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  Lebesgue-Integral |
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math
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 |  Themenstart: 2003-06-11
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[ Nachricht wurde editiert von math am 21.03.2012 07:45:39 ]
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Fabi
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 | Beitrag No.1, eingetragen 2003-06-11
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Hi!
Zu 1)
"Konvergiert im quadratischem Mittel" bedeutet Konvergenz bezüglich der L2-Pseudonorm auf dem Raum aller Funktionen:
abs(abs(f))_(L_2) = ((int(abs(f)^2,x,R^n,+)))^(1/2)
(+ steht für das Oberintegral)
Die stetigen Funktionen müssen also nicht punktweise oder gleichmäßig gegen f konvergieren, sondern der Wert des Oberintegrals muss gegen 0 gehen.
Bei der anderen Frage:
d(r) bezeichnet einfach einen Abstand (nicht verwechseln mit dem dr am Integral!)
Warum man das braucht, weiß ich nicht - kommt drauf an, wie der Beweis weitergeht.
Gruß
Fabi
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math
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| Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2003-06-11
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[ Nachricht wurde editiert von math am 21.03.2012 07:45:57 ]
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Fabi
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| Beitrag No.3, eingetragen 2003-06-11
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Wie ist denn das Lebesgue-Maß einer Funktion f bei euch definiert?
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math
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| Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2003-06-11
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[ Nachricht wurde editiert von math am 21.03.2012 07:46:18 ]
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Fabi
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| Beitrag No.5, eingetragen 2003-06-11
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Hi!
Dann ist das, was ich mit Oberintegral bezeichne, wohl das äußere Maß der Menge.
Die Ungleichung ist richtig:
Unterscheide zwei Fälle:
1. r aus U
Dann gilt:
d(r) = 0
\d_n = 1/(1+n*d(r)) = 1
\c_U = 1
Also gilt die Ungleichung (die Funktionen sind sogar gleich)
2. r nicht aus U
Dann gilt
\d_n = 1/(1+n*d(r)) <= 1
(da 1+n*d(r) ³ 1 gilt)
und
\c_U = 0
Also gilt auch dann die Ungleichung.
Gruß
Fabi
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math
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| Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2003-06-11
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[ Nachricht wurde editiert von math am 21.03.2012 07:46:34 ]
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math
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| Beitrag No.7, vom Themenstarter, eingetragen 2003-06-11
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du fabi,
was ich noch sagen möchte, ich wollte mir diese Ungleichung in einen Beispiel des IR^2 veranschaulichen aber ich bin daran gescheitert . Könntest du ein Beispiel für diese Ungleichun konstruieren?
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Fabi
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| Beitrag No.8, eingetragen 2003-06-11
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Hi!
Du meinst Funktionen R -> R, nehme ich mal an.
Was du beschreibst, sind die Riemann-integrierbaren Funktionen - Annäherung durch Treppenfunktionen.
Eine Funktion ist nur dann Riemann-integrierbar, wenn sie entweder stetig ist oder die Unstetigkeitsstellen nirgendwo "dicht" liegen (es also kein Intervall gibt, in dem unendlich viele Unstetigkeitsstellen liegen)
Das Lebesgue-Integral verallgemeinert das - alle bisher integrierbaren Funktionen bleiben dies auch, zusätzlich komemn aber alle Funktionen hinzu, die sich als Grenzwerte irgendwelcher Funktionenfolgen von Riemann-integrierbaren Funktionen darstellen lassen.
So ist z.B. die Funktion
f(x) = 1 falls x Î Q
f(x) = 0 sonst
nicht Riemann-integrierbar, jedoch Lebesgue-integrierbar.
Ein Beispiel für die Ungleichung:
U = [0,1]
Nun gilt:
\d_n(r) = 1/(1+n*d(r)) = 1
falls r aus [0,1]
\d_n(r) = 1/(1+n*abs(r)) < 1
für r < 0 und
\d_n(r) = 1/(1+n*(r-1)) < 1
für r > 1
(der Abstand zweier Punkte auf der Zahlengeraden ist der Betrag ihrer Differenz, die Entfernung von r nach U ist die minimale Entfernung eines Punktes von U von r)
Und mit dieser Funktion gilt die Ungleichung auch:
Für r aus U gilt:
0 <= \d_n(r)-\c_U(r) = 1-1 = 0 <=1
Für r < 0 gilt:
0 <= \d_n(r)-\c_U(r) = 1/(1+n*abs(r))-0 <=1
Und für r > 1:
0 <= \d_n(r)-\c_U(r) = 1/(1+n(r-1)) <= 1
Gruß
Fabi
[ Nachricht wurde editiert von Fabi am 2003-06-11 17:16 ]
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math
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| Beitrag No.9, vom Themenstarter, eingetragen 2003-06-11
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also wenn ich dies nun richtig verstanden habe kann man Riemann nur für IR^2 anwenden?
