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  Lineare Unabhängigkeit der Lösungen einer linearen DGL |
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DaBrainBug
Senior 
Dabei seit: 15.09.2004
Mitteilungen: 1008
Wohnort: Bremen
 |  Themenstart: 2007-06-21
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Hallo!
Ich soll beweisen, dass die Lösungen
\phi_1, \phi_2,..., \phi_n
einer linearen homogenen DGL genau dann linear unabhängig sind, wenn die Vektoren
(\phi_1(t);\phi^*_1(t);...;\phi_1^((n-1))(t)),...,(\phi_n(t);\phi^*_n(t);...;\phi_n^((n-1))(t))
für ein beliebiges t im Definitionsbereich linear unabhängig sind.
Dazu gibts den Tip, das Superpositionsprinzip sowie die Eindeutigkeit der Lösung eines AWPs zu benutzen.
Nun hab ich so angefangen:
Es seien die (\phi_i(t);\phi^*_i(t);...;\phi_i^((n-1))(t)) linear abhängig für ein t_0, also k_1(\phi_1(t_0);\phi^*_1(t_0);...;\phi_1^((n-1))(t_0))+...+k_n(\phi_n(t_0);\phi^*_n(t_0);...;\phi_n^((n-1))(t_0)) mit (k_1,...,k_n)!=(0,...,0)
Das ist gleichbedeutend damit, dass die Funktion y=k_1*\phi_1+...+k_n*\phi_n eine Differentialgleichung mit den Anfangsbedingungen y(t_0)=0, y^*(t_0)=0,...,y^((n-1))(t_0)=0 löst. Jetzt will ich aus der Eindeutigkeit dieser Lösung des AWP darauf schließen, dass genau dann y(t)==0 gilt und somit die lineare Abhängigkeit der \phi_i. Allerdings bin ich mir nicht ganz sicher, wie ich den Schluss begründen kann (und ob er überhaupt so stimmt).
Kann mir wer sagen, wie ich von der Eindeutigkeit der Lösung des AWP auf y(t)=0 schließe?
Vielen Dank!
Gruß Alex
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DaBrainBug
Senior 
Dabei seit: 15.09.2004
Mitteilungen: 1008
Wohnort: Bremen
| Beitrag No.1, vom Themenstarter, eingetragen 2007-06-21
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Weiß da wirklich keiner was zu?
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cow_gone_mad
Senior
Dabei seit: 11.01.2004
Mitteilungen: 6651
 | Beitrag No.2, eingetragen 2007-06-22
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\quoteon(2007-06-21 21:46 - DaBrainBug)
Weiß da wirklich keiner was zu?
\quoteoff
y(t) = 0 ist eine Lösung mit AW y(t0) = 0, und aus der Eindeutigkeit folgt nun, dass du diese Lösung hast. 
Liebe Grüsse,
cow_
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DaBrainBug
Senior
Dabei seit: 15.09.2004
Mitteilungen: 1008
Wohnort: Bremen
| Beitrag No.3, vom Themenstarter, eingetragen 2007-06-23
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Ah es ist doch so einfach. Vielen Dank cow :-)
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DaBrainBug hat die Antworten auf ihre/seine Frage gesehen.
DaBrainBug hat selbst das Ok-Häkchen gesetzt. |
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