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 Problem 7 |
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Toaster
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Friedel
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 | Beitrag No.1, eingetragen 2003-04-10
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Hier kann man vielleicht auf den Überlegungen teilweise aufbauen, die ich in dieser Aufgabe
angestellt habe.
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Martin_Infinite
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 | Beitrag No.2, eingetragen 2003-04-10
|
Jetzt verstehe ich die Aufgabe a) so langsam...
Also man muss die Anzahl der Punkte berechnen, die in dem Kreis
liegen, dessen Radius 10000 ist und dessen Mittelpunkt der grüne
Punkt ist? (siehe Bild, nichts mit Tetrapacks)
Das Problem könnte man dann vereinfachen und den
Ursprung als Kreismittelpunkt nehmen.
Ist es auch möglich, ohne lange stumpf rumzurechnen, das ohne
ein Programm zu lösen?
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[ Nachricht wurde editiert von Martin_Infinite am 2003-04-10 23:25 ]
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Martin_Infinite
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| Beitrag No.3, eingetragen 2003-04-11
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Ich habe das Problem mit einem (selbst geschriebenen) Programm
für ein Programm gelöst.
[ Nachricht wurde editiert von Martin_Infinite am 2003-04-11 02:49 ]
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Eckard
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 | Beitrag No.4, eingetragen 2003-04-11
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Für den Teil (a) gibt es einen Vorschlag, der per Programm gefunden wurde.
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Rodion
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 | Beitrag No.5, eingetragen 2003-04-11
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Das Ergebnis von a) ist ja recht witzig, wenn ich richtig liege (habe es auch mit einem Programm gelöst).
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Eckard
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| Beitrag No.6, eingetragen 2003-04-11
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@Rodion: Ich kann mir denken, was du mit witzig meinst. Aber es muss auch so sein :-)
Gruß Eckard
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Martin_Infinite
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| Beitrag No.7, eingetragen 2003-04-11
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Ich bin ja nicht so ein Programmierer - Ich habe mir nur ein
Maple-Tutorial angesehen (for- und if-Syntax kannte ich alles nicht)
und habe dann stumpf das ganze Quadrat [-r,r,-r,r] angegrast.
Aber das war nur ein Test mit r=100. Nun rechnet Maple schon
zwei Stunden lang an r=10000, wer weiß wie lange noch....Jahre?
Hmmm - Habt ihr selbst in C++ was prgrammiert oder so?
(Könnte ich niemals)
...edit:
Wow! Die Zahl ist echt überraschend! Man teile sie mal
durch 100.000.000 ! Sie spiegelt genau das wieder, wo wir uns
die ganze Zeit bei der Rechnung befinden. 
Aber so genau kommt's nicht hin, oder? Nur so n bisschen, oder?
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[ Nachricht wurde editiert von Martin_Infinite am 2003-04-11 14:04 ]
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Plex_Inphinity
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 | Beitrag No.8, eingetragen 2003-04-11
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Ich habe eine Formel für f hergeleitet:
f(r) = 4*sum((sqrt(r^2-(i+1/2)^2)+1/2),i=0,r-1)
Der Ausdruck über den summiert wird muß dabei aber jeweils abgerundet werden (untere Gaußklammer, geht das mit fed?).
Die Formel müßte für alle Mittelpunkte (x0,y0) ¹ (m+1/2,n+1/2) gelten.
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Martin_Infinite
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| Beitrag No.9, eingetragen 2003-04-11
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Ich bin begeistert, dass diese Formel für r=10000 genau die Zahl ausgibt.
Aber für andere Radien kommt da was falsches raus.
Hast du es mal mit r=10 probiert?
Da muss 79 rauskommen, mit deiner Formel aber 316.
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Rodion
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| Beitrag No.10, eingetragen 2003-04-11
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Ich habe für r=10 aber auch 316. Wie bist du auf 79 gekommen?
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Martin_Infinite
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| Beitrag No.11, eingetragen 2003-04-11
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Arhgh!
79*4=316
Ich vergesse den Viertelkreis immer...
Ok - Wir haben das Gleiche.
Nun interessiert mich umso mehr, wie Plex auf diese Darstellung kommt.
