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 Problem 9 |
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Toaster
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 |  Themenstart: 2003-04-10
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murmelbaerchen
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 | Beitrag No.1, eingetragen 2003-04-10
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....und die Murmelbärchen rennen wieder.... ;-)
Viel Erfolg @Toaster
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Friedel
Wenig Aktiv
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 | Beitrag No.2, eingetragen 2003-04-10
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Dass immer die Männer den Weibern nachrennen müssen...
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buh
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 | Beitrag No.3, eingetragen 2003-04-10
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Es sieht nach der Kurve des dummen Hundes aus, der immer die Schnauze zum Hasen hält.
Gruß von buh
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buh
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| Beitrag No.4, eingetragen 2003-04-10
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Also die Kurve ist wohl eine Traktrix, und der Vorgang
ist hier javaisiert.
Gruß von buh
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Eckard
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 | Beitrag No.5, eingetragen 2003-04-11
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Die Differentialgleichung habe ich schon, deren Lösung braucht etwas mehr Überlegung.
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Rodion
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 | Beitrag No.6, eingetragen 2003-04-11
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Die resultierende Differentialgleichung ist nur numerisch, nicht analytisch lösbar!
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Eckard
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| Beitrag No.7, eingetragen 2003-04-11
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Bist du dir sicher, Rodion? Es gibt in der Literatur analytische Ausdrücke für die Schleppkurve für den Fall v1 = v2 = 1. Ich glaube nicht, dass Toaster auf eine numerische Lösung abzielt. Wenn wir die analytische Lösung nicht finden, können wir allerdings immer noch mit der Numerik-Kanone schießen.
Gruß Eckard
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Eckard
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| Beitrag No.8, eingetragen 2003-04-13
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Huch, noch keiner weitergekommen? Ich auch nicht :-( Es wird aber noch, Toaster, freu dich nicht zu früh :-)
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Rodion
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| Beitrag No.9, eingetragen 2003-04-13
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Ich muß gestehen, daß ich mich noch gar nicht wirklich mit dem Problem beschäftigt habe. Wir haben nur gerade in einer Vorlesung dieselbe Aufgabe mit dem Unterschied, daß das Weibchen in 0 startet und die dort entstehende Differentialgleichung ist nur numerisch lösbar.
Kann sein, daß der Startpunkt -1 alles ändert.
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Rodion
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| Beitrag No.10, eingetragen 2003-04-13
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[EDIT]Hier stand mal eine Skizze, die aber blödsinnig war, da ich nicht in der Lage bin, die Gleichung
v_1/v_2 = 2
nach v1 aufzulösen![/EDIT]
[ Nachricht wurde editiert von Rodion am 2003-04-13 17:54 ]
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Rodion
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| Beitrag No.11, eingetragen 2003-04-13
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Und hier ist sie wieder: Die neue Skizze!!!
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Eckard
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| Beitrag No.12, eingetragen 2003-04-14
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Hi Rodion,
da wir anscheinend die beiden Einzigen sind, die diese Aufgabe rechnerisch angehen, müssen wir hier noch etwas ranklotzen, damit die Punkte uns gehören.
Ach, da fällt mir ein, Spock wollte noch mitmachen: Jürgen hilf bitte!
Ich poste mal meine DGL'en: Dabei sind x(t), y(t) die Ortsfunktionen des Männchens, die des Weibchens sind ja x_w(t) = x0 + v1 t und y_w(t) = 0:
dx/dt = (x0 + v1*t - x) / sqrt((x0 + v1*t - x)^2 + y^2) * v2,
dy/dt = - y / sqrt((x0 + v1*t - x)^2 + y^2) * v2.
Man könnte nun beide Gleichungen "durcheinander" dividieren, dann wäre zwar die häßliche Wurzel weg
dy/dx = -y / (x0 + v1*t - x),
aber die Zeit stünde explizit noch drin. ==> ???
Wie löst man dieses DGL-System?
Andere Frage: Ist es so, dass der Abstand zwischen beiden linear wächst?
Gruß Eckard
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Eckard
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| Beitrag No.13, eingetragen 2003-04-14
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Teil (b) lässt sich ja zur Not noch rein numerisch bestimmen. Dazu braucht man die obigen DGLen nur mit dem Eulerschen Polygonzugverfahren integrieren (oder nach einem Verfahren höherer Ordnung). Das habe ich mal gemacht.
