| Autor |
  Streng monotone Lösung der DGL |
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matheg
Ehemals Aktiv 
Dabei seit: 21.11.2005
Mitteilungen: 381
Wohnort: Kassel
 |  Themenstart: 2006-09-03
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Hallo!
Ich komme bei der folgenden Aufgabe nicht weiter:
Zeigen Sie, dass die DGL
y''' + 3y'' +4y = 0 eine streng monotone Lösung \phi: \IR -> \IR besitzt.
Also ich habe keine Ahnung wie ich da rangehen soll, das Fundamentalsystem kann man ohne
Maple und co. nicht ausrechnen, wie man das aber ohne das Fundamentalsystem zeigen soll bleibt mir ein Rätsel.
Für ein paar Anregungen wäre ich dankbar.
Gruss
matheg
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Radix
Senior 
Dabei seit: 20.10.2003
Mitteilungen: 6438
Wohnort: Wien
 | Beitrag No.1, eingetragen 2006-09-03
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Hallo Matheg!
Das hört sich zunächst sehr schwer an, aber das Zauberwort heißt:
Zeigen Sie, dass die DGL eine monotone Lösung besitzt.
Daher brauchst du nur eine einzige reelle Nullstelle des charakteristischen Polynoms, und auch von ihr nicht den genauen Wert, sondern nur ihre Existenz.
Gruß,
Radix
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matheg
Ehemals Aktiv
Dabei seit: 21.11.2005
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Wohnort: Kassel
| Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2006-09-03
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Hi Radix!
Stimmt, man braucht in diesem Fall den Zwischenwertsatz und zwei Stellen zwischen denen das charakteristische Polynom der DGL ein
Vorzeichenwechsel hat.
Gruss
matheg
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Radix
Senior
Dabei seit: 20.10.2003
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Wohnort: Wien
| Beitrag No.3, eingetragen 2006-09-03
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Ja, das ist eine (gute) Möglichkeit. Die andere wäre, dass Polynome ungeraden Grades prinzipiell immer mindestens eine Nullstelle haben.
Gruß,
Radix
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fru
Senior 
Dabei seit: 03.01.2005
Mitteilungen: 21456
Wohnort: Wien
 | Beitrag No.4, eingetragen 2006-09-03
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2006-09-03 12:44: matheg schreibt:
..das Fundamentalsystem kann man ohne Maple und co. nicht ausrechnen..
Hi matheg !
Dem muß ich energisch widersprechen !
Alles, was "Maple und co." berechen kann
(und einiges mehr !),
kann man auch ohne diese Hilfe berechen.
Die einzige Einschränkung wäre:
Manches allerdings nur, wenn man lange genug lebt  .
Aber sie hier natürlich nicht nötig  .
Liebe Grüße, Franz
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Dr_Sonnhard_Graubner
Senior 
Dabei seit: 06.08.2003
Mitteilungen: 29301
Wohnort: Sachsen
 | Beitrag No.5, eingetragen 2006-09-03
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Hallo, bei mir ist das charakteristische Polynom
\lambda^3+3*\lambda^2+4.
Viele Grüße,Sonnhard.
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matheg
Ehemals Aktiv
Dabei seit: 21.11.2005
Mitteilungen: 381
Wohnort: Kassel
| Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2006-09-03
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Hi!
@Franz, ja so gesehen hast du Recht ;)
@Sonnhard, das charakteristische Polynom kann ich ja auch ausrechnen, seine Nullstellen zu berehnen ist das Problem, aber das muss man in dieser Aufgabe gar nicht, es genügt zu zeigen dass dass CP eine Nullstelle hat, in dem man zum Beispiel die Werte -4 und 0 einsetzt.
Mit dem ZWS gilt dann dass das CP mindestes eine Nullstelle hat.
Gruss
matheg
[ Nachricht wurde editiert von matheg am 03.09.2006 16:46:36 ]
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Dr_Sonnhard_Graubner
Senior
Dabei seit: 06.08.2003
Mitteilungen: 29301
Wohnort: Sachsen
| Beitrag No.7, eingetragen 2006-09-03
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Hallo, man sieht doch, dass \lambda=-1 eine Lösung ist.
Viele Grüße,Sonnhard.
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praeci
Senior
Dabei seit: 29.12.2005
Mitteilungen: 1194
Wohnort: Magdeburg, D
 | Beitrag No.8, eingetragen 2006-09-03
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Hi,
-1 ((-1)^2 <> -1) ist keine Lösung. Die reelle Nullstelle liegt bei irgendwas um -3.15 (nur mal schnell grafisch bestimmt).
--
EDIT: Typo korrigiert.
[ Nachricht wurde editiert von praeci am 03.09.2006 17:14:16 ]
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Dr_Sonnhard_Graubner
Senior
Dabei seit: 06.08.2003
Mitteilungen: 29301
Wohnort: Sachsen
| Beitrag No.9, eingetragen 2006-09-03
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Hallo praeci, stimmt, die ganzen Zahlen sind die schwierigsten.
-(3+2*sqrt(2))^(1/3)-1/(3+2*sqrt(2))^(1/3)-1,
1/2*(3+2*sqrt(2))^(1/3)+(2*(3+2*sqrt(2))^(1/3))-1+(1/2)*I*sqrt(3)*(-(3+2*sqrt(2))^(1/3)+1/(3+2*sqrt(2))^(1/3)),
1/2*(3+2*sqrt(2))^(1/3)+(2*(3+2*sqrt(2))^(1/3))-1-(1/2)*I*sqrt(3)*(-(3+2*sqrt(2))^(1/3)+1/(3+2*sqrt(2))^(1/3)).
Dies sollten die Lösungen sein.
Viele Grüße,Sonnhard.
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matheg
Ehemals Aktiv
Dabei seit: 21.11.2005
Mitteilungen: 381
Wohnort: Kassel
| Beitrag No.10, vom Themenstarter, eingetragen 2006-09-03
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Ja die Lösungen hab ich auch mit Maple rausbekommen!
Gruss
matheg
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Martin_Infinite
Senior
Dabei seit: 15.12.2002
Mitteilungen: 39133
Wohnort: Münster
 | Beitrag No.11, eingetragen 2006-09-06
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@Sonnhard: Gut recherchierte und vereinfachte Lösung! 
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