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  y'''' + 2a^2 * y'' + a^4 * y = cos(ax) |
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elmatho
Ehemals Aktiv 
Dabei seit: 08.09.2007
Mitteilungen: 40
Wohnort: Kempen, Deutschland
 |  Themenstart: 2007-09-09
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Hallo zusammen,
habe schon viel über dieses Forum schon gelesen, und ich hoffe, dass mir hier mit meinem Problem geholfen werden kann.
Ich hab folgende Diffenrenzialgleichung
y´´´´+2a^2y´´+a^4y=cos(ax)
Die homogene Lösung sollte -ia und ia sein. Damit wäre dann die homogene Lösung:
y=Acos(ax)+Bsin(ax) (sollte richtig sein)
Nun zur partikulären Lösung.
Der Ansatz für die trigonometrische Funktion ist;
y=Ccos(ax)+Dsind(ax)
Da aber hier der Ansatz mit der homogenen Lösung übereinstimmt, muss ich doch den Ansatz y=x*(Ccos(ax)+Dsind(ax)) benutzen.
So, ich leite das dann 4 mal ab, mache einen Koeffizientenvergleich und dann kommt heraus 0=1. Wenn ich nicht total falsch liege. Dieses Ergebnis kann aber nicht.
Also, was mache ich falsch? Oder welchen Ansatz muss ich hier nehmen?
VIelen Dank im vorraus
Gruss
ElMatho
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Ollie
Senior 
Dabei seit: 03.05.2003
Mitteilungen: 5872
Wohnort: Aachen
 | Beitrag No.1, eingetragen 2007-09-09
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Hallo elmatho, die homogene Lsg stimmt schon nicht. Zeig doch mal deine Rechnung. Wo kann man übrigens was über den MP lesen ? 
mfG
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elmatho
Ehemals Aktiv
Dabei seit: 08.09.2007
Mitteilungen: 40
Wohnort: Kempen, Deutschland
| Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2007-09-09
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Hallo Ollie,
Also für die homogene Lösung benutze ich ganz normal den e^(lambda) Ansatz.
Erst substituiere ich z^2=(lambda)^4 und z=(lambda)^2.
Setze das in die p-q-Formel ein, also z=-a^2+/-(a^4-a^4)^(1/2)
Dann ist z(1 und 2)=-a^2
Nun rücksubstituieren (lambda)^2=-a^2
=> lambda1 =-ia lambda2=ia
Ist das falsch??????
Danke für die schnelle Antwort
(Sorry, kann nicht so gut die Mathezeichen auf dem Pc schreiben)
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Radix
Senior 
Dabei seit: 20.10.2003
Mitteilungen: 6438
Wohnort: Wien
 | Beitrag No.3, eingetragen 2007-09-09
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Willkommen auf dem Matheplaneten, Elmatho!
\quoteon(2007-09-09 12:33 - elmatho)
Sorry, kann nicht so gut die Mathezeichen auf dem Pc schreiben.
\quoteoff
Das macht nichts, du bist ja schließlich noch neu hier.
Wenn du deinen Text unverändert in den Optimath-fedgeo Formeleditor eingibst, sieht er gleich viel besser aus. Wenn du statt lambda1 dann noch \lambda_1 usw. verwendest, wird es perfekt.
Gruß,
Radix
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Dr_Sonnhard_Graubner
Senior
Dabei seit: 06.08.2003
Mitteilungen: 29301
Wohnort: Sachsen
 | Beitrag No.4, eingetragen 2007-09-09
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Hallo, benutze doch den fed:
diff(y(x),x,4)+2*a^2*diff(y(x),x,2)+a^4*y(x)=cos(a*x);
Viele Grüße,Sonnhard.
[Die Antwort wurde nach Beitrag No.2 begonnen.]
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Ollie
Senior
Dabei seit: 03.05.2003
Mitteilungen: 5872
Wohnort: Aachen
| Beitrag No.5, eingetragen 2007-09-09
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Tipp: du hast eine doppelte Nullstelle bei z_1,2=-a^2. In diesem Fall sind nicht nur sin(ax) und cos(ax) Lösungen, sondern auch x sin(ax) und x cos(ax). Du mußt ja bei einer homogenen Dgl. 4. Grades auch 4 linear unabhängige Lösungen haben, die ein Fundamentalsystem bilden. Du kannst übrigens auf diesen Text hier klicken, damit du siehst, wie man hier auf dem Mp Formeln schreibt.
mfG
[Die Antwort wurde nach Beitrag No.2 begonnen.]
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elmatho
Ehemals Aktiv
Dabei seit: 08.09.2007
Mitteilungen: 40
Wohnort: Kempen, Deutschland
| Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2007-09-09
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Hey,
danke für die vielen Anregungen. Also ich habe 4 Nullstellen und damit auch die homogenen Lösungen
cos(ax); sin(ax); xcos(ax); xsin(ax)
Was mache ich denn dann mit dem partikulären Ansatz?
Würde nun y=Acos(ax)+Bsin(ax) benutzen.
Aber irgendwie scheint es da einen Trick zu geben, denn ich bekomme immer eine Ungleichung herraus.
Grüsse
ElMatho
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Ollie
Senior
Dabei seit: 03.05.2003
Mitteilungen: 5872
Wohnort: Aachen
| Beitrag No.7, eingetragen 2007-09-09
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Der Resonanzfall schlägt sich auch in der partikulären Lösung nieder. Wende am besten das Verfahren der Variation der Konstanten an. Lies dir dazu den Artikel von pendragon durch, wo ein Beispiel dafür gegeben ist
hier
mfG
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elmatho
Ehemals Aktiv
Dabei seit: 08.09.2007
Mitteilungen: 40
Wohnort: Kempen, Deutschland
| Beitrag No.8, vom Themenstarter, eingetragen 2007-09-09
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Hallo Ollie,
ich hab grad die Variation der Konstanten ausprobiert. Das wird am Ende schon ein Brecher.
Ungewöhnlich ist, dass dies eine Klausuraufgabe ist und der zeitliche Umfang, so denke ich, etwas gesprengt wird. Werde aber noch mal nach einem Ansatz suchen. Spätestens am Mittwoch werde ich über diese Aufagbe Klarheit haben.
Dennoch vielen Dank für deine Bemühungen.
MfG
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Dr_Sonnhard_Graubner
Senior
Dabei seit: 06.08.2003
Mitteilungen: 29301
Wohnort: Sachsen
| Beitrag No.9, eingetragen 2007-09-09
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Hallo, versuchs mal mit
(A*x^2+B*x+C)*sin(a*x)+(D*x^2+E*x+F)*cos(a*x).
Viele Grüße,Sonnhard.
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elmatho
Ehemals Aktiv
Dabei seit: 08.09.2007
Mitteilungen: 40
Wohnort: Kempen, Deutschland
| Beitrag No.10, vom Themenstarter, eingetragen 2007-09-12
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Hallo zusammen,
für alle, die es interessiert, der gesuchte Störgliedansatz ist:
y=x^2(Acos(ax)+Bsin(ax))
Grüsse
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