Das nachfolgende Bild zeigt die Schleppkurven für unterschiedliche Verhältnisse v1/v2.
Man sieht, dass nur für v1 ≥ v2 die x-Achse eine Asymptote ist, für kleinere Verhältnisse kriegt das Männchen natürlich das Weibchen :-) Und zwar um so eher, je kleiner v1/v2. Ich schätze mal, dass v1/v2 ein wenig kleiner als 1 ist. Genaueres hoffentlich bald.
Gruß Eckard
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Eckard
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| Beitrag No.14, eingetragen 2003-04-14
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Habe jetzt per Einschachtelung (nicht sehr elegant, aber wen interessiert das?) ein Verhältnis von
v1/v2 = 0.847127
heraus (schlichtes Euler-Verfahren mit dt = 10^(-8)). Kann das aber noch einmal mit einem Verfahren höherer Ordnung rechnen.
Leider nützt das alles gar nichts, wenn wir Teil (a) nicht schaffen. Damit müsste sich dieses Ergebnis natürlich viel eleganter ergeben, was eine doppelte Absicherung wäre.
Gruß Eckard
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Rodion
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| Beitrag No.15, eingetragen 2003-04-14
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Löst man dy/dt= ... nach t auf und setzt das in dx/dt= ... ein, so erhält man:
dx/dt = -sqrt(v_2^2-(dy/dt)^2)
[ Nachricht wurde editiert von Rodion am 2003-04-14 15:22 ]
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Eckard
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| Beitrag No.16, eingetragen 2003-04-14
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Hi Rodion,
das ist zwar richtig, aber auch trivial, oder? Denn v2^2 ist ja gerade definiert als (dx/dt)^2 + (dy/dt)^2. Bringt das jetzt noch mal etwas? Ich muss es mir erst noch ansehen...
Gruß Eckard
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Rodion
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| Beitrag No.17, eingetragen 2003-04-14
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Spock
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Dabei seit: 25.04.2002
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 | Beitrag No.18, eingetragen 2003-04-14
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Hallo Eckard,
sorry bin noch nicht dazu gekommen, zu überlegen, warum die Männchen immer den Weibchen hinterher rennen müssen (tun sie das wirklich?) :-)
Beim ersten Hingucken ist mir aufgefallen, daß in Deiner DGL die Grösse y0 nicht vorkommt, kann das sein?
Gruss und der Vorsatz mir das heute abend mal anzuschauen...
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Rodion
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| Beitrag No.19, eingetragen 2003-04-14
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Ich überlege die ganze Zeit, ob Toaster wirklich Differentialgleichungen im Sinn hatte, als er diese Aufgabe stellte.
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viertel
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Dabei seit: 04.03.2003
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 | Beitrag No.20, eingetragen 2003-04-15
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Hallo ihr Tüftler,
in dem Zusammenhang geistern einige Begriffe rum, die in einem Topf gelandet sind, obwohl sie unterschiedliches bedeuten. Es sind wohl beides Verfolgerkurven, aber mit unterschiedlichen Randbedingungen:
Traktrix: bei der Schleppkurve ist der Abstand von Verfolger und Verfolgtem konstant, Bsp. Taschenuhr wird an der Kette über den Tisch gezogen.
Hundekurve: dabei hält der Verfolger immer in Richtung des Verfolgten, egal, wie der versucht auszuweichen.
Eine schöne Arbeit dazu findet sich hier.
Aber richtig interessant ist doch diese Seite hier.
DGL's waren noch nie meine Stärke (noch nicht mal meine Schwäche), daher halte ich mich weiteren Posts zu diesem Thema zurück.
Dietmar
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Spock
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| Beitrag No.21, eingetragen 2003-04-15
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Hallo
ohne es bis jetzt durchgerechnet zu haben, aber eine analytische Lösung ist wahrscheinlich möglich. Ich gehe mal davon aus, daß Eckards aufgestellte DGL richtig ist. Dann sollte die Substitution
z(t) := x0 + v1*t - x(t)
mit ein wenig Umformungskosmetik zum Ziel führen.
Wieviel Zeit habt ihr noch bis Lösungsabgabe?
