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 Problem 6 |
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Toaster
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 |  Themenstart: 2003-04-10
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Friedel
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 | Beitrag No.1, eingetragen 2003-04-10
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Um die Aufgabe weiter zu vereinfachen möchte ich ein paar weitere Störgrößen ausschalten. Deshalb würde ich das Experiment gerne in eine Rakete verlegen die mit 10m/s2 beschleunigt. Dadurch wird das Experiment nicht von der Erddrehung beeinflusst. Die Richtung der Schwerkraft ist in der Anfangs- und Endlage der kleinen Kugel parallel (was auf der Erde bei großen Kugeln nicht der Fall ist). Die Fallbeschleunigung wirkt geradlinig. (Auch das ist auf der Erde nur am Äquator und an den Polen so.)
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Friedel
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| Beitrag No.2, eingetragen 2003-04-10
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Wenn man weiter vereinfacht indem man die Gravitation mit der sich die beiden Kugeln gegenseitig anziehen als vernachlässigbar klein betrachtet, kann man die Bahn der kleinen Kugel in 2 Abschnitte teilen. Im Abschnitt 1 berühren sich beide Kugeln. Abschnitt 2 ist ein schräger Wurf bei dem sich Anfangshöhe und horizontale Geschwindigkeit aus Abschnitt 1 ergeben.
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Eckard
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 | Beitrag No.3, eingetragen 2003-04-10
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Hi Friedel,
das mit der Rakete ist unzulässig in meinen Augen. Denn dann wäre die Beschleunigung gleich doppelt so groß (Trägheitskraft+Erdanziehung), was natürlich Auswirkungen auf den gesuchten Abstand hätte.
Vernachlässigung der Erdrotation und Kleinheit der Anordnung (r1, r2 viel kleiner als der Erdradius) sind schon OK.
Gruß Eckard
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Friedel
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| Beitrag No.4, eingetragen 2003-04-10
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@Eckard: Wir meinen das gleiche. Meine Rakete fliegt natürlich weit entfernt von der nächsten Galaxie im schwerelosen Raum und außer Reichweite der Amis und Kingonen.
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DieElemente
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 | Beitrag No.5, eingetragen 2003-04-10
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Frage: Die Masse der kleinen Kugel kann man sich doch in deren Mittelpunkt vereinigt denken, oder ?
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| Beitrag No.6, eingetragen 2003-04-12
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Hi, mal ne doofe Frage: Bin ich der einzige, der sich mit dem Problem 6 beschäftigt? Haaallo !?
Na ja, ich hab jedenfalls gerade berechnet, an welcher Stelle die kleine Kugel die große nicht mehr berührt. Das ist bei alpha= 48,197° bzw bei alpha = 53,968° der Fall, je nach dem ob man die Kugel als Massepunkt(48,..), oder wirklich als Kugel (53,...) betrachtet.(Hab aber noch keine Kontrollrechnung gemacht- dauert zu lang *gg*) Den Winkel alpha hab ich deffiniert als:
<(Mittepunkt der Kleinen Kugel bei t=0, Mittelpunkt der großen Kugel, aktueller Mittelpunkt der kleinen Kugel)
Das einzige, was jetzt noch Probleme bereitet ist die Zeit zu finden, die die kleine Kugel braucht, bis sie abhebt, denn da kämpfe ich gerade mit Integralen. Der Rest, nach dem "Lift-off" ist ja "trivial" !
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| Beitrag No.7, eingetragen 2003-04-12
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ups. die Zeit ist ja garnicht gesucht *andenkopfklatsch*... da bin ich mal wieder vom Thema abgekommen. Dann ists ja nicht mehr schwierig *gg* juhu !!
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Friedel
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| Beitrag No.8, eingetragen 2003-04-12
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Ich habe noch kein Ergebnis und glaube auch nicht, dass ich noch Zeit habe um mich damit zu befassen. Ich muss morgen auf Montage und komme erst in 2 Wochen zurück. Auf jeden Fall weicht dein Winkel sehr stark von meiner Schätzung ab.
