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  Evjen Methode |
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mounir
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 |  Themenstart: 2006-11-09
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Ich habe folgende Aufgabe:
1. Zeichnen Sie die ersten Schalen einer linearen eindimensionalen Ionenkette mit zweiatomiger Basis.
Berechnen Sie α1, α2, α3, α4 und αM f¨ur diesen Fall.
2. Berechnen Sie α1 und α2 für den Fall des zweidimensionalen NaCl-Gitters, das einer (100)-Fläche
des NaCl-Kristalls entsteht, s. Abbildung. (Sollwert: αM ≈ 1.6155)
Kann mir vielleicht ersteinmal jemand die Evjen Methode erklären?
Gruss
mounir
[ Nachricht wurde editiert von mounir am 10.11.2006 16:43:53 ]
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Eckard
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Dabei seit: 14.10.2002
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 | Beitrag No.1, eingetragen 2006-11-09
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Hi mounir,
du hast dein Problem denkbar schlecht formuliert. Erstens hast du rein gar nichts zum Kontext der Aufgabe geschrieben. Woher soll einer wissen, dass mit den alphas Näherungen der Madelung-Konstante gemeint sind? Zweitens gibst du zwei verschiedene Eigennamen an: "Envjen" und "Evjen". Was ist nun richtig? Drittens gibt es google, wenn man etwas nicht weiß.
Dein Zug ... ;-)
Gruß Eckard
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mounir
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| Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2006-11-09
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Ja, hast ja recht. Evjen heist es richtigerweise. Die Post war eine Verzweiflungstat. Ich habe nat. gegoogelt nur nichts brauchbares gefunden. Alles was ich bisher darüber weiss, ist man konstruiert rechteckige Boxen (1d , danach 2d )um das Zentral-Ion herum und erzeugt somit neutrale Bereiche, deren Beitraege ( worin bestehen eigentlich die Beitraege? )in der Summe weniger stark anwachsen. Im Gegensatz zum Madelung-Verfahren, bei dem die Anzahl der Ionen schnell sehr groß wird ( bedingt durch die große (hmm was heisst hioer gross? ) Reichweite der Coulombkraft, konvergiert das Evjen Verfahren sehr schnell gegen die Mandelung Konstante. Aber das bringt mich rechentechnisch nicht wirklich weiter, oder?
Danke.
[ Nachricht wurde editiert von mounir am 09.11.2006 19:59:11 ]
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Eckard
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| Beitrag No.3, eingetragen 2006-11-09
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Doch, das funktioniert wunderbar. Du hast das sehr gut beschrieben, viel besser hätte ich das auch nicht gekonnt. Die alternative Methode wäre, die Eckionen nicht teilweise zu berücksichtigen, sondern ganz. Bei beiden Methoden sind es jedoch gleich viele Ionen, die in die Rechnung eingehen, von daher ist es egal.
Ich habe das vor Jahren einmal gerechnet, in 2D und 3D. Die C-Programme dazu habe ich noch irgendwo. Interessiert dich das?
Gruß Eckard
PS. Von wegen nichts Brauchbares gefunden: "evjen madelung"@google, 2. Seite 4. Link von oben: HU Berlin.
[ Nachricht wurde editiert von Eckard am 09.11.2006 20:04:05 ]
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mounir
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| Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2006-11-09
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Ich habe noch etwas gefunden:
Evjen.pdf
Schau mal bitte auf Seite 1 und 2.
Frage:
Wie kommen die p_ij zustande?
Wenn ich dass wüßte, könnte ich mir das Gebastel mit der Coulomb-WW ersparen?
Achso: Am C-Code bin interessiert... soll/darf ich meine email hier reinsetzen?
Gruss
Mounir
[ Nachricht wurde editiert von mounir am 09.11.2006 20:30:22 ]
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Eckard
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| Beitrag No.5, eingetragen 2006-11-09
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Hi Mounir,
da fehlt noch das "df" hinten am pdf, korrigiere das bitte noch (für die Nachwelt ...).
Ok, die p_ij sind die normierten Abstände zu den jeweils nächsten Nachbarn.
Hier findest du ein C-Programm, das damit rumspielt, keine Gewähr -> experimental code.
Gruß Eckard
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mounir
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| Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2006-11-09
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Eckard, ich hab's noch nicht kapiert... wie passen die Coulomb-WW in den neutralen Zonen zu den normierten Abständen, ist das äquivlent? Also wie kommt man überhaupt zu diesen normierten Abständen?
Ich finde eben nix , was mir das erklären könnte. Das meint ich mit nichts "Brauchbares" was das rechenerische angeht.
