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Mechanik » Gravitation » Geschwindigkeit bzw. Bahnkurve eines Raumfahrzeugs
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Universität/Hochschule J Geschwindigkeit bzw. Bahnkurve eines Raumfahrzeugs
maeuschen
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  Themenstart: 2007-11-17

Hallo, ich weiß bei einer Aufgabe nicht so richtig weiter und hoffe, ihr könnt mir helfen... Ich soll die Startgeschwindigkeit berechnen, welche notwendig ist, um ein Raumfahrzeug auf den maximalen Abstand vom Planetenzentrum zu bringen und die Bahnkurve zeichnen... Normalerweise würde ich dazu doch die 1.kosmische Geschwindigkeit berechnen, oder? Nur ist hier angegeben, dass das Fahrzeug unter einem Winkel \alpha zur Vertikalen startet. Wie mach ich denn das jetzt??? Danke schon mal für eure Hilfe!!! euer mäuschen


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Knaaxx
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  Beitrag No.1, eingetragen 2007-11-17

Hallo, ob das vertikal oder schief startet scheint mir egal. Das beinflusst nur die Flugbahn. 1.KG dürfte nicht passen.


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maeuschen
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  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2007-11-17

warum passt denn die 1. kosmische Geschwindigkeit nicht?


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maeuschen
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  Beitrag No.3, vom Themenstarter, eingetragen 2007-11-18

kann mir hier noch jemand weiterhelfen???


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Schnabbert
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  Beitrag No.4, eingetragen 2007-11-18

\quoteon(2007-11-17 17:05 - maeuschen) Ich soll die Startgeschwindigkeit berechnen, welche notwendig ist, um ein Raumfahrzeug auf den maximalen Abstand vom Planetenzentrum zu bringen und die Bahnkurve zeichnen... \quoteoff Hallo, maeuschen, der "maximale Abstand vom Planetenzentrum" liegt irgendwo im Unendlichen ... Dorthin kommt das Raumschiff, wenn es mit der 2. KG startet. MfG


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maeuschen
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  Beitrag No.5, vom Themenstarter, eingetragen 2007-11-18

in einem Aufgabenteil vorher sollte ich aber schon die Fluchtgeschwindigkeit v_F berechnen und das ist doch die 2.KG oder? und hier steht nun, ich soll v_0 < v_F berechnen... Ich dachte mir, dass hier mit maximalem Abstand der Abstand gemeint ist, bei dem das Raumfahrzeug gerade wieder auf den Mars zurückfliegt und deshalb dachte ich an die 1.KG... ist das falsch?


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Schnabbert
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  Beitrag No.6, eingetragen 2007-11-18

\quoteon(2007-11-18 11:18 - maeuschen) in einem Aufgabenteil vorher sollte ich aber schon die Fluchtgeschwindigkeit v_F berechnen und das ist doch die 2.KG oder? \quoteoff Ja, die 2. KG wird auch als "Fluchtgeschwindigkeit" bezeichnet - oder umgekehrt. \quoteon(2007-11-18 11:18 - maeuschen) und hier steht nun, ich soll v_0 < v_F berechnen... \quoteoff Mit \  \ v_0tangential zur Planetenoberfläche, dann bewegt es sich auf einer Kreisbahn. Ist der Startwinkel kleiner 90 Grad (gemessen gegen die Senkrechte am Startplatz), dann resultiert aus der 1. KG auch eine Ellipsenbahn. Wenn die Aufgabe so gemeint ist, dann kann man die Scheitelpunkte dieser Ellipse natürlich berechnen. Wie lautet denn der vollständige Aufgabentext? MfG


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maeuschen
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  Beitrag No.7, vom Themenstarter, eingetragen 2007-11-18

Bild bin jetzt bei Aufgabenteil c)


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Schnabbert
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  Beitrag No.8, eingetragen 2007-11-19

Hallo, maeuschen, bei c) bin ich jetzt leider genauso schlau wie vorher.  confused Bild Man kann doch die erforderliche Startgeschwindigkeit nur dann berechnen, wenn die zu erreichende Gipfelhöhe vorgegeben ist. So macht c) m. E. keinen Sinn. MfG


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rlk
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  Beitrag No.9, eingetragen 2007-11-19

\ Hallo Mäuschen, der maximale Abstand zwischen Raumfahrzeug und Marsmittelpunkt soll r_1 sein. Die Anfangsgeschwindigkeit v_0 ist natürlich eine Funktion von r_1 und es muss lim(r_1->\inf, v_0(r_1)) = v_F gelten. Ich hoffe, das hilft Dir, Roland [Die Antwort wurde nach Beitrag No.7 begonnen.]


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maeuschen
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  Beitrag No.10, vom Themenstarter, eingetragen 2007-11-19

ich weiß leider immer noch absolut nicht, wie ich vorgehen soll... :-( ich verzweifele noch total an der Aufgabe! Kann nicht noch jemand weiterhelfen?


