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| Autor |
 Kommutativgesetz -> Beweis (vollst.Induktion?) |
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Anonymous
Unregistrierter Benutzer
|  Themenstart: 2002-04-28
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Hi,
hier meine Frage,die ,mich schon länger beschäftigt:
Ist das Kommutativgesetz bei der Multiplikation (a*b=b*a)
nur durch die vollst. Induktion beweisbar? Habe das schonmal gepostet,
dann kamen Antworten (Danke nochmal dafür!!),die ich aber nicht
kapiert hab,weil sie zu mathematisch erklärt wurden.
Und wenn es nur durch vollst.Induktion beweisbar ist, sagt man
dann als Beweis "man sieht,daß es bei allen beliebeigen Faktoren so ist,deshalb ist das eben immer so"? Oder kann man das mit einem "echten Beweis",der eine echte Gesetzmäßigkeit in der Beziehung von beiden Faktoren zueinander (die ich nicht erkennen kann) darstellt,beweisen?
Wäre erleichtert wenn mir das mal einer erklärt.
Danke im Voraus!
Gruß Frank
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Ende
Senior 
Dabei seit: 15.03.2002
Mitteilungen: 2300
Wohnort: Kiel, Ostsee
 |  Beitrag No.1, eingetragen 2002-04-28
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Hi, Frank!
Dass Du eine mathematische Antwort auf eine mathematische Frage bekommst, ist schwierig zu vermeiden. 
Die Kommutativitaet einer Verknuepfung (Multiplikation) zeigt man nicht grundsaetzlich durch vollstaendige Induktion. Da gibt es, je nach konkreter Verknuepfung, auch andere Verfahren. Wenn Du mal ein Beispiel hast, mit dem Du Dich beschaeftigt hast, koennen wir das sicher mal durchgehen.
Gruss, E.
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blauklaus
Senior 
Dabei seit: 23.04.2002
Mitteilungen: 226
 | Beitrag No.2, eingetragen 2002-04-28
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da ich manche aspekte deiner frage nicht
verstehe, ein paar fragen zurueck:
was ist fuer dich die vollstaendige induktion?
warum ist die vollstaendige induktion
kein echter beweis?
was ist ein echter beweis?
fuer welche objekte soll denn das
kommutativgesetz bewiesen werden?
gruss b.
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Anonymous
Unregistrierter Benutzer
|  Beitrag No.3, vom Themenstarter, eingetragen 2002-04-28
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Danke für eure Antworten.
Also, die Induktion ist für mich insofern kein echter Beweis,
daß man keine generell gültige Gesetzmäßigkeit formuliert,
sondern nur daraus folgert, wenn etwas x mal so ist,
daß es dann auch immer so sein wird.
Das ist aber eher eine Ansichtssache,über die ich gar nicht diskutieren
will.
Eine richtige Erklärung für eine mathematische Gesetzmäßigkeit ist
für mich eine, die man wirklich versteht bzw die einem einleuchtet.
Am besten zu erklären ist das am Kommutativgesetz mit meinem
"Problem",was darin versteht,daß ich keine einleuchtende Erklärung
dafür finde, warum a*b=b*a, also warum man bei der multiplikation
die Faktoren vertauschen kann. Einleuchtend ist, daß man
die Summanden beim addieren vertauschen kann,weil eben
nur etwas zusammengezählt wird und es egal ist,was man
zu was addiert. Das ist beim multuiplizieren nicht gegeben;
mir leuchtet nicht ein warum ich die faktoren so einfach vertauschen
kann. Ich kann hier also nur mit der induktionj ansetzen,
also ich sehe,daß ich die faktoren bei beliebig vielen unterschiedlichen
Multiplikatzionen vertauschen kann und habe immer das jeweils gleiche Ergebnis. Oder wie kann ich mir dasmit dem vertauschen der faktoren so erklären,daß es mir auch einleuchtet?
Danke im Voraus für eure Bemühungen. Ich weiß daß das eigentlich eine ganz simple sache ist,aber ich kanns mir eben nicht erklären. Bekannte und Verwandte wissens auch nicht,die sagen"das ist eben so" und "mach dir doch darüber keine gedanken". Hoffe daß ihr da mehr drauf habt ;-)
Gruß Frank
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blauklaus
Senior
Dabei seit: 23.04.2002
Mitteilungen: 226
| Beitrag No.4, eingetragen 2002-04-28
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wenn ich dich richtig verstande habe moechtest du eine
anschauliche begründung für das kommutativgesetz bei
natürlichen zahlen. das einzige was mir einfällt wäre
sich ein rechteck vorzustellen das aus 3*5 quadraten besteht
*****
*****
*****
ich moechte jetzt die anzahl der quadrate feststellen.
die eine möglichkeit ist
ich zaehle die anzahl pro reihe
und nehme das mal mit der anzahl der reihen
die andere moeglichkeit ist
ich zaehle die anzahl pro spalte
und nehme das mal mit der anzahl der spalten
das kommutativgesetz besagt das bei beidem dasselbe
rauskommt.
ich denke das ist genauso natuerlich wie daran zu glauben,
das man beim zählen vertauschen kann.
gruss b.