(Man sieht ja damit sofort, was für ein Satz man braucht )
@Plex:
Dafür kann man auch schreiben
sum(floor(sqrt(r^2-(i+1/2)^2)+1/2),k=0,r-1)
[ Nachricht wurde editiert von Martin_Infinite am 2003-04-11 22:19 ]
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Rodion
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| Beitrag No.12, eingetragen 2003-04-11
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Aber gibt die Formel nicht nur Werte für r Î IN? Ich denke, daß man das so nicht in Aufgabenteil b) verwenden kann.
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Plex_Inphinity
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| Beitrag No.13, eingetragen 2003-04-11
|
Ja das kann sein, dass die Formel nur für r Î IN gilt und ich glaube sie gilt auch doch nur für ganzzahlige Mittelpunkte. Bin mir im Moment nicht so sicher.
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Plex_Inphinity
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| Beitrag No.14, eingetragen 2003-04-12
|
Der Ausdruck
lim(\e->0,f(r)-f(r-\e))
ist doch im Grunde gleich der Anzahl der Gitterpunkte, die auf dem Kreis(also nur auf der Kreislinie) mit dem Radius r liegen.
Wenn e gegen 0 geht, dann nähert sich der innere Kreis immer weiter dem äußeren an und verschlingt somit alle anderen Punkte im Inneren des Äußeren Kreises, außer den Punkten, die auf der Kreislinie selbst liegen.
Man muß also ein r finden, so dass möglichst viele Gitterpunkte auf dem Kreis liegen.
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Martin_Infinite
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Dabei seit: 15.12.2002
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| Beitrag No.15, eingetragen 2003-04-12
|
Also ein r wofür |floor(ai)-ai| möglichst klein ist, wobei
a_i=sqrt(r^2-(i+1/2)^2)+1/2
oder?
So langsam bin ich auch von alleine auf die Reihe gekommen.
(oh - zweideutig, *lol*)
Nun frage ich dich: Hast du einen Beweis für diese Reihe
oder konntest du sie dir nur 'anschaulich' und 'unmathematisch'
herleiten?
(will nich wissen wie, sondern welches von jenen Möglichkeiten)
Ich konnte lediglich letzteres ..
Da hast du mir aber echt was gelehrt: Bevor man 3 Stunden
einen PC damit beschäftigt, eine Zahl zu berechnen, sollte man lieber
vorher, denn man hat ja die Fähigkeit als mathematisch Ambitionierter,
seinen Kopf anstrengen. Jaja - Habe ich bestimmt schon vorher gewusst,
bloß daran wird es wieder deutlich........auch was Mathematik ist.
(naja, mit der Reihe kann man auch einen PC ne Zeit lang beschäftigen)
tztztzzz - diese Ironie so spät noch! tztztzz
Bitte um Antwort - Danke
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[ Nachricht wurde editiert von Martin_Infinite am 2003-04-12 01:02 ]
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Plex_Inphinity
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Dabei seit: 01.05.2002
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| Beitrag No.16, eingetragen 2003-04-12
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Ich hab mal folgenden Ansatz versucht für b):
x = sqrt(2)+sin(\a)*r
y = sqrt(3)+cos(\a)*r
beschreibt einen Kreis mit dem Mittelpunkt (sqrt(2) , sqrt(3) ) und dem Radius r.
Nun setze ich für x und y die Gitterpunkte ein, da ich wissen möchte wieviele Gitterpunkte maximal auf dem Kreis liegen können:
n+1/2 = sqrt(2)+sin(\a)*r
m+1/2 = sqrt(3)+cos(\a)*r
zieht man nun die 2. Gleichung von der 1. ab erhält man:
n-m = sqrt(2)-sqrt(3)+r(sin(\a)-cos(\a))
Dabei gilt:
\|sin(\a)-cos(\a)\| < 2
Die Frage ist nun für maximal wieviele unterschiedliche a mit 0 £ a < 2p die rechte Seite der Gleichung mit einem entsprechenden r eine ganze Zahl sein kann.
Für jedes dieser a gibt es dann einen Gitterpunkt, der auf dem Kreis liegt.