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fru
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  Beitrag No.11, eingetragen 2007-11-19

\ Hallo Mäuschen! Die Aufgabe ist ziemlich unklar gestellt. Ich sehe keine andere Möglichkeit, als Teil (c) so zu interpretieren \(wie es auch Roland schon getan hat), daß man v_0 als Funktion v_0=f(r_1) von r_1 berechnen soll. Liebe Grüße, Franz


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rlk
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  Beitrag No.12, eingetragen 2007-11-19

\ Hallo Mäuschen, nicht verzweifeln, Du schaffst das schon. Schnabbert hat ja die Bahnkurve schon skizziert. Du kannst die Gipfelhöhe und die Geschwindigkeit an dieser Stelle aus den Erhaltungssätzen von Drehimpuls und Gesamtenergie \(= kinetische + potentielle Energie\) bestimmen. Damit erledigst Du gleich Teil d) der Aufgabe. Ich hoffe, das hilft Dir, Roland [Die Antwort wurde nach Beitrag No.10 begonnen.] [ Nachricht wurde editiert von rlk am 19.11.2007 16:07:30 ]


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Schnabbert
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  Beitrag No.13, eingetragen 2007-11-19

Hallo, maeuschen, wenn das Raumschiff mit \  \ v_0 < v_F \  \ von der Planetenoberfläche startet, dann gelangt es auf elliptische Bahnen, deren Peri\-Scheitel im Planeteninneren liegen (s. Skizze, Beitrag No. 8). Die große Halbachse \  \ a \  \ der Bahnellipse kann man sofort mit der Vis\-Viva\-Gleichung berechnen, da \  \ v(r)=v_0 \  \ und \  \ r=R \  \ bekannt sind v(r)=sqrt(K(2/r-1/a)) \  \ K=\gamma M \  \ ist der Gravitationsparameter des Planeten (M=Planetenmasse) \lr(1)\big\. a=(K r)/(2 K-r v^2(r))=(K R)/(2 K-R (v_0)^2) Die Vis\-Viva\-Gleichung ist hier auf dem Physik\-Forum schon hergeleitet und einige Male angewendet worden (Stichwörter: Energie\- u. Impulserhaltung). Damit ist die Bahnellipse zwar noch nicht ganz bestimmt, aber man kann mit den gegebenen Startwerten v_0 und \beta z. B. die Exzentrizität e und dann auch alle anderen Parameter der Ellipse berechnen. Gefragt ist bei c) der Abstand des Apo\-Scheitels r_a bzw. die Gipfelhöhe h. Die Ellipsengeometrie "liefert" \lr(2)\big\. r_a=a(1+e) \  und somit \  h=r_a-R Die Berechnung der Exzentriziät ist etwas aufwendiger. Man benötigt dazu den Ellipsenparameter p (s. allgemeine Kegelschnittgleichung) und dafür den Bahndrehimpuls L p=a(1-e^2)=L^2/K L=R v=R v_0 cos(\alpha)=R v_0 sin(\beta) \        \ s. Skizze, Beitrag No. 8 \lr(3)\big\. e=sqrt(1-L^2/(a K))=\big sqrt(1-(R^2 (v_0)^2 sin^2(\beta))/(a K)) Mit (1) und (3) kann nun (2) berechnet werden: \lr(2.1)\big\. r_a=(K R)/(2 K-R (v_0)^2) (1+sqrt(1-(R^2 (v_0)^2 sin^2(\beta))/(a K))) r_a wächst offenbar über alle Grenzen, wenn der Nenner des ersten Bruchterms gegen Null geht. Im Grenzfall ist also 2 K-R (v_0)^2=0 \    \ und damit v_0=sqrt((2K)/R) Das ist aber v_F und die Flugbahn eine "offene" Ellipse, d. h. ein Parabelast  nach j. w. d. \  \ ... Für alle \big v_0


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Knaaxx
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  Beitrag No.14, eingetragen 2007-11-19

\quoteon(2007-11-19 18:16 - Schnabbert) Die große Halbachse \  \ a \  \ der Bahnellipse kann man sofort mit der Vis\-Viva\-Gleichung berechnen, da \  \ v(r)=v_0 \  \ und \  \ r=R \  \ bekannt sind v(r)=sqrt(K(2/r-1/a)) \  \ K=\gamma M \  \ ist der Gravitationsparameter des Planeten (M=Planetenmasse) \quoteoff Hallo Schnabbert wie kommst du auf diese Gleichung?