[ Nachricht wurde editiert von blauklaus am 2002-04-28 23:00 ]
[ Nachricht wurde editiert von blauklaus am 2002-04-28 23:01 ]
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Ende
Senior
Dabei seit: 15.03.2002
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Wohnort: Kiel, Ostsee
|  Beitrag No.5, eingetragen 2002-04-28
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Hallo, Frank!
Du muesstest einmal kurz erlaeutern, auf welchem Wissensstand Du bist, damit wir wissen, wo wir mit einer Erklaerung ansetzen koennen.
Offenbar hast Du ja schon mal etwas von Induktion gehoert, aber das Prinzip noch nicht verstanden. Deshalb nehme ich an, dass Du entweder ganz am Anfang im Studium stehst, oder vielleicht gerade in der Schule in die Oberstufe gekommen bist. Liege ich da ungefaehr richtig?
Ausserdem muesstest Du genau sagen, von welcher Multiplikation Du sprichst. Aus Deiner Redeweise schliesse ich, dass Du im Prinzip schon Zahlen meinst. Aber welche?
Meinst Du natuerliche, ganze, rationale, reelle oder komplexe Zahlen?
Und zuletzt ein Wort zu Deinen Verwandten. Die Aufforderung, ueber etwas nicht weiter nachzudenken, weil 'das eben so ist', ist ein Beispiel gedankenloser Ignoranz, das seinesgleichen sucht.
Wer solche Vorbilder hat, kann fuer Ergebnisse juengster und oft zitierter Studienkaum noch verantwortlich gemacht werden.
Freut mich, dass Du Dir Deine geistige Agilitaet trotzdem bewahren konntest.
Gruss, E.
P.S.: Dass die Induktion natuerlich doch ein logisch einwandfreies Beweismittel ist (und oft auch das einzig moegliche), koennen wir besprechen, wenn wir die Ausgangspunkte festgelegt haben, von denen wir starten koennen. In diesem Punkt liegst Du naemlich vollstaendig falsch.
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psychiater
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Dabei seit: 28.01.2002
Mitteilungen: 121
Wohnort: USA/Deutschland
 | Beitrag No.6, eingetragen 2002-04-28
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Na, gerade, wenn Du nicht so hoch in die Abstraktion hinaus wolltest:
Was Dich bewegt, sind tiefe erkenntnistheoretische Fragen.
Ist also der Beweis nach Augenschein letztlich dem abstrakteren Beweis überlegen, oder ist er nur eine gute Denkhilfe, wenn er sich mit dem mathematisch genauen Beweis deckt?
Schließlich gibt es viele Beispiele, in denen der Augenschein sehr trügt (visuelle Täuschungen, Statistikfälschungen, unwahrscheinlich aussehende Grenzwerte, chaotisches Verhalten berchenbar erscheinender Systeme und dergleichen).
Also dem Augenschein nach ist die geometrische Interpretation der Multiplikation ganzer Zahlen als Anordnung der einzelnen Summanden einladend. (Apfelkiste mit jeweils 5 Äpfeln in 6 Reihen. Die kann man wunderschön um 90 Grad drehen und hat dann 5 Reihen zu 6 Äpfeln.)
Man vergißt aber leicht, das so natürlich aussehende Vorgänge wie Malnehmen erst nach langem Eintrainieren in der Schule so natürlich wirken und Selbstverstänlichkeiten wie "es ist egal, in welcher Reihenfolge zusammengezählt wird" sich erst x-mal bestätigt hatten, ehe es selbstverständlich war.
So wurde in der einfachen russischen Bevölkerung früher eine ganz andere Art der Multiplikation weitergetragen, die ohne das Einmaleins auskommt, dafür aber länger dauert. Letztlich eine Binärmultiplikation mit Addieren der Reste beim jeweiligen Verdoppeln des einen und Halbieren des anderen Faktors. Das sieht aber auf den ersten Blick alles andere als einleuchtend aus und wurde erstmal von irgendeinem Mathematiker entwickelt, ehe es allgemein verbreitet wurde.