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Friedel
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| Beitrag No.9, eingetragen 2003-04-12
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Auf jeden Fall schlage ich, ergänzend zu den oben gemachten vereinfachungen, vor, dass man annimmt, dass bei der kleinen Kugel die gesammte Masse im Mittelpunkt der Kugel vereinigt ist. Es geht darum, dass die Kugel zu keinem Zeitpunkt Rotationsenergie hat.
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| Beitrag No.10, eingetragen 2003-04-12
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#wenn man die Rotationsenergie mitberücksichtigt ist
x_w/r_1 #ca. 10 genauer gesagt warscheinlich unter 10.
#Genaueres kann ich erst sagen, wenn ich die Formel #vereinfacht habe.
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Eckard
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| Beitrag No.11, eingetragen 2003-04-13
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Hi Volker,
nur auf die Schnelle: Beide Kugeln sind tatsächlich als Kugeln zu rechnen einschl. Trägheitsmoment. Habe als "Ablösewinkel"
cos(phi) = 180/271 oder phi = 48,3785 Grad
heraus. Das deckt sich fast mit deinem ersten Wert. Zum genauen Rechenweg morgen mehr. Der Rest ist "bloß" ein schiefer Wurf nach schräg unten.
Gruß Eckard
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| Beitrag No.12, eingetragen 2003-04-13
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Also, wenn ich die Rotationsenergie berücksichtige erhalte ich für den Ablösewinkel genau cos(alpha) = 10/17 => alpha= 53,968°.
Für die Rotationsenergie glit doch
E_Rot = 1/2*J*w^2 = 1/2*2/5*m*r^2*w^2
= (mr^2*w^2)/5 = (mr^2*v^2)/5r^2 =1/5*mv^2
#oder nicht ?
#(w .. omega, v.. Umfangsgeschwindigkeit der Kugel)
#und für v(alpha) erhalte ich somit aus
mgh = 1/2mv^2+1/5mv^2 = 7/10*m*v^2
# auflösen nach v :
v= wurzel(10/7*g*h)= wurzel(60/7*g*r_1(1-cos(\alpha))
v(\alpha)= wurzel(60/7*g*r_1*(1-cos(\alpha)))
#stimmen wir so weit überein ?
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| Beitrag No.13, eingetragen 2003-04-13
|
...Was hier stand war falsch *gg*
[ Nachricht wurde editiert von DieElemente am 2003-04-13 19:25 ]
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Eckard
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| Beitrag No.14, eingetragen 2003-04-14
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Hi Volker,
kann deinen Ablösewinkel von cos alpha = 10/17, alpha = 53.96812 Grad bestätigen (jetzt zweimal gerechnet, einmal selbst, einmal aus deiner Gleichung abgeleitet, d.h. mein zuvor gepostetes 180/271 ist falsch).
Jetzt noch den schiefen Wurf ... wer ist schneller? :-)
Gruß Eckard
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| Beitrag No.15, eingetragen 2003-04-14
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Hi Eckard,
also ich habe x_w/r_1 = 6,92... raus.
(wenn ich mich nicht jetzt auf die Schnelle verrechnet habe *g*)
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Eckard
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| Beitrag No.16, eingetragen 2003-04-14
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Hi Volker,
huch, ich habe 7,778567 heraus, und zwar ist die horizontale Distanz zwischen Kugelmittelpunkt große Kugel und Ablösepunkt (alles in Einheiten von r1):
6 * sin(phi) = 6/17 * sqrt(189) = 4,852139
und der beim Fall zurückgelegte (horizontale) Weg beträgt
[sqrt(475944000) - 600*sqrt(189)] / 17^3 = 2,926428.
Kann auch sein, dass ich mich verrechnet habe. Schreib mal bitte deine beiden einzelnen Strecken auf.
Außerdem hat Gert (siehe Hauptankündigung->Kommentare) noch etwas in petto, vielleicht antwortet er hier auch noch.