Gruss
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[ Nachricht wurde editiert von Spock am 2003-04-15 10:16 ]
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Eckard
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| Beitrag No.22, eingetragen 2003-04-15
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Hi,
schön, dass ihr mit dranbleibt.
@Dietmar: Dein zweiter angegebener Link ist Gold wert! Dort steht einige Seiten weiter auch das DGL-System, was mit meinem übereinstimmt. Und noch eine Seite weiter die Lösung; werde sie gleich überprüfen.
@Spock: Das (x0, y0) taucht nur in den Anfangsbedingungen auf, nicht in der DGL, was wohl OK ist. Werde die von dir vorgeschlagene Substitution mal probieren. Zeit haben wir noch bis Ostersonntag früh. Das sollte reichen, Toaster noch die letzten Punkte zu rauben ;-)
Gruß Eckard
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Spock
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| Beitrag No.23, eingetragen 2003-04-15
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Hallo Eckard,
vorsicht, die Lösung der DGL im Link ist nur eine Näherungslösung und auch nur für den Fall, daß das Männchen schneller läuft.
Toaster möge mir verzeihen, daß ich mich eingemischt habe, ich hab meine Substitution jetzt durchgerechnet, es geht tatsächlich.
Gruss
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Eckard
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| Beitrag No.24, eingetragen 2003-04-15
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Hallo Jürgen,
ich kriege es im Moment einfach nicht gebacken. Wenn du Zeit hast, poste mal etwas mehr zu deinen Rechnungen. Ich bekomme immer nur drei Differentiale dx, dy und dt (oder dz, dy und dt), nie nur zwei. *grummel*
Viele Grüße Eckard
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Spock
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| Beitrag No.25, eingetragen 2003-04-15
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Hallo Eckard,
nun hast Du es doch geschafft, ich "challenge"
Ausgangspunkt sind Deine DGL's, die das Problem (Männchen folgt Weibchen ohne Kette) richtig beschreiben, und die ich hier noch einmal zusammenfasse
(1a): dx/dt = v2*(x0 + v1*t - x(t)) / sqrt[(x0 + v1*t - x(t))^2 + y(t)^2]
(1b): dy/dt = - v2*y(t) / sqrt([(x0 + v1*t - x(t))^2 + y(t)^2]
Zu einer (zunächst formalen) Lösung dieses gekoppelten DGL-Systems kommt man mit Hilfe der folgenden Substitution ( die physikalische Begründung folgt später)
(2): z(t) := x0 + v1*t - x(t)
Differentiation von (2) nach dem Zeitparameter t liefert sofort
(3): dz/dt = v1 - dx/dt => dx/dt = v1 - dz/dt,
und aus (1) wird
(4a): dz/dt = v1 - v2*z/sqrt[z² + y²]
(4b): dy/dt = -v2*y/sqrt[z² + y²]
Dividiert man jetzt die linke und die rechte Seite von (4a) durch die entsprechende Seite von (4b) erhält man mit der schon erwähnten Kosmetik
(5): dz/dy = z/y - (v1/v2)*sqrt[1 + (z/y)²]
Völlig "losgelöst" von der Zeit t führt man (5) mit Hilfe der Substitution
(6): u(y) := z/y
über in die DGL
(7): du/dy = -(v1/v2)*(1/y)*sqrt[1+u²] ,
welche sich mit der Methode der Separation der Variablen lösen läßt.
Hier erst einmal eine Pause und Zeit für Fragen?
Gruss
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[ Nachricht wurde editiert von Spock am 2003-04-16 13:35 ]
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Eckard
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| Beitrag No.26, eingetragen 2003-04-16
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Super Jürgen!!! Keine weiteren Fragen, nur die: "Warum bin ich nicht so weit gekommen?", aber egal :-)
Ich mach mal weiter mit der der Trennung der Veränderlichen:
(8): du / sqrt(1 + u^2) = -(v1/v2) dy / y.
Zur Integration brauchen wir die Anfangswerte y(0) = 1, x(0) = 0 (Männchen!), z(0) = x0 (= -1) und u(0) = x0 (= -1), also
(9): int_{-1}^u du / sqrt(1+u^2) = -(v1/v2) int_1^y dy / y.