In Indien werden Zahlen nahe bei Zehnerpotenzen auch anders multipliziert, sieht auch verblüffend aus, ist letztlich auf die Formel
(10^a-x)*(10^b-y)=10^^(a+b)-y*10^a-x*10^b+x*y
zurückzuführen, aber erst nach einer Analyse des Vorgehens.
Langer Rede kurzer Sinn: Ohne mathematische Korrektheit geht es nicht, da man vielem unreflektiert auf den Leim geht. Ist der korrekte Beweis auch noch einleuchtend und elegant, um so besser.
Die Induktion sehe ich durchaus als soliden, Z.T. auch eleganten Beweis, da ja gerade nicht "weil es schon für n galt, gilt es eben auch für n+1" verkörpert, sonderen eine exakte Herleitung des Induktionsschrittes zentral ist.
Schöne Grüsse vom psychiater
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psychiater
Senior
Dabei seit: 28.01.2002
Mitteilungen: 121
Wohnort: USA/Deutschland
| Beitrag No.7, eingetragen 2002-04-28
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Jetzt war ich so mit meiner eigenen Antwort beschäftigt, daß ich verpaßt habe, was zwei andere vor mir gepostet haben.
Also Frank ,ich denke nicht, daß Du mit so viel ungeteilter Aufmerksamkeit der "exakt beweisenden Fraktion" gerechnet hast. Mathematik ist nun mal zu recht die Domäne der Abstraktion, aber auch die der Kreativität, sich den exakten Beweis vorher einfallen zu lassen.
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|
Ben
Senior
Dabei seit: 10.04.2002
Mitteilungen: 472
Wohnort: Ratingen
 | Beitrag No.8, eingetragen 2002-04-29
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Soviel ich weiß, ist das Kommutativgesetz aus einem Axiom der Arithmetik abgeleitet. Diese Axiome sind u.a. in Simon Singhs "Fermats letzter Satz" nachzulesen, können aber auch in jedem besseren Mathe-Buch nachgeschlagen werden.
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Anonymous
Unregistrierter Benutzer
|  Beitrag No.9, vom Themenstarter, eingetragen 2002-04-29
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Dankeee an alle!!!
Son riesen Feedback auf ein Posting hab ich noch nie erlebt.
Bin am ende des Abis (mit 3,9 abgeschlosen...),momentan
beim Bund und was danach kommt weiß ich noch nicht.
Ich weiß das ist alles sehr chaotisch aber es ist halt so.
Versuches zu ändern ;-)
Das mit der Apfelkiste und den Reihen
und Spalten ist mir heute beim Umsortieren von
Fantaflaschen in Bierkisten auch eingefallen.
Da ist bei mir wirklich irgendwie was psychisch am arbeiten,
ich denke STÄNDIG an dieses Problem,daß ich das doch
(augenscheinlich und offensichtlich) für mich
beweisen können muß. Keine Ahnung woher das kommt.
Aber es belastet (und nervt) mich. Aber bis ichs nicht raus
hab lasse ich nicht locker (obwohl ich mir damit selber aufn Wecker
falle!)
Das mit den Apfelkisten ist sher gut fürs Augenscheinliche.
Überlege das nochmal genau.
Wie gesagt nochmal vielen Dank. Wenn ich nochmal sowas in der
Richtung hab weiß ich ja jetzt wo die Profis dafür im WWW
sitzen.
greetz @ all
Frank
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Anonymous
Unregistrierter Benutzer
| Beitrag No.10, vom Themenstarter, eingetragen 2002-08-29
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hallo frank
ich bin eigentlich am ganz falschen ort gelandet, bei mathe bin ich ganz schwach auf der brust. aber dann fand dich es doch sehr spannend, mit welcher faszination diese materie für manche verbunden ist.
aber als hinweis aus meinem 'milchbüchlein-verständnis':
wenn dir das vertauschen bei der addition einleuchtet, dann denk doch mal von diesem ansatz her weiter. multiplikation ist doch nichts anderes als fortgesetzte addition.
jedenfalls reicht das z.b. für mein weltverständnis.
gruss sol
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CyberDevil
Senior
Dabei seit: 26.07.2002
Mitteilungen: 1031
 | Beitrag No.11, eingetragen 2002-08-30
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Ich glaube, dass ihm das nicht weiterhilft... wenn er nun a+b = a+a+...+a (b-mal) hat und die einzelnen a vertauscht, dann hat er nämlich immernoch a+a+...+a (b-mal) und nicht b+b+...+b (a-mal).
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