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Funktionentheorie » Holomorphie » ganze Funktionen
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Kein bestimmter Bereich J ganze Funktionen
Leeloo
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  Themenstart: 2003-06-19

kann mir jemand bei folgender aufgabe helfen? ich hab zwar verstanden, was ganze funktionen sind. weiß aber nicht wie ich anfangen soll! bestimmen sie alle! ganzen funktionen f mit f verknüpft mit f ist gleich f zum quadrat also mit f(f(z)) = (f(z))^2 für alle komplexen z. schon mal danke leeloo


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scorp
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  Beitrag No.1, eingetragen 2003-06-19

Hi Leeloo, hier mal eine spontane Idee, ohne Garantie auf Richtigkeit: f(f(z)) = ((f(z)))^2 d/dz *f(f(z)) = d/dz *((f(z)))^2 f'(f(z))*f'(z) = 2*f(z)*f'(z) f'(f(z)) = 2*f(z) d/dz *f'(f(z)) = d/dz *2*f(z) f''(f(z))*f'(z) = 2*f'(z) f''(f(z)) = 2 => f'''(f(z))*f'(z) = 0 => f'''(f(z))=0 \or f'(z)=0 => f'''(f(z))=0 #Falls f nicht konstant ist, so ist f''' null, #fuer alle z aus der Wertemenge von f. #Falls f konstant ist, ist f''' sowieso null. #Daher vermute ich, dass gilt f''' = 0 #Wenn es bis hierher stimmen sollte, so hat f die Form f:z->az^2 + bz + c #Einsetzen: f(f(z)) = (f(z))^2 f(az^2+bz+c) = (az^2+bz+c)^2 a(az^2+bz+c)^2 + b*(az^2+bz+c) + c = (az^2+bz+c)^2 (az^2+bz+c)^2*(a-1) + b*(az^2+bz+c) + c = 0 (az^2+bz+c)*((az^2+bz+c)*(a-1) + b) + c = 0 #Daraus erhaelt man das folgende Gleichungssystem #(Rechenfehler nicht auszuschliessen). a^3-a^2 = 0 2a^2*b-2ab = 0 ab^2+2a^2*c-b^2-2ac+ab = 0 2abc-2bc+b^2 = 0 ac^2-c^2+bc+c = 0 a=0 \or a=1 2ac*(a-1)+ab^2-b^2+ab=0 b*(2c*(a-1)+b)=0 c*(c*(a-1)+b+1)=0 Ich bekomme drei Loesungen heraus. Du auch...? Gruss, /Alex [ Nachricht wurde editiert von scorp am 2003-06-19 15:17 ]


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LutzL
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  Beitrag No.2, eingetragen 2003-06-19

Hi, eine ganze Funktion, d.h. ein Polynom, ist surjektiv. In obiger Ableitung kam die Gleichung f'(f(z))=2*f(z) vor, wobei man die (endlich vielen) Punkte mit f'(z)=0 ausschliessen muss. Also gilt, bis auf diese endlich vielen Punkte, f'(w)=2w oder f(w)=w^2+C naje, jetzt noch pruefen, C ausrechnen... Ciao Lutz


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LutzL
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  Beitrag No.3, eingetragen 2003-06-20

Hi, wobei, wenn man die Surjektivitaet ganzer Funktionen (Anwendung Fundamentalsatz) auf die Ausgangsgleichung anwendet, kommt direkt bei w=f(z) heraus f(w)=w ², und das ist eindeutig. Ciao Lutz


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scorp
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  Beitrag No.4, eingetragen 2003-06-20

@Lutz: Sind  f(z)=0  und  f(z)=1  nicht auch ganze Funktionen? Gruss, /Alex [ Nachricht wurde editiert von scorp am 2003-06-20 11:29 ]


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scorp
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  Beitrag No.5, eingetragen 2003-06-20

@leeloo: Bitte um Rueckmeldung, ist die Aufgabe damit erledigt?


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