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  Wo krieg' ich die Matrix her? |
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fantazero
Junior 
Dabei seit: 21.05.2007
Mitteilungen: 19
 |  Themenstart: 2007-06-25
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Hallo,
wir sollen alle reellen Lösungen der Gleichung
u^(4) (x) - 4u^(3) (x) + 5u^(2) (x) - 4u(x) + 4 = 0 bestimmen.
Man kann bei solchen Gleichungen ja das charakteristische Polynom direkt daran "ablesen", aber ... ich dachte bisher, man müsste den homogenen Teil zuerst lösen (also die 4 ignorieren, die man sonst auf die andere Seite ziehen würde für die inhom. Gl.) ... nun hat aber unser Mathe-Prof. auf dem Zettel den Hinweis gegeben "Nullstelle des char. P. ist 2" - was aber NUR erfüllt wäre, wenn man als char. P.
= (-1)^4*[\lambda^4 -4\lambda^3+5\lambda^2-4\lambda+4] nehmen würde, was mit Polynomdivision auf = (\lambda-2)^2 (\lambda-i)(\lambda+i) führt. Aber dann gibt es ja Formeln, wobei man hier wohl nur die Nullstelle 2 (wegen gesuchter reeller Lösungen) zu betrachten braucht, nur um damit Lösungen zu bestimmen, braucht man ja die Eigenvektoren und die erhält man erst über die Matrix...
Also, für das homogene System würde ich meinen, kommt man mittels Reduktion auf (y_0;.;.;y_3)' = (0,1,0,0;0,0,1,0;0,0,0,1;4,0,-5,4)(y_0;.;.;y_3), weil das ja als umgeschriebene Variante machbar wäre... nur dann, dachte ich, müsste man erst das lösen und dann mit der Wronski-Det. die inhom. Gl., aber auch hiermit... da bekommt man doch wahrscheinlich dann total "krumme" Nullstellen des char. P. raus ... und das kann dann ja nicht so gemeint sein. Und auch \lambda= 0 wäre dann Nullstelle des char. P., allerdings ergibt sich in der Matrix dafür keine Nullzeile... na ja, aber meine anfängliche Frage aus dem oberen Absatz, das wäre mein Anliegen, der Rest hier unten ist wahrscheinlich nur total verwirrend geschrieben, was mir auch leid tut, aber ich weiß nicht, wie ich's anders formulieren kann...
Grüße,
fantazero
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fantazero
Junior 
Dabei seit: 21.05.2007
Mitteilungen: 19
|  Beitrag No.1, vom Themenstarter, eingetragen 2007-06-25
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Also,
nach dem, was essentiell ist aus dem Anfangsposting, erhält man aus der Gleichung
u^(4) (x) - 4u^(3) (x) + 5u^(2) (x) - 4u(x) + 4 = 0
das charakteristisches Polynom
(-1)^4*[\lambda^4 -4\lambda^3+5\lambda^2-4\lambda+4]
= (\lambda-2)^2 (\lambda-i)(\lambda+i)
{mit Polynomdivision},
wegen gesuchter reeller Lösungen ist vermutlich nur Nullstelle = 2 zu betrachten,
nur um damit Lösungen zu bestimmen,
benötigt man noch die Eigenvektoren und die erhält man erst über die Matrix...
Nur woher kriegt man die?
Grüße,
fantazero
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Tetris
Senior 
Dabei seit: 28.08.2006
Mitteilungen: 7844
|  Beitrag No.2, eingetragen 2007-06-25
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Hi! Kann es sein, dass Dein charakteristisches Polynom nicht zu Deiner Gleichung passt?
Lg, T.
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fantazero
Junior
Dabei seit: 21.05.2007
Mitteilungen: 19
| Beitrag No.3, vom Themenstarter, eingetragen 2007-06-25
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Hallo,
hm?
Was muss man denn anders machen?
Unser Prof meinte nur, 2 ist eine Nullstelle und bei einem homogenen Beispiel (d.h. ohne Zahl wie hier 4) hatte er das char. Polynom genau auf diese Art aufgestellt... 
