit: 14.10.2002
Mitteilungen: 6828
Wohnort: Magdeburg
| Beitrag No.27, eingetragen 2003-04-14
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Hi Dietmar!
Das machst du über 4n^2 - 75 = k^2, k ganz
==> 4n^2 - k^2 = (2n + k) * (2n - k) = 75 = 1 * 3 * 5 * 5
und eine Fallunterscheidung bezüglich der beiden möglichen Faktoren.
Wenn du dir auch sicher bist, dass die oben angegebenen x-Werte stimmen und vollzählig sind, sprich mal ein zartes Machtwort. :-)
Gruß Eckard
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Ex_Mitglied_1790
| Beitrag No.28, eingetragen 2003-04-14
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Hallo an alle,
hier mal mein Beweis.
Ich zeige, dass x²+x+19 einfach nicht an die nächste Quadratzahl (x+1) herankommt:
(x+1)^2>x^2+x+19
x^2+2x>x^2+x+18
2x>x+18
x>18
Grüße,Stefan
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Eckard
Senior
Dabei seit: 14.10.2002
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Wohnort: Magdeburg
| Beitrag No.29, eingetragen 2003-04-14
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Hi hansibal,
ja, das ist OK, zeigt aber nur, dass keine ganzzahligen Lösungen x > 18 existieren.
Zur Lösung der Aufgabe musst du aber noch mehr machen. :-)
Gruß Eckard
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viertel
Senior
Dabei seit: 04.03.2003
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Wohnort: Hessen
| Beitrag No.30, eingetragen 2003-04-14
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Dann versuch ich mal, es zu formulieren.
Nehmen wir an, es gäbe p,qÎZ mit x=p/q, p und q teilerfremd und natürlich q>1. Dann kann aber
(p/q)^2+p/q+19
offensichtlich niemals ganzzahlig sein. Also doch q=1, was gleichwertig mit x ist ganzzahlig ist.
Die Lösungen von
x^2+x+19-n^2=0
sind doch
x_(1,2)=-1/2+-sqrt(1/4-19+n^2)
=-1/2+-1/2*sqrt(4n^2-75)
Gesucht sind ganzzahlige Lösungen von
4n^2-75=k^2
4n^2-k^2=75
(2n-k)(2n+k)=1*75=3*25=5*15=15*5=25*3=75*1=a*b
Daraus kann man 6 Gleichungssysteme ablesen:
2n-k=a\and 2n+k=b
Sie liefern die Lösungen
(n=,19,7,5,5,7,19;k=,-37,-11,-5,5,11,37)
Da uns nur die verschiedenen Lösungen für n interessieren, haben wir also nÎ{5,7,19}, was oben eingesetzt 6 Lösungen für x ergibt:
| n |
sqrt(4n^2-75)
|
x1 |
x2 |
| 5 | 5 | 2 | -3 |
| 7 | 11 | 5 | -6 |
| 19 | 37 | 18 | -19 |
Und mehr finde ich geht nicht.
*EDIT* teilerfremd ergänzt
-----------------
[ Nachricht wurde editiert von viertel am 2003-04-15 12:45 ]
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specage
Junior
Dabei seit: 02.04.2003
Mitteilungen: 6
Wohnort: Kassel, Hessen
 | Beitrag No.31, eingetragen 2003-04-15
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@viertel
Du musst in deinen Beweis noch hinzufügen, dass p¹q ist, sonst kann q doch größer 1 sein.
Ansonsten sehe ich keinen Fehler in der Herleitung. Müsste doch eigentlich stimmen. Zu einem anderen Ergebnis bin ich auch nicht gekommen.
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viertel
Senior
Dabei seit: 04.03.2003
Mitteilungen: 27787
Wohnort: Hessen
| Beitrag No.32, eingetragen 2003-04-15
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Du meinst bestimmt p und q teilerfremd und nicht p¹q. Nehm ich auf.
Dietmar
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specage
Junior
Dabei seit: 02.04.2003
Mitteilungen: 6
Wohnort: Kassel, Hessen
| Beitrag No.33, eingetragen 2003-04-15
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@viertel
Stimmt. Meine Aussage stimmt zwar auch, aber deine ist allgemeiner und auch zutreffend.
specage
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Toaster
Senior
Dabei seit: 03.01.2003
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| Beitrag No.34, vom Themenstarter, eingetragen 2003-04-20
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9 Eier für das Team.
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Eckard
Senior
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Mitteilungen: 6828
Wohnort: Magdeburg
| Beitrag No.35, eingetragen 2003-04-20
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Hallo Toaster,
wenn ich das richtig sehe, enthält deine Lösung nicht den Beweis, dass es keine weiteren Lösungen gibt, oder? Macht aber nichts ;-)
Gruß Eckard
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Toaster
Senior
Dabei seit: 03.01.2003
Mitteilungen: 271
| Beitrag No.36, vom Themenstarter, eingetragen 2003-04-20
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Hallo Eckard,
mit der Faktorisierung der 75 ist es natürlich eleganter, aber wenn du dir mal eine Tabelle mit den ersten Quadratzahlen aufschreibst, dann die Differenzen zwischen 2 aufeinanderfolgenden Quadratzahlen, zwischen 3 aufeinanderfolgenden usw. daneben, dann wird auch sofort klar, dass es keine weiteren Lösungen geben kann.
Gruß, Torsten.
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