@Martin:
Ich hab mir die Reihe mehr anschaulich hergeleitet, könnte sie theoretisch aber auch beweisen.
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Zahlenteufel
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 | Beitrag No.17, eingetragen 2003-04-12
|
Hi,
es ist:
1/4*((f(r)-1)/(r^2))=1-1/3+1/5-1/7+...
# Für r gegen unendlich erhält man:
1/4*((f(r)-1)/(r^2))=1/4*\p
Gruß
Zahlenteufel
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Martin_Infinite
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Dabei seit: 15.12.2002
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| Beitrag No.18, eingetragen 2003-04-12
|
Ich habe hier mal was zu a) geschrieben:Link
Mein lieber Zahlenteufel...
Ich habe vor 5 Minuten, also bevor ich dein Post lesen konnte,
die Konvergenz gegen Pi vermutet... Zufall...
Leider kann ich deinen Beweis nicht nachvollziehen...
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[ Nachricht wurde editiert von Martin_Infinite am 2003-04-12 22:35 ]
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Plex_Inphinity
Senior
Dabei seit: 01.05.2002
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| Beitrag No.19, eingetragen 2003-04-12
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Hä?
Kann mir das mal jemand erklären?
Was hat das nun mit
lim(\e->0,f(r)-f(r-\e))
zu tun?
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Zahlenteufel
Senior
Dabei seit: 14.07.2002
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| Beitrag No.20, eingetragen 2003-04-12
|
Hier, bei diesem Problem liegt der Mittelpunkt des Kreises und die Gitterpunkte versetzt. Wenn sie nicht versetzt liegen gilt folgende Summe:
f(r)=1+4*r+sum(floor(sqrt(r^2-(i+1/2)^2)),k=1,r)=1+4*sum((-1)^(k-1)( floor(r^2/(2*k-1))),k=1,r^2).
Schaut man hier scharf hin, erkennt man des Zusammenhang mit der Leibnitz-Reihe.
Ürbigens gibt es meines Wissens keine summenfreie Darstellung von f(r).
Gruß
Zahlenteufel
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Martin_Infinite
Senior
Dabei seit: 15.12.2002
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| Beitrag No.21, eingetragen 2003-04-12
|
Könntest du eine Herleitung posten? Denn ich weiß nicht, wie
du darauf kommst...
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Zahlenteufel
Senior
Dabei seit: 14.07.2002
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| Beitrag No.22, eingetragen 2003-04-12
|
Die Herleitung von was ? Der ersten Reihe ?
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Martin_Infinite
Senior
Dabei seit: 15.12.2002
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| Beitrag No.23, eingetragen 2003-04-12
|
Im letzten Post und in dem davor - da kann ich leider
nichts nachvollziehen... Geht das nur mir so?
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Zahlenteufel
Senior
Dabei seit: 14.07.2002
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| Beitrag No.24, eingetragen 2003-04-13
|
Verschiebt man die Gitterpunkte so, dass einer auf dem Urpsrung liegt,
dann liegt zumindest schonmal der Ursprung innerhalb des Kreises.
Geht man nun vom Ursprung aus eine halbe Einheit nach rechts, dann hat der Kreis hier die Höhe y=sqrt(r^2-(1/2)^2). Die Anzahl der Gitterpunkte in dieser Spalte ist so floor(y). Nun hat man aber r Gitterpunkte (wenn r eine natürliche Zahl) zwischen dem Urpsrung und (r|0). Nun gilt aber für jede Gitterreihe das selbe wie für erste, es gibt also f(r)=1+4*sum(floor(sqrt(r^2-(k+1/2)^2)),k=1,r Gitterpunkte.
Nun fehlen aber die Gitterpunkte auf den Teilachsen. Auf jeder Teilachse befinden sich r Gitterpunkte, zusammen also 4r.
Die gesamt Zahl der Gitterpunkte ist also: f(r)=1+4*r+sum(floor(sqrt(r^2-(i+1/2)^2)),k=1,r).
Damit ist auch Plex's Reihe hergeleitet.
Diese Reihe lässt sich umformen zu: f(r)=1+4*sum((-1)^(k-1)( floor(r^2/(2*k-1))),k=1,r^2).