Jutti, danach las ich Dich wieder in Ruhe ;-)
Gruss + Danke
Mounir
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Eckard
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| Beitrag No.7, eingetragen 2006-11-09
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Hi Mounir,
wo ich helfen kann, helfe ich gern (und gerade dieses Zeug bringe ich schon seit Jahren Studenten bei ...).
Du weißt, dass das Coulomb-WW-Potential proportional zu 1/r ist. Was du bei der Madelung-Konstanten berechnen willst, ist ja gerade die Summe der Coulomb-Potentiale aller "Aufionen". Etwa so:
U=sum(z_(ij)|e^2/(4\pi|\e_0|r_(ij)^2),i!=j)
mit r_(ij)=r_0|p_(ij) und r_0 als halber Gitterkonstante (Abstand nächster Nachbarn)
-> hier tauchen die p_(ij) als normierte Abstände auf
und z_(ij)=(-1)^(i+j+k) als 3D\-Schachbrett\-Vorzeichen des NaCl\-Kristalls.
Das ist die unbrauchbare, weil mies konvergierende Methode. Evjens Methode zählt nur die Außenionen in den Ecken zu einem 1/8, auf den Außenkanten zu 1/4 und diejenigen auf den Außenflächen zu 1/2. Das ist das ganze Geheimnis.
Jetzt besser? Stelle ruhig weitere Fragen, ich helfe gern.
Gruß Eckard
PS: Aber ich bin dir zu großem Dank verpflichtet, weil ich bisher nicht wusste, das dieser Trick mit dem Namen "Evjen" verknüpft ist.
[ Nachricht wurde editiert von Eckard am 09.11.2006 21:11:29 ]
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mounir
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| Beitrag No.8, vom Themenstarter, eingetragen 2006-11-10
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Hi Eckard, den Dank werde ich an unseren Prof weitergeben :-D
Evjen Methode:
Man zeichnet eine Box um das negativen Zentral-Ion
( das ist das "-" in der Mitte ) so, dass der Bereich in der Box
elektr. neutral ist.
Anteile positiver Ionen haben in der Aufsummation positive Vorzeichen,
negative Ionen entspr. ein neg. Vorzeichen.
A) für eine lineare (1d) Ionenkette werden \alpha_1 bis \alpha_n berechnet
+ - + - + - +
Erste Box ergibt \alpha_1:
2 mal ein halbes positives Ion (links und rechts)
multipliziert mit dem Reziproken des normierten Abstands (in diesem Fall 1/1=1)
\alpha_1 = 2*1/2*1 = 1
Zweite Box um Box Nr.1 ergibt \alpha_2:
2 positive Ionen innerhalb der ersten Box (+ Vorz.) und
2 mal ein halbes negatives Ion am Rand der zweiten Box (- Vorz.)
jeweils multipliziert dem reziproken normierten Abstand
(in diesem Fall 1/1 und 1/2)
\alpha_2 = 2*1-2*1/2*1/2=2-1/2=3/2
Dritte Box um Box Nr.1 und 2 ergibt \alpha_3:
2 positive Ionen innerhalb der ersten Box und
2 negative Ionen innerhalb der zweiten Box und
2 mal ein halbes positive Ion am Rand der zweiten Box
jeweils multipliziert dem reziproken normierten Abstand
(in diesem Fall 1/1, 1/2 und 1/3)
\alpha_3 = 2*1-2*1/2+2*1/2*1/3=2-2/2+1/3=4/3
OK, das Ganze führt auf die Reihenentwicklung von
2*ln(2)
B) für ein 2d-Ionengitter werden \alpha_1 und \alpha_2 berechnet
- + - + -
+ - + - +
- + - + -
+ - + - +
- + - + -
Erste Box:
4 halbe positive Ionen im rez. Abstand 1/1
4 viertel negative Ionen im rez. Abstand 1/sqrt(2)
\alpha_1 = 4*1/2*1/1-4*1/4*1/sqrt(2) = 2-1/sqrt(2)
Zweite Box:
Aus der ersten Box stammen
4 ganze positive Ionen (rez. Abstand 1/1)
4 ganze negative Ionen (rez. Abstand 1/sqrt(2)
und dann kommen aus der 2. Boxen noch hinzu
4 halbe negative Ionen (rez. Abstand 1/2)
4 viertel negative Ionen (rez. Abstand 1/(2*sqrt(2))
8 halbe positive Ionen (rez. Abstand 1/sqrt(5))
\alpha_2=4*1-4*1/sqrt(2)-(4*1/2*1/2+4*1/4*1/(2*sqrt(2)))+8*1/2*1/sqrt(5)
\alpha_2 ungefähr 1,607 und das nach nur zwei Iterationen (Soll=1,6155)
[ Nachricht wurde editiert von mounir am 10.11.2006 20:02:32 ]
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