Gruß Eckard
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| Beitrag No.17, eingetragen 2003-04-14
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Hi Eckard !
Also ich habe für die Strecke bis zum Ablösepunkt das selbe raus.
Kann es sein das du für die Fallhöhe von dort aus bis zum Boden 5r_1+ 6r_1*cos(phi) genommen hast?
Es muss nämlich h_freierFall = 5*r_1 + 6*r*cos(phi) - r sein, weil der Schwerpunkt der Kugel ja nicht auf den Boden fällt, sondern die Kugel berührt den Boden, wenn der Schwerpungk in der Höhe r ist !!
Also, kann es daran liegen ??
Ansonsten ist das wohl so eine Aufgabe, wo man 50 eintippen kann und jedes mal kommt ein anderes ergebnis raus *gg*.
[EDIT: Sorry Eckard, hatte dich mit t hinten geschrieben]
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[ Nachricht wurde editiert von DieElemente am 2003-04-14 13:53 ]
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| Beitrag No.18, eingetragen 2003-04-14
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w_x/r_1 = 6/17*wurzel(189)+(wurzel(2369808000)-wurzel(476280000))/wurzel(168962983)= 6,9182755...
Das ist mein Endergebniss (PS: kann man vielleicht noch kürzen*gg*).
[EDIT: FALSCH !! In dieser vorläufigen Formel ist ein Fehler ... das richtige Ergebnis findet ihr unten ..]
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[ Nachricht wurde editiert von DieElemente am 2003-04-14 15:22 ]
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|  Beitrag No.19, eingetragen 2003-04-14
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Merkwürdig, dass g nicht in der Formel auftaucht. *STAUNT*.
Da kompensiert sich also bei Vergrößerung von g die größere Geschwindigkeit in x- Richtung die kürzere Fallzeit!!
Das Experiment könnte man also mit den identischen Kugeln z.B. auf dem Mond durchführen, mit dem selben Ergebnis (w_xMond = w_xErde), wie auf der Erde !!
(PS: Alle Angaben wie immer ohne Gewehr) 
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| Beitrag No.20, eingetragen 2003-04-14
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Hi Eckard !
Also, wenn Toasters' Skizze maßstabsgetreu ist deine Lösung richtig. Ich muss die Aufgabe wohl nochmal durchgehen....und das kann dauern... *g*
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|  Beitrag No.21, eingetragen 2003-04-14
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..Und da ist auch schon mein der erster Fehler
4r+6r*cos(a) = r(4+cos(a)) *kopfaufdentischhau* das tut weh...
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Eckard
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| Beitrag No.22, eingetragen 2003-04-14
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Hi Volker,
ja, ich habe als gesamte Fallhöhe 4*r1 + 6*r1*cos(phi) genommen, das sind bei mir 128/17 * r1. Daran dürfte es nicht liegen. Ansonsten habe ich mit einer "fertigen" Formel für die Wurfparabel gerechnet, nämlich
z = -x * tan(phi) - g/[2 v^2 cos^2(phi)] x^2
(der Abwurfwinkel ist gerade -phi, der Ursprung dieses Koordinatensystems liegt im Schwerpunkt der kleinen Kugel während des Abhebens). Es ist ja noch ein bißchen Zeit ...
Gruß Eckard
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| Beitrag No.23, eingetragen 2003-04-14
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Hi Eckard
Jo, das da oben war mein Fehler *peinlich*.
Ich habe jetzt genau das selbe Ergebnis. Ich glaube wir dürfen uns gratulieren ! Die 11 Punkte sind uns sicher !
Also das richtige Endergebnis lautet demnach:
w_x/r_1=6/17*wurzel(189) + ((wurzel(47594400)-600*wurzel(189))/17^3) = 7,778567
Danke Eckard, wir waren ein gutes Team !!
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DieElemente
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|  Beitrag No.24, eingetragen 2003-04-14
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Irgendwie faszinierend, das g nicht in der Formel vorkommt.