Für r=2 erhält man also f(2)=1+4*(4-4/3+4/5-4/7)
.
Nun ist:
1/4*((f(2)-1)/(4))=1/4*((1+4*(4-4/3+4/5-4/7)-1)/4)=1/4*(4-4/3+4/5-4/7)=1-1/3+1/5-1/7
Das ist irgendwie schwierig zu erklären.
Gruß
Zahlenteufel
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Martin_Infinite
Senior
Dabei seit: 15.12.2002
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Wohnort: Münster
| Beitrag No.25, eingetragen 2003-04-13
|
Warum darfst du einfach die Punkte in den Ursprung verschieben?
Das hätte sofort zur Folge, dass alle Gitterpunkte ganzzahlige Koordinaten
haben, was der Aufgabenstellung widerspricht. Ich verstehe deine
Umformungen immer noch nicht... sie verwirren mich nur noch
mehr, weil meiner Meinung nach
1+4*sum(floor(sqrt(r^2-(k+1/2)^2)),k=1,r)+4r
nicht dasselbe wie
1+4*r+sum(floor(sqrt(r^2-(k+1/2)^2)),k=1,r)
Und das entspricht ja auch nicht, wie du jedoch sagtest, Plex's Reihe.
Nun - viele haben schon f(10000)=314159388 berechnet.
Siehe HIER
Eigenartigerweise scheint f(r)/r2 gegen p zu konvergieren.
Plex hat im Chat noch darauf hingewiesen, dass die Kreisfläche
pr² ist und wenn man den Grenzwert einsetzt, erhält man, dass für r->¥
die Anzahl der Gitterpunkte der Kreisfläche entspricht!!!
Nun zu b)
Offensichtlich ist die maximale Anzahl der Gitterpunkte gesucht,
die auf dem Kreis liegen. Plex hat wahrscheinlich schon einen
guten Ansatz (siehe oben).
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Zahlenteufel
Senior
Dabei seit: 14.07.2002
Mitteilungen: 1096
Wohnort: Essen
| Beitrag No.26, eingetragen 2003-04-13
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Wenn die Gitterpunkte so verschoben werden, dass ein Punkt im Ursprung liegt und auch der Mittelpunkt des Kreises dort liegt, dann gilt:
lim(r->\inf,((f(r)-1)/(r^2))=\p
Das hat nichts mit der Aufgabe zu tun, sondern soll nur Konvergenz erklären.
Du hast natürlich recht, die beiden Reihen in deinem Post sind nicht gleich. Ich habe bei der unteren das "mal vier" (wegen dem Viertelkreis ) vergessen. Es muss heißen:
1+4*r+4*sum(floor(sqrt(r^2-(k+1/2)^2)),k=1,r)
Die Reihe ist nicht identisch zu der Reihe von Plex. Die Reihen gehen aber auseinander hervor.
Gruß
Zahlenteufel
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Eckard
Senior 
Dabei seit: 14.10.2002
Mitteilungen: 6828
Wohnort: Magdeburg
| Beitrag No.27, eingetragen 2003-04-13
|
Hi Leute,
kann bei (a) f(10000) = 314.159.388 bestätigen (per C-Programm ausgezählt). Stimme mit Plex überein, dass bei (b) diejenige Kreisperipherie gesucht ist, die möglichst viele Gitterpunkte enthält (und dass hier nicht r=10000 gemeint ist). Muss mir aber den ganzen thread noch einmal genau durchlesen. Bis dann,
Gruß Eckard
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Rodion
Senior
Dabei seit: 29.10.2002
Mitteilungen: 2050
| Beitrag No.28, eingetragen 2003-04-14
|
Mir ist gerade ein Einfall zu b) gekommen, ich muß aber gleich weg,
daher nur kurz die unüberdachte Skizze.