Das Integral auf der linken Seite ist [arsinh(u) - (-ln(1+sqrt(2))], das auf der rechten -(v1/v2) ln y, somit gilt:
(10): arsinh(u) = -(v1/v2) ln y - ln(1+sqrt(2)).
BTW: Für die "Standard"-Aufgabe mit x0 = 0 würde der zweite Summand auf der rechten Seite verschwinden.
Jetzt sinh(...) auf beiden Seiten (sinh(a) ist eine ungerade Funktion):
(11): u = z/y = -sinh[(v1/v2) ln y + ln(1+sqrt(2))],
(12): x0 + v1*t - x = -y sinh[...]
und schließlich
(13): x = x0 + v1*t + y*sinh[(v1/v2) ln y + ln(1+sqrt(2))].
Im Prinzip wäre die Aufgabe (a) damit gelöst, wenn nicht v1*t hier drin stünde. Denn erstens hängt dieses Ergebnis von v1 explizit ab (und nicht nur von v1/v2) und zweitens ist der Parameter t noch nicht eliminiert.
Lieber Jürgen, stimmst du so weit überein?
Ich werde das Ganze mal mit der numerischen Simulation vergleichen, ob beide dasselbe Resultat liefern. Sicher kann man den sinh[...]-Ausdruck auch noch etwas vereinfachen oder umschreiben.
Gruß Eckard
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Spock
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| Beitrag No.27, eingetragen 2003-04-17
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Hallo Eckard, Rodion,
sollte ich unbeabsichtigt ins challenge-Fieber verfallen, gebt mir rechtzeitig Bescheid, ja?
Was mich im Moment noch beschäftigt, ist die scheinbare Diskrepanz zwischen der rein mathematischen und der möglichen physikalischen Lösung, aber der Reihe nach:
Zunächst eine physikalische Begründung für die durch Gl. (2),
(2): z(t) := x0 + v1*t - x(t)
gemachte Substitution:
Man kann z als zeitunabhängige (parameterfreie) Variable auffassen. Sie ist anschaulich der auf die x-Achse projizierte Abstand zwischen dem Männchen und dem Weibchen, oder anders formuliert bedeutet (2) eine Koordinatentransformation ins bewegte System des Weibchens. Und diese Trafo ist sicher realitätsnahe, ist doch das Weibchen aus seiner Sicht daran interessiert, daß das Männchen ihr folgt? Eine in der Aufgabenstellung verlangte "parameterfreie" Darstellung der Bahn des Männchens wäre dann z.B. die Funktion y(z) oder z(y), die sich wie folgt finden lässt:
Ausgehend von der Substitution
(6): u(y) := z/y
gehen Eckards DGLn, wie oben schon gezeigt über in
(7): du/dy = -(v1/v2)*(1/y)*sqrt[1+u²].
Separation der Variablen, Integration und Rücksubstitution liefert, mit der abkürzenden Schreibweise
(8): k := v1/v2
das Ergebnis
(9): z(y) = (1/2)*[C/yk - (1/C)*yk]*y
Die Konstante C ist bei Toasters Aufgabe durch die Randbedingung
(10): z(y0) = x0
festgelegt.
Damit wäre die Aufgabe gelöst (?), jedoch stört mich bei der (mathematischen) Lösung (9) der physikalisch mögliche Fall y = 0, der offenbar Probleme bereitet.
Ich stell das jetzt erst mal zur Diskussion, und vielleicht hat ja noch jemand eine Idee?
Gruss und Spass
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[ Nachricht wurde editiert von Spock am 2003-04-17 20:20 ]
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Eckard
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| Beitrag No.28, eingetragen 2003-04-19
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Danke Jürgen, dass du "mitgechallenged" hast. Du bist der Joker diesmal. Ich komme heute nicht mehr dazu, das noch durchzurechnen, und morgen um 9 Uhr ist eh' Schluss. Nun bin ich mal gespannt, was der gute Toaster dazu sagt.
Gruß Eckard
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Toaster
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| Beitrag No.29, vom Themenstarter, eingetragen 2003-04-20
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Wem gehören jetzt die 17 Eier?
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Eckard
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| Beitrag No.30, eingetragen 2003-04-20
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Das muss ich mir erst mal in Ruhe reinziehen ...
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