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Universität/Hochschule J Vektorraum - Basis - Magische Quadrate
informatik-neuling
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  Themenstart: 2006-12-08

Heyho, ich hänge an folgender Aufgabe: --------------- Es sei V = M(3,3,IR) die Menge aller reelen 3 x 3 - Matrizen. (i) Zeigen sie, dass V ein IR-Vektorraum ist und bestimmen sie seine Dimension. (ii) Nun sei U die Menge aller magischen Quadrate, d.h. aller Matrizen, in denen alle Zeilen-, Spalten- und die beiden Diagonalsummen den gleichen Wert haben. Zeigen sie, dass U ein Unterraum von V ist. (iii) Bestimmen Sie eine Basis und die Dimentsion von U. Geben Sie außerdem eine Basisdarstellung an für: S = (2,9,4;7,5,3;6,1,8) S wie "Saturnsiegel" im Sprachgebrauch der Römer (schon bekannt in  China um 2200 v. Chr.) ----------------------- zu (i) Da kann ich mir doch einfach 2 3x3 matrizen aufmalen, mit den Elementen von a,b,c...i. Und dann nochmal mit a1, b1... i1. Und dann wende ich die ganz normale Matrixaddition an und die multiplikation mit einem Skalar und beweise es ja dadurch, oder? Ist die Dimension nicht einfach nur 9? Weil ich kann ja quasi 9 Basismatrizen schreiben, in jeder stehen nur Nullen und an jeweils einer anderen Stelle eine 1... . Oder wäre das falsch? zu (ii) Ich bin zwar in der Lage zu beweisen, ob etwas ein Unterraum ist, wenn ich dessen Formel gegeben bekomme (zumindest bei Vektorräumen mit Vektoren als Elemente konnt ichs noch^^), aber hier habe ich ja nichts... ich vermute, dass ich mir selber eine Formel überlegen muss, die allgemein magische Quadrate beschreibt. Aber so eine fällt mir nicht ein :(  Habt ihr Ideen? zu (iii)Wie gebe ich denn zu einer Basis eine Basisdarstellung an. Könnt ihr mir das an einem andern Beispiel erklären? Ich hätte jetzt wieder einfach 9 verscheidene Matrizen mit jeweils 8 Nullen und einer 1 angegeben, aber das wird wohl nicht gemeint sein... Bei der Basis und Dimension vom Unterraum weiß ich auch nicht weiter :( bei der Dimension würde ich wieder 9 denken... aber vlt sehe ich ja dann, dass ich weniger Basen brauche, sobald ich weiß, wie man eine andere Basis als die Einheitsmatrizen berechnet^^ Schonmal vielen Dank im Vorraus :) MfG Kai [ Nachricht wurde editiert von informatik-neuling am 08.12.2006 19:24:10 ]


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Stego
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  Beitrag No.1, eingetragen 2006-12-08

Hallo. Zu 1: Soweit ist das richtig. Du musst jedoch auch noch auf Assoziativität und Distributivität bzgl. der Multiplikation mit einem Skalar prüfen. Näheres dazu hier: de.wikipedia.org/wiki/Vektorraum#Formale_Definition Zu 2: Nimm dir zwei Matrizen und setze vorraus, dass a_11+a_12+a_13 = a_21+a_22+a_23 = ... und b_11 + b_12+b_13 = usw.. und zeige, dass A+B, und t*A (t soll Skalar sein) ebenfalls ein "Magisches Viereck" ist. Zu 3: Wie kommst du darauf, dass du für eine Basis eine Basisdarstellung finden sollst? Du sollst eine Basis des Unterraumes U finden (sofern es denn einer ist) und die gegebene Matrix S durch die elementer deiner Basis ausdrücken. Gruß, Stego [ Nachricht wurde editiert von Stego am 08.12.2006 20:03:16 ]


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informatik-neuling
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  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2006-12-08