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Schnabbert
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  Beitrag No.15, eingetragen 2007-11-20

\quoteon(2007-11-19 23:27 - Knaaxx) wie kommst du auf diese Gleichung? \quoteoff Zu viel der Ehre, Knaaxx! Nicht ich, sondern viel klügere Köpfe sind darauf gekommen. Ich kann hier einen der Lösungswege nachvollziehen: Die konstante Gesamtenergie in einem M\-m\-Zweikörper\-System ist \lr(1) E=m/2 v^2-(\gamma M m)/r=\big m/2 v^2-(K m)/r Da hier elliptische Bahnen vorliegen, können wir die Gesamtenergie z. B. für den Apo\-Scheitel r_a hinschreiben: \lr(2)\. E=m/2 (v_a)^2 -(K m)/r_a Der Keplersche Flächensatz bzw. der Impulserhaltungssatz besagt, dass der Drehimpuls auch in den Peri\- und Apo\-Scheiteln einer Bahnellipse gleich ist: v_p r_p=v_a r_a v_a=r_p/r_a v_p Das in (2) eingesetzt, ergibt \lr(2.1) E=(r_p/r_a)^2 m/2 (v_p)^2-(K m)/r_a Im Peri\-Scheitel beträgt die Gesamtenergie, analog zu (2): E=m/2 (v_p)^2-(K m)/r_p \    \ daraus folgt m/2 (v_p)^2=E+(K m)/r_p Das wiederum in (2.1) eingesetzt, ergibt E=(r_p/r_a)^2 (E+(K m)/r_p)-(K m)/r_a Nach Umformung und Beachtung, dass \  \ r_p+r_a=2 a \  \, erhalten wir die Gesamtenergie des M\-m\-Systems: \lr(3)\big E=-(K m)/(2 a) Damit und mit (1) können wir nun die Geschwindigkeit v in einem beliebigen Punkt r der Bahn berechnen: m/2 v^2-(K m)/r=-(K m)/(2 a) \lr(4)\big v^2=K (2/r-1/a) Das ist die besagte Vis\-Viva\-Gleichung für\big\red die Ellipse. MfG


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Knaaxx
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  Beitrag No.16, eingetragen 2007-11-21

Schnabbert wie immer sehr schön. Mir war nämlich nicht ganz klar warum das für jeden Bahnpunkt gilt. Das war aus dem anderen Thread nicht direkt ersichtlich. Dank für deine Mühe! Beim Auseinandersetzen mit dem Zusammenhang (vor deiner Antwort und nach meiner Frage) bin ich zwangsweise auf eine leicht andere Möglichkeit der Ableitung gekommen. \ Wegen des Flächensatzes gilt für jeden Bahnpunkt P und r=(F1P)^- v*r*sin(v^>,r^>) = K0 = konst Winkel F1PF2 (F die Brennpunkte und r_p wie gehabt) lässt sich leicht mittels des Kosinussatzes im (\Delta)F1PF2 ermitteln und damit auch sin(v^>,r^>) = cos(W(F1PF2)/2) = sqrt((r_p*(2*a-r_p))/(r*(2*a-r))) Für v ergibt sich v = K0/(r*sin(v,r)) = K0/sqrt((r*r_p*(2*a-r_p))/(2*a-r)) = sqrt((K0^2*(2*a-r))/(r*r_p*(2*a-r_p))) Umsubstitution von (K0^2*a)/(r_p*(2*a-r_p)) = K1, bringt das zumindest in die gewünschte Form v = sqrt(K1*(2/r-1/a)) wobei die Bestimmung von K1 noch leicht auf der Strecke bleibt ... [ Nachricht wurde editiert von Knaaxx am 21.11.2007 22:20:45 ] [ Nachricht wurde editiert von Knaaxx am 09.01.2008 21:37:14 ]


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KingGeorge
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  Beitrag No.17, eingetragen 2007-11-21

\quoteon(2007-11-21 20:55 - Knaaxx) Schnabbert wie immer sehr schön. ... \quoteoff Dem kann ich mir nur anschließen, und noch bemerken, daß ich diese Herleitung der Vis-Visa-Gleichung "natürlich" in mein Notizbuch aufgenommen habe.  cool lg Georg


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Schnabbert
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  Beitrag No.18, eingetragen 2007-11-21

Ein interessanter Ansatz, Knaaxx. \quoteon(2007-11-21 20:55 - Knaaxx) wobei die Bestimmung von K1 noch leicht auf der Strecke bleibt ... \quoteoff Das ist in der Tat ein Stolperstein, aber den wirst Du sicherlich auch noch aus dem Weg räumen.  smile MfG


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Knaaxx
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  Beitrag No.19, eingetragen 2007-11-21

\quoteon(2007-11-21 21:39 - Schnabbert) ... ein Stolperstein, aber den wirst Du sicherlich auch noch aus dem Weg räumen.  smile MfG \quoteoff kann sein, kann auch nicht sein wink Nein, das hat mich direkt auch nicht interessiert. Der Zusammenhang als solcher, mit einer geeigneten Konstanten K1, ist damit zumindest hergestellt. Die Konstante selbst, darf notfalls auch vom Himmel fallen.  wink


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