Grüße,
fantazero
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Tetris
Senior
Dabei seit: 28.08.2006
Mitteilungen: 7844
| Beitrag No.4, eingetragen 2007-06-25
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Tja, schreib die Gleichung mal so:
u^(4)(x) - 4*u^(3)(x) + 5*u^(2)(x) \red\array(\+ 0*u^(1)(x))\black- 4*u(x) = -4
Lg, T.
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fantazero
Junior
Dabei seit: 21.05.2007
Mitteilungen: 19
| Beitrag No.5, vom Themenstarter, eingetragen 2007-06-25
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Hallo,
aber... ändert das was am char. Polynom? Wenn ich jetzt 2 einsetze, komme ich links auf -4 und rechts eben auch... wie gesagt, ein inhomogenes Beispiel hatten wir gar nicht erst... soll man dann die -4 rechts einfach ignorieren, so erhält man ja wieder ganz andere Nullstellen und außerdem wäre das nicht Hinweis-getreu... ich bin total unsicher, was ich machen kann/soll/darf/muss... 
Grüße, fantazero
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Tetris
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Dabei seit: 28.08.2006
Mitteilungen: 7844
| Beitrag No.6, eingetragen 2007-06-25
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\quoteon(2007-06-25 22:59 - fantazero)
... ändert das was am char. Polynom?
\quoteoff
Ja. Lg, T.
Edit: Hmm... nun ja, eigentlich ändert sich nichts – vielleicht wird deutlicher, wie das Polynom wirklich aussieht!
[ Nachricht wurde editiert von Tetris am 26.06.2007 00:00:40 ]
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fantazero
Junior
Dabei seit: 21.05.2007
Mitteilungen: 19
| Beitrag No.7, vom Themenstarter, eingetragen 2007-06-26
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Hallo,
aber ich hatte doch oben schon ein Polynom in meinem ersten Posting gehabt, da hatt' ich die 0 mal 1. Ableitung ja auch berücksichtigt... nür die Lösungsspalte, die man dann noch extra addieren müsste, ließ ich weg... aber ich verstehe ja eben nicht, wie man sich daraus die "Gesamtmatrix" oder evtl. ein anderes Polynom zusammenbasteln muss...
Grüße, fantazero
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Tetris
Senior
Dabei seit: 28.08.2006
Mitteilungen: 7844
| Beitrag No.8, eingetragen 2007-06-26
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\quoteon(2007-06-26 15:35 - fantazero)
Hallo,
aber ich hatte doch oben schon ein Polynom in meinem ersten Posting gehabt, da hatt' ich die 0 mal 1. Ableitung ja auch berücksichtigt...
\quoteoff
Hm... wo denn?
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fantazero
Junior
Dabei seit: 21.05.2007
Mitteilungen: 19
| Beitrag No.9, vom Themenstarter, eingetragen 2007-06-26
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An der Stelle, an der ich die homogene Gleichung umgeschrieben gezeigt hab'...
Aber weißt du, was? Es gab auf dem Zettel anfangs ohnehin einen Fehler, den hatte unser Dozent im Internet auch berichtigt, allerdings... wie schon erwähnt, die inhomogene Variante hatten wir nicht gemacht und inzwischen habe ich gehört, dass in einem anderen Tutorium gemeint wurde, die Gleichung müsse noch anders heißen (und diese Form habe ich nun auch zack, zack lösen können!) :
u^(4) (x) - 4u^(3) (x) + 5u^(2) (x) - 4u^(1) (x) + 4u(x) = 0
...
Tja, das war purer Zufall, dass ich das überhaupt erfahren habe... tut mir auch leid, dass du dadurch an mir vorbeigeschrieben hast...
Aber es war auch nicht das erste Mal, dass ein Fehler auf einem unserer Zettel war, nur dieses Mal hatte ihn nicht mal unsere Tutorin gesehen.
Danke für die Tipps und liebe Grüße, fantazero 
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fantazero hat die Antworten auf ihre/seine Frage gesehen.
fantazero hat selbst das Ok-Häkchen gesetzt. |
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