Mhh, zu2): Kann ich davon ausgehen, dass es sich hierbei nur um 3 x 3 Matrizen als magische Quadrate handelt, weil ja mein Vektorraum auch nur die Menge aller 3 x 3 matrizen enthält, oder muss ich auch 4x4 Matrizen , 5x5 Matrizen... betrachten? Aber dann wären sie ja auch keinen Fall Unterraum... Hier ist wirklich nur 3 x 3 gemeint, oder? zu 3) Da hab ich mich verschrieben^^ Ich meinte: Wie gebe ich zu einer Matrix eine Basisdarstellung (bzw. Basis) an? Ich habe keine Ahnung, wie ich sowas bei ner Matrix ermittelen kann. :( Kann mir das jemand an nem einfachen Beispiel erklären? zu1) Hat das mit der Dimension 9 gestimmt? Weil ich ja 9 Matrixen für die Basisdarstellung brauche... oder geht das auch mit weniger Matrixen? (auch hier steht mir wieder das Problem im Weg, dass ich nciht Weiß, wie ich die Basis berechnen kann...).


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Stego
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  Beitrag No.3, eingetragen 2006-12-08

Ja, es sind nur 3x3 Matrizen gemeint. Ein Unterraum U von V kann nur Elemente von V enthalten. Es gilt also U\subset\V. Deine Basis (bei i.) ist ebenfalls richtig. Es gilt: (a,b,c;d,e,f;g,h,i) = a*(1,0,0;0,0,0;0,0,)+b*(0,1,0;0,0,0;0,0,0)+... Deine gewhählte Basis erzeugt also V. Eventuell könntest du noch zeigen, dass die Elemente deiner gewählten Basis wirklich linear unabhängig sind (was aber in diesem Fall mehr als offensichtlich sein sollte). Die gleiche Basis für den Unterraum der "Magischen Vierecke" zu nehmen ist jedoch falsch. Die Elemente einer Basis eines Vektorraums müssen Element des Vektorraums sein. Und z.B. (1,0,0;0,0,0;0,0,0) ist ja mit Sicherheit kein magisches Viereck... Gruß, Stego


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informatik-neuling
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  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2006-12-08

Ah, langsam versteh ichs :) Jetzt müsst ich nur noch wissen, wie ich eine Basis von einer matrix bestimmen kann. Finde im Internet dazu nichts :( Außer eins: Bin eben auf einen Artikel gestoßen, da war von der Gausscheneleminierung die Rede. Da soll man angeblich eine Matrix erst transponieren und dann auf Zeilenstufenform bringen und alle Zeilen (die keine Nullzeilen sind) sind dann Basisvektoren der Matrix. Aber dann hät ich ja Vektoren und ich brauch doch Matrizen als Basis für Matrixen oder? Was ist an dieser Gaussscheneleminierung dran? Oder wie mache ich es sonst? :( Ps: Dimension 9 war dann folglich auch richitg, oder? (bei i).


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Stego
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  Beitrag No.5, eingetragen 2006-12-08

Du sollst die Basis des Vektorraums bestimmen, nicht die einer Matrix.. das ergäbe auch keinen Sinn. Was du in dem Artikel gefunden hast bezieht sich allerdings aller Wahrscheinlichkeit nach auf den Vektorraum \IR\^3 bzw. eines Unterraums des \IR\^3. Das hat wie du richtig bemerkt hast nicht allzu viel damit zu tun. Eine Basis zu finden ist nicht immer einfach, dafür gibt es meines Wissens anch auch kein "allgemeines Rezept". Als kleiner Tipp: Probier es mal mit Matrizen der Form: (1,0,0;0,0,1;0,1,0), (0,1,0;1,0,0;0,0,1) ... Gruß, Stego


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informatik-neuling
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  Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2006-12-08

Bei Aufgabe iii) soll ich aber eine Basisdarstellung für S angeben. Und S ist ja eine Matrix. In der Übung hatte uns das der Übungsleiter auch mal ganz kurz erklärt, aber da war ich grad noch mit abschreiben von was andern beschäftigt und habs nicht mitbekommen... Also für die Basisdarstellung für Matrizen gibts schon nen "Rezept", nur ich kenns leider nicht^^ Kennst du es vlt?


