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Schule Wurzel aus i
Marleau
Neu Letzter Besuch: vor mehr als 3 Monaten
Dabei seit: 02.05.2007
Mitteilungen: 2
  Themenstart: 2007-05-02

Hallo Gemeinde! Wir saßen letztens in Mathe und haben uns gefragt, wie man Wurzel aus i^4 berechnen kann. Ob man dann sagt, i^4 = 1 und Wurzel aus 1 ist wieder 1, oder ob man sagen kann Wurzel i^4 = i^(4/2)=i^2 = -1. Haben unsern Lehrer gefragt, aber er meinte das wäre mal eine schöne Arbeit rauszufinden. Jedenfalls finde ich nichts, was mir dabei weiter hilft. Gelten die Potenzrechenregeln auch für komplexe Zahlen oder zumindest für i ? Vielen dank für eure Hilfe! gruß Daniel


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Hans-im-Pech
Senior Letzter Besuch: vor mehr als 3 Monaten
Dabei seit: 25.11.2002
Mitteilungen: 6919
  Beitrag No.1, eingetragen 2007-05-02

Hallo Daniel, ein herzliches Willkommen hier auf dem Matheplaneten! Schön, daß Du Dich mit außer-schulischem Stoff befassen möchtest. Wurzeln zieht man in den complexen Zahlen am besten dadurch, daß man auf die Darstellung in Polarkoordinaten zurückgeht. Sagt Dir das was? Schau doch auch mal  hier rein! Viele Grüße, HiP


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guga
Ehemals Aktiv Letzter Besuch: vor mehr als 3 Monaten
Dabei seit: 11.11.2004
Mitteilungen: 376
Wohnort: Vienna, Austria
  Beitrag No.2, eingetragen 2007-05-02

Hallo! Mit der Exponentialdarstellung exp(i*\alpha)=cos(\alpha)+i*sin(\alpha) kann man i folgendermaßen schreiben: => i = exp(i*\pi/2 + 2*n*\pi) wobei n=0,1,2,3,... \blue\ Als Beispiel wähle ich sqrt(i)! Durch die Verwendung der Polarkoordinaten liegen die Lösungen auf einem Kreis in der komplexen Ebene. Gehen wir mal schrittweise vor: sqrt(i)= exp((i*\pi/2 + 2*n*\pi)/2)=exp(i*(\pi/4 + n*\pi)) -> n=0: \pi/4 -> n=1: (5*\pi)/4 -> n=2: (9*\pi)/4 -> n=3: ... Die Werte für n=0 und n=2 liegen auf der selben Stelle in der komplexen Ebene. Daher haben wir nur zwei Lösungen bei n=0 und n=1. Die Lösungen lassen sich folgendermaßen konstruieren: \red\ Lösung Nr.1 für n=0: sqrt(i)=exp(i*\pi/4)=cos(\pi/4)+i*sin(\pi/4)=1/sqrt(2) *(1+i) \red\ Lösung Nr.2 für n=1: sqrt(i)=exp(i*(\pi/4+\pi))=cos(5*\pi/4)+i*sin(5*\pi/4)=-1/sqrt(2) *(1+i) Sehr mathematisch war es nicht, aber ich hoffe du hast es verstanden! LG, guga


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Marleau
Neu Letzter Besuch: vor mehr als 3 Monaten
Dabei seit: 02.05.2007
Mitteilungen: 2
  Beitrag No.3, vom Themenstarter, eingetragen 2007-05-03

Danke! Ich denke das ist soweit verständlich! Werde mir die Exponentialform heute mal ansehen. Allerdings ist für mich noch nicht einsichtig, was das jetzt für sqrt(i^4) bzw sqrt(i)^4 zu bedeuten hat.


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Thorsten
Ehemals Aktiv Letzter Besuch: vor mehr als 3 Monaten
Dabei seit: 28.06.2001
Mitteilungen: 161
Wohnort: Kaiserslautern
  Beitrag No.4, eingetragen 2007-05-03

Hallo, Marleau, die Wurzel"funktion" ist keine Funktion, weil sie nicht jedem Wert genau einen anderen zuordnet, sondern jedem Wert werden zwei Werte zugeordnet, nämlich a und -a. Will man eine Wurzelfunktion definieren, so muss man sagen: positive Wurzel aus ... oder negative Wurzel aus ... Da in deinem Beispiel das aber nicht gesagt wird, sind beide Werte richtig, 1 und -1, denn in jedem Fall ist davon das Quadrat 1. Gruß Thorsten


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owk
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Dabei seit: 10.01.2007
Mitteilungen: 6957
  Beitrag No.5, eingetragen 2007-05-03

@Thorsten: Das ist die eine Sichtweise. Die andere ist: Für alle Zahlen z, die nicht reell und negativ sind, ist die Wurzel die eindeutig bestimmte Zahl w in der rechten Halbebene (oder 0) mit w2=z. Gerade bei i4=1 und im Schulkontext sollte man bei wurzel(1)=1 bleiben. owk


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Ehemaliges_Mitglied
  Beitrag No.6, eingetragen 2007-05-05

also ich bin der meinung, dass wenn man schon so eine Aufgabe bekommt, amn sie auch ruhig vernünftig lösen kann, und im Endefekt ist Marleau ja in seiner Überlegung schon auf das richtige gekommen, dass das rganze eben nicht so ohne weiteres Eindeutig ist (also nicht immer), was ja auch nochmal dur die Polardarstellung deutlich wird. @Marleau: wenn du mal lust hast kannst dir das gleiche prob. ja mal für die Logaryhmus-Funktion anschauen, dazu brauchst du allerding wirklich die Polardarstellung ;) Gruß KelTaq


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Marleau hat die Antworten auf ihre/seine Frage gesehen.

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