Angenommen, es gibt 2 Punkte, (x, y) und (a, b), die beide auf dem
Kreisrand mit Radius r liegen. Nach Definition gilt dann:
sqrt((x-sqrt(2))^2+(y-sqrt(3))^2) = sqrt((a-sqrt(2))^2+(b-sqrt(3))^2)
\stopalign<=> (x-sqrt(2))^2+(y-sqrt(3))^2 = (a-sqrt(2))^2+(b-sqrt(3))^2
<=> -x^2 +2*sqrt(2)*x -y^2 + 2*sqrt(3)*y + a^2 - 2*sqrt(2)*a +b^2 -2*sqrt(3)*b = 0
Nun\ \sind\ x,\ y,\ a,\ b\ \alle\ \rational,\ \also\ \muß\ \gelten:
(-x^2-y^2+a^2+b^2) = 0
2*sqrt(2)*(x-a) = 0
2*sqrt(3)*(y-b) = 0
Aus den letzten beiden Formeln folgt aber x=a und y=b, also sind die
Punkte identisch. Es kann also hächstens ein Punkt auf dem Kreisrand
liegen.
[ Nachricht wurde editiert von Rodion am 2003-04-14
19:56 ]
[ Nachricht wurde editiert von Rodion am 2003-04-14
20:59 ]
[ Nachricht wurde editiert von Rodion am 2003-04-14 21:04 ]
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Plex_Inphinity
Senior
Dabei seit: 01.05.2002
Mitteilungen: 3601
| Beitrag No.29, eingetragen 2003-04-14
|
Das ist es ! Bravo Rodion , du hast dich nur bei der letzten Gleichung vertippt, wahrscheinlich meintest du
2*sqrt(3)*(y-b) = 0
aber ansonsten finde ich das ganze einleuchtend. Super !
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Martin_Infinite
Senior
Dabei seit: 15.12.2002
Mitteilungen: 39133
Wohnort: Münster
| Beitrag No.30, eingetragen 2003-04-14
|
Ich finde ihn leider nicht einleuchtend.
Warum sind a,b,x und y rational?
Ach - Geistesblitz - wegen der Gitterpunkte ???
Aber die Kreisfunktion ist doch in dem Sinne keine Funktion :|
Also damit will ich sagen, dass es dann doch 4 Punkte sind, oder?
Auf jeden Viertelkreis einer?
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Plex_Inphinity
Senior
Dabei seit: 01.05.2002
Mitteilungen: 3601
| Beitrag No.31, eingetragen 2003-04-14
|
Hmm?
Spielt doch keine Rolle, ob das eine Funktion ist , oder nicht.
Für alle Punkte (x,y) , die auf dem Kreis liegen muß doch nach dem Satz des Pythagoras gelten:
(x-sqrt(2))^2+(y-sqrt(3)) = r^2
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Rodion
Senior
Dabei seit: 29.10.2002
Mitteilungen: 2050
| Beitrag No.32, eingetragen 2003-04-14
|
So, Fehler korrigiert, lag an einem fehlenden "*".
Tatsächlich ist es doch so, daß ein Punkt (x, y), x, y Î IR genau dann in einem Kreis mit Radius r
um den Punkt (x0, y0) liegt, wenn gilt:
(x-x_0)^2 + (y-y_0)^2 <= r^2
Der Punkt liegt genau auf dem Rand des Kreises, wenn gilt:
(x-x_0)^2 + (y-y_0)^2 = r^2
Ein Punkt im IR2 ist immer definiert durch
seine x- und seine y-Koordinate. 5 z.B. ist kein "Punkt" im
IR2, aber (5, 2) z.B. ist einer.
Unsere zu betrachtenden Punkte haben alle die Gestalt (x, y) = (n + 1/2, m + 1/2), n, m Î Z, also nur
rationale Punkte.
Und da setzt mein Beweis von oben an.
[ Nachricht wurde editiert von Rodion am 2003-04-14 20:03 ]
[ Nachricht wurde editiert von Rodion am 2003-04-14 21:06 ]
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Martin_Infinite
Senior
Dabei seit: 15.12.2002
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Wohnort: Münster
|  Beitrag No.33, eingetragen 2003-04-14
|
Ok - Das war ja mein Geistesblitz ;-) .
Dein Ansatz ist schon super :-)
Nun, wegen der Symmetrie eines Kreises muss es jedoch
mehr als einen Punkt geben.
