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| Autor |
  prädikatenlogische Äquivalenzen |
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Infostudent
Ehemals Aktiv 
Dabei seit: 25.10.2006
Mitteilungen: 23
 |  Themenstart: 2007-04-22
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Hallo, ich grüble hier an folgender Aufgabe:
Untersuchen Sie, ob für beliebige Formeln f und g folgende Äquivalenzen richtig sind. Beweisen Sie Ihre Antworten.
\forall\v ( f\or\ g) == (\forall\ v f\or\ \forall\ v g)
\forall\v (f\and\ g) == (\forall\ v f\and\ \forall\ v g)
(Dabei sind also f und g irgendwelche Formeln, v ist eine gebundene Variable, über die nichts weiter bekannt ist.)
Ich würde ja sagen, dass das erste falsch und das zweite wahr ist, nur wie kann man das (möglichst ohne großen Formelsalat) beweisen?
Ich hätte gedacht, dass die De Morganschen Regeln ein Anfang wären, doch demnach müssten ja dann beide Äquivalenzen falsch sein (weil dann und zu oder werden müsste bzw. umgekehrt).
Liebe Grüße,
Infostudent.
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| Folgende Antworten hat der Fragensteller vermutlich noch nicht gesehen.
Er/sie war noch nicht wieder auf dem Matheplaneten |
Bilbo
Senior 
Dabei seit: 03.01.2005
Mitteilungen: 2033
 | Beitrag No.1, eingetragen 2007-04-23
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Hallo Infostudent,
deine Vermutung, welche der beiden Äquivalenzen gilt und welche nicht, ist richtig. Mit den Formeln von de Morgan kommt man hier aber erst mal nicht weiter, da diese sich auf die Negation von Formeln beziehen, während hier überhaupt keine Negation vorkommt.
Weißt du denn, wie die Äquivalenz von Formeln definiert ist? Im ersten Fall kannst du dann versuchen, ein entsprechendes Gegenbeispiel zu finden, also Formeln f und g einer geeigneten Sprache und eine zugehörige Interpretation, in der zwar die eine Seite der angeblichen Äquivalenz wahr ist, die andere aber nicht.
(Falls ihr entsprechende Hilfsmittel schon kennt, dann ist für den zweiten Teil natürlich auch ein rein formaler Beweis möglich, aber dafür müsstest du uns sagen, welchen Logik-Kalkül ihr verwendet. Allerdings wolltest du es ja ohne großen Formel-Salat.  )
Viele Grüße,
Thorsten
[ Nachricht wurde editiert von Bilbo am 23.04.2007 18:14:54 ]
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wasseralm
Senior
Dabei seit: 26.10.2003
Mitteilungen: 1838
Wohnort: Erlangen
 | Beitrag No.2, eingetragen 2007-04-23
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Hallo,
ein Tipp zur ersten Äquivalenz (die nicht gilt):
Grundbereich ganze Zahlen, f <-> ungerade, g <-> gerade.
Gruß von Helmut
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yafoo
Ehemals Aktiv 
Dabei seit: 29.04.2016
Mitteilungen: 194
Wohnort: NRW
 | Beitrag No.3, eingetragen 2017-06-20
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Hallo zusammen, ich sitze an der gleichen Aufgabe und komme auf kein Gegenbeispiel.
$f=\{...-1,1,3,...\}\, \text{und}\,g =\{...-2,0,2,...\}$
Die Hinrichtung würde dann nicht klappen, weil für alle $x$ dann gerade und ungerade Zahlen gelten würden?
Liebe Grüße
yafoo
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Bilbo
Senior 
Dabei seit: 03.01.2005
Mitteilungen: 2033
| Beitrag No.4, eingetragen 2017-06-21
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Hallo yahfoo,
ich verstehe nicht, was du meinst. Bei dir sieht es so aus, als würdest du Mengen f und g zu definieren versuchen; es geht aber doch um Formeln.