Der Ablösewinkel ist ja auch unabhängig von g und damit ist w_x unabhägig von g. Irgendwie genial. (Aber auch unheimlich!)
Allerdings gelten die Formeln nur für g>0 ! (is ja auch einleuchtend *g*)
An Toaster: echt eine geniale Aufgabe !
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[ Nachricht wurde editiert von DieElemente am 2003-04-14 15:56 ]
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Eckard
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| Beitrag No.25, eingetragen 2003-04-14
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@Volker: Ja, gute Zusammenarbeit! Vier Augen sehen mehr als zwei (oder drei :-) Nun kannst du dir noch die Aufgabe 9 (a) ansehen ;-)
@Toaster: Diese Aufgabe steht ja im Greiner, Band 2 unter dem Thema Lagrange-Gleichungen. Aber leider nur kurz vorgestellt in Bezug auf holonome RB usw., nicht jedoch durchgerechnet.
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Toaster
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| Beitrag No.26, vom Themenstarter, eingetragen 2003-04-19
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Hi Eckard + Volker,
in eurem Ergebnis stimmt der Wurzelterm nicht mit dem gerundeten Wert überein, d.h. Martin_Infinite hat das Ganze schon richtig in seinen Taschenrechner eingegeben (oder hat er's im Kopf gerechnet?). Das gleiche gilt für die zweite Formel aus Eckard's Post vom 14.04., 12:40 Uhr. Ich würde euch also bitten, das Ergebnis noch einmal konsistent hinzuschreiben. Bis dahin werde ich mit meiner Lösung noch warten.
Gruß, Torsten.
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|  Beitrag No.27, eingetragen 2003-04-20
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Ups...
[ Nachricht wurde editiert von DieElemente am 2003-04-20 03:02 ]
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DieElemente
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| Beitrag No.28, eingetragen 2003-04-20
|
Ja, da ist was durcheinander gekommen. Also ich hab meine Rechnug nochmal durchgesehen und komme zu dem Ergebnis das der Term wie folgt lauten muss:
w_x/r_1=6/17*wurzel(189) + ((wurzel(511944000)-600*wurzel(189))/17^3) = 7,778567
Ich habe keine Ahnung, wie und wo sich der Fehler da eingeschlichen hat, zumal das Ergebnis ja stimmt! Da hat sich Eckard wohl nur vertippt (die Aufgabe ist ziemlich unübersichtlich, wenn man da mal angefangen hat was im nachhinein zu korrigieren :-D ;-) )
Eckards zweiter Term muss also nicht
[sqrt(475944000) - 600*sqrt(189)] / 17^3 = 2,926428, sondern
[sqrt(5119444000) - 600*sqrt(189)] / 17^3 = 2,926428. lauten !
Ich hoffe Eckard kann das bestätigen !
[Edit: musste einige hässliche Rechtschreibefehler unschädlich machen *g* (ist etwas spät..)]
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[ Nachricht wurde editiert von DieElemente am 2003-04-20 03:58 ]
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Toaster
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| Beitrag No.29, vom Themenstarter, eingetragen 2003-04-20
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Eckard
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| Beitrag No.30, eingetragen 2003-04-20
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Oops, vielen Dank an Toaster, dass er so fair war und auf die Inkonsistenz aufmerksam machte (MartinI hat sie auch bemerkt) und an Volker, dem diese Lösung "gehört". Ich weiß auch nicht mehr, wie ich zu dem falschen Radikanten kam, Volker hat Recht, bei dieser Aufgabe konnte man sich schnell verheddern, aber trotzdem war sie prima!
Gruß Eckard
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|  Beitrag No.31, eingetragen 2003-04-20
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Ja, nochmals vielen Dank, für deinen Hinweis Toaster.
Ansonsten: War echt ne super MPC, wirklich alles schöne Aufgaben !! Prima !!!
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[ Nachricht wurde editiert von DieElemente am 2003-04-20 13:00 ]
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