Was kann man da noch gegen sagen? :-(
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Rodion
Senior
Dabei seit: 29.10.2002
Mitteilungen: 2050
| Beitrag No.34, eingetragen 2003-04-14
|
Nein, das hat mit der Symmetrie gar nichts zu tun. Mal doch mal einen
Kreis um den relevanten Punkt, der durch den Punkt (1, 1) geht und du wirst sehen, daß es der Einzige ist.
Symmetrisch wäre das Ganze nur, wenn mein Mittelpunkt ein Punkt des Gitters wäre!
[ Nachricht wurde editiert von Rodion am 2003-04-14 21:06 ]
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Martin_Infinite
Senior
Dabei seit: 15.12.2002
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Wohnort: Münster
| Beitrag No.35, eingetragen 2003-04-14
|
Achjaaaa! Hehe - ok.
Eins verstehe ich noch nicht - Warum darfst du einfach die irrationalen
Terme wegschreiben? Und ehrlich gesagt kann ich den Rest auch nicht
nachvollziehen. :-(
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[ Nachricht wurde editiert von Martin_Infinite am 2003-04-14 21:58 ]
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Plex_Inphinity
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Dabei seit: 01.05.2002
Mitteilungen: 3601
| Beitrag No.36, eingetragen 2003-04-14
|
Hallo Martin,
wie gesagt sind x,y,a und b ja rationale Zahlen.
Nun betrachte die Gleichung:
-x^2-y^2+a^2+b^2+2*sqrt(2)*(x-a)+2*sqrt(3)*(y-b) = 0
Wenn man rationale Zahlen multipliziert oder addiert bekommt man wieder ein rationales Ergebnis, also ist
-x^2-y^2+a^2+b^2
auch rational und
2*sqrt(2)*(x-a)+2*sqrt(3)*(y-b)
in jedem Fall irrational (außer für 0) , da sich die Wurzeln niemals wegkürzen lassen, weil (x-a) und (y-b) immer rational sind und "rational"*"irrational" = "irrational" und "irrational"+"irrational" = "irrational".
Aus diesem Grunde kann die Gleichheit:
-x^2-y^2+a^2+b^2 = -2*sqrt(2)*(x-a)-2*sqrt(3)*(y-b)
nur gelten, wenn beide Seiten gleich 0 sind.
Also erhalten wir
-x^2-y^2+a^2+b^2 = 0
und
-2*sqrt(2)*(x-a)-2*sqrt(3)*(y-b) = 0
Die Gleichung
-2*sqrt(2)*(x-a)=2*sqrt(3)*(y-b)
gilt aber wiederum nur, wenn beide Seiten 0 sind, weil
p*sqrt(2) != q*sqrt(3)
für alle rationale p,q Î Q mit p , q ¹ 0 gilt, denn die Wurzeln lassen sich nie wegkürzen.
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Martin_Infinite
Senior
Dabei seit: 15.12.2002
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Wohnort: Münster
| Beitrag No.37, eingetragen 2003-04-15
|
Danke für eure Geduld! ;-)
Jetzt habe ich's auch verstanden.
Ich frage mich noch, wie Rodion ohne Kommentar auf diese
Sachen so schnell kommt! Man sieht ja, wieviel man sich dabei noch
dazudenken muss, wenn man seine Lösung sieht. Spitze!
Also ist Problem 7 abgehakt?
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Eckard
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Dabei seit: 14.10.2002
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| Beitrag No.38, eingetragen 2003-04-15
|
Bravo Rodion und PlexI, ihr habt Teil (b) sauber nachgeweisen. Die 13 Punkte sollten uns gehören.
Gruß Eckard
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Rodion
Senior
Dabei seit: 29.10.2002
Mitteilungen: 2050
| Beitrag No.39, eingetragen 2003-04-16
|
Man beachte auch: Würde man statt der Punkte (m+1/2, n+1/2) beliebige Punkte (q, p) mit q, p Î IQ betrachten, so bliebe mein Beweis trotzdem korrekt.
Obwohl also die Ebene "dicht" punktiert ist, liegt trotzdem nur höchstens ein rationaler Punkt auf dem Kreisring mit Radius r, r Î IR, um (Ö2, Ö3).
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