Was wasseralm meinte, ist, dass du eine Formel $f(v)$ definieren sollst, die beschreibt, dass $v$ gerade ist und eine entsprechende Formel $g(v)$, die beschreibt, dass $v$ ungerade ist.
Es ist klar, dass jede natürliche Zahl entweder gerade oder ungerade ist. Aber es ist nicht jede natürliche Zahl gerade. Es ist auch nicht jede natürliche Zahl ungerade. Daher erhält man das gesuchte Gegenbeispiel.
Viele Grüße
Thorsten
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yafoo
Ehemals Aktiv
Dabei seit: 29.04.2016
Mitteilungen: 194
Wohnort: NRW
| Beitrag No.5, eingetragen 2017-06-21
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Hallo Bilbo,
also meinst du für die Formeln:
$f(v)=2v \, \text{und} \, g(v)=2v+1$?
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DerEinfaeltige
Senior 
Dabei seit: 11.02.2015
Mitteilungen: 3282
 | Beitrag No.6, eingetragen 2017-06-21
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\quoteon(2017-06-21 11:04 - yafoo in Beitrag No. 5)
Hallo Bilbo,
also meinst du für die Formeln:
$f(v)=2v \, \text{und} \, g(v)=2v+1$?
\quoteoff
Nein, meint er (mutmaßlich) nicht.
Wie liest sich denn (Was bedeutet) $\forall v (f \lor g)$?
\hideon
Für alle "v" gilt: "f" und/oder "g" ist wahr
\hideoff
Überlege analog, was die rechte Seite bedeutet.
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yafoo
Ehemals Aktiv
Dabei seit: 29.04.2016
Mitteilungen: 194
Wohnort: NRW
| Beitrag No.7, eingetragen 2017-06-22
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\quoteon(2017-06-21 13:04 - DerEinfaeltige in Beitrag No. 6)
..Überlege analog, was die rechte Seite bedeutet.
\quoteoff
Dann gilt für alle $v$ f oder/und für alle $v$ gilt g. In dem Fall gilt eine der beiden (oder beide) Formeln für alle $v$. Die linke Seite bedeutet aber ja, dass für einige (oder alle) $v's$ f wahr ist oder /und eben für einige $v's$ g oder beides. Anders formuliert: Auf der linken Seite wird gesagt, dass alle $v's$ gerade oder ungerade sein können. Rechts hingegen sind entweder alle gerade oder alle ungerade oder alle gerade und ungerade, was aber ja nicht sein kann.
Wie ich das aber jetzt in eine Formel packe, ist mir noch schleierhaft.
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Bilbo
Senior
Dabei seit: 03.01.2005
Mitteilungen: 2033
| Beitrag No.8, eingetragen 2017-06-26
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Hallo yafoo,
eine gerade Zahl zeichnet sich dadurch aus, dass sie das doppelte irgendeiner anderen Zahl ist. Daher beschreibt
$f(v) \equiv (\exists x) (v = 2\cdot x)$
die Eigenschaft einer Zahl, gerade zu sein.
Viele Grüße
Thorsten
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yafoo
Ehemals Aktiv
Dabei seit: 29.04.2016
Mitteilungen: 194
Wohnort: NRW
| Beitrag No.9, eingetragen 2017-06-27
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Hey Bilbo,
ahh, okay, ja ich verstehe, das ergibt Sinn. Sowas in der Art meinte ich mit meiner Formel!
Dann hat sich das erstmal soweit geklärt. Danke!
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Bilbo
Senior
Dabei seit: 03.01.2005
Mitteilungen: 2033
| Beitrag No.10, eingetragen 2017-06-27
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Hallo yafoo,
"sowas in der Art" reicht leider nicht. Es ist in der Mathematik, insbesondere in der mathematischen Logik schon wichtig, die Dinge exakt zu formulieren. Wenn dir das noch Schwierigkeiten bereitet, setz dich also am besten noch etwas damit auseinander.
Naja, aber schön, dass wir dir bei dieser Frage helfen konnten. :-)
Viele Grüße
Thorsten
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| Das Thema wurde von einem Senior oder Moderator abgehakt. |
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