Kann dies stimmen?
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Fabi
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| Beitrag No.10, eingetragen 2003-06-11
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Nein, man kann die Riemann-Integrierbarkeit auch für Funktionen im Rn definieren.
Aber die Lebesgue-integrierbaren Funktionen sind eben allgemeiner, deshalb arbeitet man meist mit diesen.
Gruß
Fabi
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math
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| Beitrag No.11, vom Themenstarter, eingetragen 2003-06-11
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naja sei mir nicht böse aber ich habe den gewissen aha effekt leider noch nicht erleben dürfen.
es wird in den Büchern immer geschrieben das LebesgueIntegral ist allegemeiner bzw. die Summe wird von endlich auf unendlich erweitert. Ich habe auch schon sehr viel über das LebesgueIntegral studiert aber ich kann mir diese Erweiterung nicht vorstellen bzw. warum dieses Integral besser sein sollte.Meines Erachtens ist das Lebesgue Integral Aufwendiger und Theoretischer gehalten als das Riemannsche Integral. Es wurde mir auch gesagt in Praxi verwendet man Riemann eher da es einfacher zu berechnen ist.
Einr Frage hätte ich noch wie hast du den Unterschied verstehen können? (sorry für die blöd formulierte Frage)
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Anonymous
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| Beitrag No.12, eingetragen 2003-06-12
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trotzdem vielen vielen dank farbi
mfg math
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Anonymous
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|  Beitrag No.13, eingetragen 2003-06-12
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guten morgen,
http://www.math.fau.edu/schonbek/realan/raf02l1.html
Ist bei diesem Link die erste Zerlegung Riemann und die zweite Lebesgue?
Also müsste dies der wesentlichste unterschied zwischen diesen Integralen sein? oder liege ich wieder mal falsch?
gruß math
[ Nachricht wurde editiert von N-man am 2003-06-17 10:12 ]
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Anonymous
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| Beitrag No.14, eingetragen 2003-06-12
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wann ist eine funktion meßbar?
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Fabi
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| Beitrag No.15, eingetragen 2003-06-12
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Diese Lebesgue-Zerlegung habe ich so auch noch nicht gekannt.
Das ist wohl der mengentheoretische Weg - man berechnet das Volumen von Mengen, und mithilfe dessen berechnet man dann die Integrale.
Ich kenne mehr den analytischeren Weg über Konvergenz von Funktionenfolgen.
Wann ist eine Funktion meßbar? Hm, da müsste ich nun genauer wissen, wie der Integralbegriff bei euch definiert ist.
Im Prinzip sind alle Funktionen meßbar (z.B. mithilfe der Norm, die ich oben angegeben habe), man muss halt schauen, was man sinnvoll findet.
Gruß
Fabi
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N-man
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 | Beitrag No.16, eingetragen 2003-06-16
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Hallo.
Also der Begriff der messbaren Funktion stammt aus der Maßtheorie und ist wie alles aus der Maßtheorie ziemlich abstrakt.
Also man benötigt zwei messbare Räume (X,M) und (Y,N) und eine Funktion, die von X nach Y abbildet. Die Funktion ist jetzt messbar, wenn jedes Urbild einer Menge die Element von N ist auch messbar ist, d.h. ein Element von M ist.
Wie gesagt ein wenig theoretisch... aber die Eigenschaft ist sehr wichtig für das Lebesgue-Integral. Wie schon einmal erwähnt wurde, wird beim Lebesgue-Integral im Gegensatz zum Riemann-Integral die Ordinatenmenge zerlegt und zu jedem Zerlegungsteil dann das Urbild betrachtet wird. Diesem Urbild muss in der Definition des Lebesgue-Integrals messbar sein, sonst funktioniert die Definition nicht.
Also definieren wir vielleicht mal das Lebesgue-Integral. Man kann das verschieden machen... vielleicht mal so (das geht jetzt zwar nur für beschränkte Funktionen, aber da wird das Prinzip schön deutlich)
Also man braucht einen Maßraum (X,M,\m) und eine nichtnegative
messbare Funktion f:E\subset M -> \IR^-
Jetzt zerlegen wir die Ordinatenmenge. Da die Funktion beschränkt ist,
heißt das man muss das Intervall [m,M] zerlegen. Dabei ist m das
Infimum und M das Supremum aller Funktionswerte.
Also man hat eine Zerlegung Z=menge(y_1\,...,y_n) mit
m=y_1<...
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