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fru
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  Beitrag No.7, eingetragen 2006-12-08

\quoteon(2006-12-08 21:22 - informatik-neuling) Bei Aufgabe iii) soll ich aber eine Basisdarstellung für S angeben. Und S ist ja eine Matrix. \quoteoff Hallo Kai, das hat schon seine Richtigkeit. Stego hat aber auch nichts anderes behauptet, sondern nur völlig richtig festgestellt: \quoteon(2006-12-08 20:47 - Stego) Du sollst die Basis des Vektorraums bestimmen, nicht die einer Matrix.. das ergäbe auch keinen Sinn. \quoteoff Mach Dir den Unterschied klar zwischen den beiden Begriffen "Basis eines Vektorraums" und "Basisdarstellung eines Elementes eines Vektorraums". Das sind doch zwei ganz verschiedene Paar Schuhe, wie auch aus der verbalen Beschreibung klar hervorgehen sollte. Eine Basis ist eine Teilmenge eines Vektorraums und eine Basisdarstellung ist eine bestimmte Schreibweise (=Darstellung) eines Vektors (als Linearkombination der Basiselemente). Liebe Grüße, Franz


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informatik-neuling
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  Beitrag No.8, vom Themenstarter, eingetragen 2006-12-08

Geben Sie außerdem eine Basisdarstellung an für: \  S = (2,9,4;7,5,3;6,1,8)   Das meine ich... hier wird ja eindeutig eine !Basisdarstellung! gefordert. Für die matrix S. Aber wie geht sowas? oO Bitte an einer Beispielmatrix erklären und nicht an S selber, denn sonst lern ich nicht so viel :) Möchte das dann schon an meiner Aufgabe selber machen :P [ Nachricht wurde editiert von informatik-neuling am 08.12.2006 23:34:56 ] [ Nachricht wurde editiert von informatik-neuling am 09.12.2006 02:03:33 ]


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  Beitrag No.9, eingetragen 2006-12-09

Hallo! In  diesem Artikel hier wird alles erklärt. Insbesondere wird eine Basis der Länge 3 der Magischen 3x3-Quadrate angegeben. Du musst nun deine Matrix als Linearkombination dieser drei Basiselemente schreiben. Liebe Grüße Stefan


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informatik-neuling
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  Beitrag No.10, vom Themenstarter, eingetragen 2006-12-09

Hey, der Artikel ist wirklich sehr gut. Vielen Dank dafür, aber wärst du vlt so lieb mir die Basis für n =3 zu kopieren und ins Forum zu posten? Ich habe anscheinend eine zu alte Wordversion auf dem Rechner... jedenfalls kann er bei mir die Bilder nicht laden und ich sehe nur den Text :) Würde aber die Basis von n=3 gerne mal sehen^^ MfG Kai [ Nachricht wurde editiert von informatik-neuling am 09.12.2006 02:19:58 ]


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  Beitrag No.11, eingetragen 2006-12-09

Hallo! Na gut, ich mache auch das noch ;-): Eine Basis lautet: (1,0,0.5;0,0.5,1;0.5,1,0), (0,0,0.75;1,0.25,-0.5;-0.25,0.5,0.5), (0,1,-0.25; 0,0.25,0.5;0.75,-0.5,0.5) Bitte kontrolliere das (per Rechnung), ich habe ein paar Weizen intus und übernehme keine Gewähr mehr. ;-) Gute Nacht! Liebe Grüße Stefan [ Nachricht wurde editiert von Stefan72 am 09.12.2006 02:25:54 ]


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  Beitrag No.12, eingetragen 2006-12-09

Hallo! Wenn alles gutgegangen ist, sollte deine Matrix zweimal die erste Matrix der Basis plus siebenmal die zweite Matrix der Basis plus neunmal die dritte Matrix der Basis sein... oder so ähnlich.  cool Naja, das bekommst du schon noch raus. smile Liebe Grüße Stefan [ Nachricht wurde editiert von Stefan72 am 09.12.2006 02:34:06 ]


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informatik-neuling
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  Beitrag No.13, vom Themenstarter, eingetragen 2006-12-09

kk, werd das morgen mal nachrechnen. Jetzt geh ich aber erstmal ins Bett, ist schon spät^^ Gn8 und bis morgen! Ich meld mich dann nochmal, um bescheit zu sagen, ob ich alles hinbekommen habe oder wo ich noch hänge :)


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  Beitrag No.14, eingetragen 2006-12-09

Hallo! Ja, okay, scheint aber zu stimmen. Ich habe mal stichprobenmäßig den Eintrag (1,3) kontrolliert. Geht doch! Prost und gute Nacht! Liebe Grüße Stefan


