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| Autor |
 Verteilung von Arbeitszeit auf n Arbeiter |
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Spooky
Ehemals Aktiv 
Dabei seit: 11.07.2002
Mitteilungen: 149
Wohnort: Nürnberg
 |  Themenstart: 2003-05-24
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Hi,
ich weiß nicht genau ob diese Frage als 'Optimierungs-Problem' durchgeht... ich glaub, hier ist sie auch ganz gut aufgehoben. 
folgende Situation:
Man hat n Arbeiter zur Verfügung, die alle die gleiche Arbeit leisten können. Desweiteren k versch. Arbeiten mit a1 bis ak verschiedenen "Fertigstellungszeiten" jeweils bezogen auf einen Arbeiter. (meinetwegen in Stunden, die Einheit spielt ja keine Rolle) Also ein Arbeiter würde alleine ai Zeit für die i-te Arbeit (Ai) benötigen.
ok, mal ein beliebiges Beispiel:
wir haben n=5 Arbeiter und k=3 verschiedene Arbeiten zu erledigen, mit:
a_1 = 1
a_2 = 2
a_3 = 5
es können nun an jeder Arbeit beliebig viele (der n) arbeiten, wobei jede Arbeit umso schneller fertiggestellt ist, je mehr Arbeiter zugeteilt sind. Unzwar auf die Weise, dass bei 2 Arbeitern nur die Hälfte der Zeit benötigt wird, bei 3 Arbeitern 1/3 d. Zeit usw.
eine erste Frage wäre nun, wie man wohl am besten die Arbeiter (zu welchem Zeitpunkt wohin, etc.) verteilen sollte, dass in möglichst kurzer Zeit alle Arbeiten erledigt sind.
man sieht recht schnell, dass die Gesamtarbeitszeit, bis alle Arbeiten erledigt sind, nicht von der Verteilung der Arbeiter abhängt (vorausgesetzt alle Arbeiter sind zu jedem Zeitpunkt immer irgend einer Arbeit zugeteilt!), da die gesamte Arbeit die nunmal geleistet werden muss, immer gleich ist.
F_ges = 1/n * sum(a_i,i=1,k)
es gibt jedoch eine Sache, die abhängig von der Verteilung ist, ich nenn sie mal die "mittlere Fertigstellungszeit pro Arbeit" (Fm).
F_m = 1/k * sum(F_i,i=1,k)
wobei Fi jeweils die wirkliche Fertigstellungszeit der i-ten Arbeit ist.
mal zurück zum Beispiel:
die wohl einfachste Verteilung wäre wohl, zuerst alle 5 Arbeiter zu A1, sobald A1 fertig ist alle 5 nach A2, ist A2 beendet alle nach A3.
ich notier die nacheinander erfolgende Verteilung der Arbeiter mal so:
(5/0/0) ; (0/5/0) ; (0/0/5)
bis A1 vollendet is dauert es F1 = 1/5, danach dauert es 2/5 bis A2 fertig ist, also F2 = F1 + 2/5 = 3/5, danach dauert es noch 5/5 bis A3 fertig ist, also F3 = F2 + 5/5 = 8/5
also: Fm = 1/3 * 12/5 = 0,80
dies ist auch gleichzeitig der kleineste Wert den ich für Fm gefunden hab... meine Frage ist nun, ob man immer den kleinsten Wert für Fm erhält wenn man so "radikal" aufteilt... und wenn ja, warum?
wenn man ein möglichst kleines Fm haben möchte ist es wohl am besten, wenn man die Arbeit mit der größten Dauer ai zuletzt fertigstellt, oder?
mal eine andere mögliche Aufteilung, zum Vergleich:
(3/1/1) ; (0/4/1) ; (0/0/5)
das ergibt F1 = 1/3
F2 = F1 + 1/4 * 5/3 = 3/4
F3 = F2 + 1/5 * 17/4 = 8/5
Fm = 1/3 * 161/60 = 0,89
wenn man jetzt davon ausgeht, dass es ein Vorteil ist, wenn eine Arbeit möglichst früh fertig ist, aber keine Gewichtung stattfindet, sondern alle Arbeiten "gleichwichtig" sind, so würd es wohl am besten sein, wenn Fm möglichst gering ist, so dass im Durchschnitt alle Arbeiten möglichst früh erledigt sind.
wie schon gesagt... weshalb scheint diese "Arbeitskraftkonzentration" auf die einzelnen Arbeiten, wobei bei der kürzesten angefangen wird, am besten zu sein? könnte man das auch irgendwie zeigen? 
Danke schonmal, allein nur fürs Lesen 
Gruß
Spooky
[ Nachricht wurde editiert von Spooky am 2003-05-24 15:21 ]
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 Profil
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matroid
Senior 
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Mitteilungen: 14548
Wohnort: Solingen
 | Beitrag No.1, eingetragen 2003-05-25
|
Hi Spooky,
was für eine interessante Fragestellung. Mein Glückwunsch.
Ich habe versucht das Problem griffiger zu machen. Nicht alle folgenden Annahmen sind beweisen, sie erscheinen mir aber derzeit zu rechtfertigen.
Plausible Annahmen:
1. Es arbeiten immer alle 5.
2. In der ersten Periode wird (auch) an a_1 gearbeitet.
Wenn in der ersten Periode nicht an a_1 gearbeit wird, dann sortiere die Perioden um.
3. Es gibt mindestens 3 Perioden, denn sollte es nur 2 (oder weniger) geben, dann sind zwei der a_i gleich und das Problem kann auf 2 Arbeiten reduziert werden.
4. Es braucht nicht mehr als 3 Perioden, denn wenn in Periode 1 und 2 an a_1 gearbeitet wird, dann kann man aus einer Linearkombination der Spalten wieder auf 3 Perioden kommen.
5. Es werden nie zwei Arbeiten gleichzeitig fertig, denn wäre es so, dann ... (siehe 3.)
Die Aufgabe bedeutet dann eine Matrix B = (bij) zu finden, mit der:
uselib(common,1)
B*vec(c)=vec(a)
Aufgrund der Annahmen kann die Matrix nur so aussehen:
B = (b_11,0,0;b_21,b_22,0;b_31,b_b_32,b_33)
Es muß gelten
b_11+b_21+b_31 = 5
b_22+b_32 = 5
b_33=5
Teilt man im Gleichungssystem die i-te Zeile durch a_i, erhält man ein Gleichungssystem
B = (b_11^',0,0;b_21^',b_22^',0;b_31^',b_32^',b_33^')*(c_1;c_2;c_3) = (1;1;1)
Die Spalten der Matrix B halte ich unter den getroffenen Annahmen für linear unabhängig.
Also hat das homogene Gleichungssystem nur die 0 zur Lösung.
Aufgrund der Gestalt der Matrix B ist klar, daß
b_33^'=1
Alle Lösungen des inhomogenen Gleichungssystem sind die spezielle Lösung, die man leicht rät:
c=(1/b_11;(1-b_21/b_11)/b_22;1)
Die Summe der c_i ist minimal, wenn ...
Soweit meine Ideen zu Deinem Problem. Ich kann das jetzt nicht wirklich sicher ausarbeiten. Vielleicht ist dennoch etwas dabei, was nützlich ist.
Gruß
Matroid
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