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  Beitrag No.15, vom Themenstarter, eingetragen 2006-12-09

Heyho, hab nochmal ne Frage zu deinem Artikel: Ich hab jetzt selber die allgemeinen Formeln berechnet um zu zeigen, dass man aus 3 fest vorgegebenen Elementen die komplette Mattrix berechnen kann. Der Autor hatte ja nur das Ergebnis stehen... habe die Rechnung auch hinbekommen, aber jetzt im nachhinein frage ich mich gerade, wieso man das aber so machen kann. Wie begründe ich denn, dass ich vermute, dass eine 3x3Matrix die Dimension drei hat und das dies bewiesen ist, falls ich die komplette Matrix aus drei festgesetzen Werten berechnen kann. Was hat das berechnen mit den drei fest gewählten Werten mit der Dimension zu tun? Steht das immer in Abhängigkeit, wenn ja, wieso?


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  Beitrag No.16, eingetragen 2006-12-09

Hallo ich verstehe deine Frage nicht ganz, was willst du denn zeigen? Übrigens macht es keinen Sinn zu sagen, dass eine Matrix eine Dimension hat. Dimension (= Anzahl der Basisvektoren) ist für Vektorräume definiert, nicht für Matrizen (=Elemente des betrachteten Vektorraums in diesem Fall). Das sind zweierlei Dinge. Weißt du was eine Basis eines Vektorraums ist? Falls ja, weißt du doch, dass alle Elemente des Vektorraums, die hier Matrizen sind,(also insbesondere auch die fragliche Matrix) als Linearkombination der Basiselemente dargestellt werden können. Du musstest in deiner Aufgabe diese Darstellung finden. Ich glaube du solltest die Definitionen folgender Begriffe nachlesen und deren Zusammenhänge, das wird dir sicher helfen: Vektorraum, Basis, Linearkombination, Dimension Grüße!


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informatik-neuling
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  Beitrag No.17, vom Themenstarter, eingetragen 2006-12-09

Sorry, ich bin den ganzen Tag schon an den Aufgaben dran, bin nen bisschen verplant... natürlich hat eine Matrix keine Dimension... ich kenn die Begriffe schon^^ Aber wenn du in den Artikel reinliest, wirst du meine Frage verstehen. Der Autor nimmt an, dass der Vektorraum der 3x3 magischen - Quadratmatrizen die Dimension 3 hat. Begründen tut er diese Vermutung, indem er zeigt, dass sich aus einer "leeren" 3x3 Matrix ein magisches quadrat bilden lässt, wenn man nur 3 Elemente der Matrix fest wählt und Abhängigkeitsgleichungen aufstellt, durch die sich Formeln ergeben, mit denen man die restlichen Werte dann eindeutig berechnen kann. Ich verstehe nur nicht so ganz, wieso das ein Beweis für dim=3 ist. Ich habe mir durch die allgemeinen Formeln (die ich mir ja nochmal selber hergeleitet hab) eine Basis berechnet. Sie ist aber anders, als deine gepostet, ist es trotzdem eine, ja oder? Also ich hab jeweils immer eine Komponente als 1 gewählt, die andern beiden als 0 und den Rest mit Hilfe der Summenformel berechnet... halt wie im Artikel beschrieben: (1,0,1/2;0,1/2,1;1/2,1,0) (0,1,1/2; 0, -1/2, 2; 3/2, 1, -1) (0, 0, 3/2; 1, -1/2, 1; 1/2, 2, -1) Ist deine Basis überhaupt eine Basis, weil deine einzelnen "Basisteile" erfüllen ja noch nicht die Bedingungen eines magischen Quadrates mit der Zeilensumme... oder müssen/dürfen sie das auch einzeln noch gar nicht? Hab ich das folglich bei mir falsch berechnet? oO


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  Beitrag No.18, vom Themenstarter, eingetragen 2006-12-09

OK, hat sich erledigt. Habe meinen Fehler gefunden :) Deine Matrix war richitg^^ Hab vielen vielen Dank für die ganze Hilfe! MfG Kai [ Nachricht wurde editiert von informatik-neuling am 10.12.2006 13:55:24 ]


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